अवकल समीकरण sin ^{-1}left(frac{dy}{d x}right) | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{dx}\right)=x+y$ $\implies \frac{dy}{dx}=\sin (x+y)$ मान लीजिए $x+y=t$ है। तब $x$ के सापेक्ष अवकलन

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$x=	an (x+y)-\sec (x+y)+c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{dx}ight)=x+y$ $\implies \frac{dy}{dx}=\sin (x+y)$ मान लीजिए $x+y=t$ है। तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1+\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}-1$। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx}-1=\sin t$ $\implies \frac{dt}{dx}=1+\sin t$ $\implies \int \frac{dt}{1+\sin t}=\int dx$ $\frac{1}{1+\sin t}$ का समाकलन करने के लिए,अंश और हर को $(1-\sin t)$ से गुणा करें: $\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} dt = \int dx$ $\implies \int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} dt = x+c$ $\implies \int (\sec^2 t - \sec t 	an t) dt = x+c$ $\implies 	an t - \sec t = x+c$ $t=x+y$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = 	an (x+y) - \sec (x+y) + c$.

अवकल समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{dy}{d x}\right)=x+y$ का हल है

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अवकल समीकरण $x \sec y \frac{dy}{dx} = 1$ का हल है

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