उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1,0) | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$ है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = ux$,त

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$	an ^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)=\log |x|$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}ight)^2$ है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = ux$,तब $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $u + x\frac{du}{dx} = 1 + u + u^2$। दोनों पक्षों से $u$ घटाने पर: $x\frac{du}{dx} = 1 + u^2$। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{du}{1 + u^2} = \int \frac{dx}{x}$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $	an^{-1}(u) = \log|x| + C$। $u = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) = \log|x| + C$। चूंकि वक्र बिंदु $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $	an^{-1}(0) = \log|1| + C$,जिससे $0 = 0 + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 0$। इस प्रकार,समीकरण $	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) = \log|x|$ है।

उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1,0)$ से होकर गुजरता है और जिसकी स्पर्श रेखा की ढाल $1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ है।

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