MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) हम सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos x \cos 7 x - \cos 5 x \cos 13 x = \frac{1}{2} [2 \cos 7 x \cos x - 2 \cos 13 x \cos 5 x]$
$= \frac{1}{2} [(\cos 8 x + \cos 6 x) - (\cos 18 x + \cos 8 x)]$
$= \frac{1}{2} [\cos 6 x - \cos 18 x]$
सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [-2 \sin \frac{6 x + 18 x}{2} \sin \frac{6 x - 18 x}{2}]$
$= - \sin 12 x \sin(-6 x)$
$= \sin 12 x \sin 6 x$
चूँकि $\sin 12 x = 2 \sin 6 x \cos 6 x$,इसलिए:
$= (2 \sin 6 x \cos 6 x) \sin 6 x = 2 \sin ^{2} 6 x \cos 6 x$.

(A) दिया है $A+B+C=180^{\circ}$,अतः $\frac{A+B+C}{2} = 90^{\circ}$.
इसलिए,$\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan(A/2) + \tan(B/2)}{1 - \tan(A/2) \tan(B/2)} = \frac{1}{\tan(C/2)}$.
वज्र-गुणन करने पर: $\tan(C/2) [\tan(A/2) + \tan(B/2)] = 1 - \tan(A/2) \tan(B/2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan(A/2) \tan(B/2) + \tan(B/2) \tan(C/2) + \tan(C/2) \tan(A/2) = 1$.

(B) हम सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करते हैं।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) + (2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1)}{1 - (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) - (1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2})}$
$= \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}$
$= \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2})}$
$= \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}{-2 \sin \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})}$
$= -\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = -\cot \frac{\theta}{2}$.

(A) व्यंजक $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ को $R \sin(x + \alpha)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ है।
अतः,$\sqrt{3} \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $2$ है।
इसलिए,फलन $y = e^{5 + \sqrt{3} \sin x + \cos x}$ का अधिकतम मान $e^{5 + 2} = e^{7}$ है।

(D) दिया गया है $\cos 2\theta = \sin \alpha$।
हम जानते हैं कि $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$।
अतः,$\cos 2\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$।
$\cos x = \cos y$ का व्यापक हल $x = 2n\pi \pm y$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
इसे लागू करने पर,$2\theta = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha)$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $\theta = n\pi \pm (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \tan \alpha$ का अर्थ $\theta = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$ है।
दिया गया है $\tan 3x = 1$।
चूँकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,इसलिए $\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$।
अतः,$3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in Z$ है।

(C) $\triangle ABP$ और $\triangle CDP$ में,$AB \parallel DC$ और $AB = DC$ है। चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ है।
$\triangle APR$ और $\triangle CPD$ पर विचार करें:
$\angle PAR = \angle PCD$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$)
$\angle APR = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी से $\triangle APR \sim \triangle CPD$ है।
इसलिए,संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{AR}{CR} = \frac{AP}{CD} = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$.
अतः,$R$,$AC$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(A) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष $P(3,2,6), Q(1,4,5)$ और $R(3,5,3)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ के दिक अनुपात ज्ञात करते हैं।
सदिश $\vec{QP} = (3-1, 2-4, 6-5) = (2, -2, 1)$ है।
सदिश $\vec{QR} = (3-1, 5-4, 3-5) = (2, 1, -2)$ है।
अब,हम $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करते हैं:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (2)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 4 - 2 - 2 = 0$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,$m \angle PQR = 90^{\circ}$ है।

(B) माना $u = \cot ^{-1} x$ और $v = \log (1+x^{2})$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{1+x^{2}}$.
इसके बाद,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $v$ का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{1+x^{2}} \times \frac{d}{dx}(1+x^{2}) = \frac{2x}{1+x^{2}}$.
अब,$v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-1/(1+x^{2})}{2x/(1+x^{2})} = -\frac{1}{2x}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left[ \frac{x - \sqrt{1 - x^2}}{x + \sqrt{1 - x^2}} \right]$.
मान लीजिए $x = \cos \theta$,तो $\theta = \cos^{-1} x$.
$x = \cos \theta$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \right]$
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right]$
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right] = \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \cos^{-1} x$ वापस रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \cos^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \cos^{-1} x \right) = 0 - \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$.
विधि $1$: श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}\left[\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)^{2}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{2}}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1-x}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.
विधि $2$: प्रतिस्थापन (substitution) का उपयोग करके:
माना $x = \cos \theta$,तब $\sqrt{\frac{1-x}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{2\sin^{2}(\theta/2)}{2}} = \sin(\theta/2)$.
अतः,$f(x) = \sin^{-1}(\sin(\theta/2)) = \theta/2 = \frac{1}{2}\cos^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) माना $x = \cos(2\theta)$,इसलिए $2\theta = \cos^{-1}(x)$ और $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
तब $\sqrt{1+x} = \sqrt{1+\cos(2\theta)} = \sqrt{2\cos^2(\theta)} = \sqrt{2} \cos(\theta)$ और $\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\cos(2\theta)} = \sqrt{2\sin^2(\theta)} = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{2}\sin(\theta)}{2} \right] = \sin^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\theta) \right]$.
सर्वसमिका $\sin(\frac{\pi}{4} + \theta) = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\theta) + \cos(\frac{\pi}{4}) \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर.
अतः,$y = \sin^{-1} [\sin(\frac{\pi}{4} + \theta)] = \frac{\pi}{4} + \theta = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(D) दिया गया है $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
$x = 1$ पर,$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \sec(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 \cdot \frac{1}{1+1^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $\tan^{-1} x = \theta$,तो $\tan \theta = x$. चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए $\sec \theta = \sqrt{1+x^2}$.
अतः,$y = \sqrt{1+x^2}$.
तब $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x = 1$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=1$ है।
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dy} + 2y = 0$
$2x \frac{dx}{dy} = -2y$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{dx}{dy}$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy} \left( -\frac{y}{x} \right) = -\left[ \frac{x(1) - y(\frac{dx}{dy})}{x^{2}} \right]$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x - y(-\frac{y}{x})}{x^{2}} \right]$
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} \right] = -\left[ \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} \right]$
चूंकि $x^{2}+y^{2}=1$,इसलिए:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\frac{1}{x^{3}}$

(A) दिया गया है $y = e^{4x} \cos 5x$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = e^{4x}(-5 \sin 5x) + \cos 5x(4e^{4x}) = e^{4x}(4 \cos 5x - 5 \sin 5x)$।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{4x}(-20 \sin 5x - 25 \cos 5x) + (4 \cos 5x - 5 \sin 5x)(4e^{4x})$।
$x=0$ पर मान रखने पर:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = e^{0}(-20 \sin 0 - 25 \cos 0) + (4 \cos 0 - 5 \sin 0)(4e^{0})$।
चूंकि $\sin 0 = 0$ और $\cos 0 = 1$:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = 1(0 - 25) + (4 - 0)(4) = -25 + 16 = -9$।

(A) दिया गया है $\sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}=5$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\sqrt{y-x}=5-\sqrt{x+y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y-x = 25 + (x+y) - 10\sqrt{x+y}$.
सरल करने पर,$-2x = 25 - 10\sqrt{x+y}$,जिससे $10\sqrt{x+y} = 2x + 25$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$10 \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$\frac{5}{\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x+y}}{5}$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx})$.
पिछले चरण से $(1 + \frac{dy}{dx})$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{5\sqrt{x+y}} \times \frac{2\sqrt{x+y}}{5} = \frac{2}{25}$.

(B) दिया गया है $x = a(1 - \cos \theta)$ और $y = a(\theta - \sin \theta)$.
सबसे पहले,$\frac{dx}{d\theta} = a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a(1 - \cos \theta)}{a \sin \theta} = \frac{2 \sin^{2}(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\tan(\theta/2)) = \sec^{2}(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
चूंकि $\frac{dx}{d\theta} = a \sin \theta$,इसलिए $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{a \sin \theta}$.
यह मान रखने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{1}{2} \sec^{2}(\theta/2) \cdot \frac{1}{a(2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2))} = \frac{1}{4a \sin(\theta/2) \cos^{3}(\theta/2)} = \frac{\sec^{4}(\theta/2)}{4a}$.

(D) हमें फलन $y = \cos^{2}\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^{2}\left(\frac{5x}{2}\right)$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(2\theta) = \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta)$ का उपयोग करके,हम $\theta = \frac{5x}{2}$ रखकर व्यंजक को सरल कर सकते हैं।
अतः,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$।
अब,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos(5x)) = -5 \sin(5x)$।
इसके बाद,हम $x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(-5 \sin(5x)) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25 \cos(5x)$।
चूंकि $y = \cos(5x)$,हम व्यंजक में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -25y$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = e^{x} g(x)$ है।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot g(x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$.
यह $f^{\prime}(x) = e^{x} g(x) + e^{x} g^{\prime}(x) = e^{x} (g(x) + g^{\prime}(x))$ के रूप में सरल होता है।
अब,अवकलज व्यंजक में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(0) = e^{0} (g(0) + g^{\prime}(0))$.
चूंकि $g(0) = 4$ और $g^{\prime}(0) = 2$ दिया गया है,और हम जानते हैं कि $e^{0} = 1$:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot (4 + 2) = 6$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $f^{\prime}(x) = 2 f(x)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln |f(x)| = 2x + C$.
प्रारंभिक स्थिति $f(0) = 3$ का उपयोग करने पर:
$\ln |f(0)| = 2(0) + C \Rightarrow \ln 3 = C$.
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर:
$\ln |f(x)| = 2x + \ln 3$.
$f(2)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 2$ रखने पर:
$\ln |f(2)| = 2(2) + \ln 3 = 4 + \ln 3$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी (exponential) लेने पर:
$f(2) = e^{4 + \ln 3} = e^{4} \cdot e^{\ln 3} = 3 e^{4}$.

(B) फलन $f(x) = \frac{x+2}{9-x^{2}}$ उन सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है जहाँ हर (denominator) शून्य न हो।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $9 - x^{2} = 0$।
इसका अर्थ है $x^{2} = 9$,जिससे $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $x = 3$ और $x = -3$ पर अपरिभाषित है।
इसलिए,फलन का प्रांत $\{-3, 3\}$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जिसे $R - \{-3, 3\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) फलन $f(y) = \frac{\cos^{-1}(y-5)}{\sqrt{25-y^2}}$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए,इसलिए $-1 \leq y-5 \leq 1$। सभी पक्षों में $5$ जोड़ने पर $4 \leq y \leq 6$ प्राप्त होता है।
$2$. हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $25-y^2 > 0$,जिसका अर्थ है $y^2 < 25$,या $-5 < y < 5$।
$3$. दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर: $y \in [4, 6]$ और $y \in (-5, 5)$।
$4$. प्रतिच्छेदन $4 \leq y < 5$ है,जिसे अंतराल $[4, 5)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,प्रांत $[4, 5)$ है।

(C) महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ को $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
यदि $x$ एक पूर्णांक है,तो $[x] = x$,जिसका अर्थ है $[x] + 1 = x + 1 > x$.
यदि $x$ एक पूर्णांक नहीं है,तो $[x] < x < [x] + 1$.
दोनों ही स्थितियों में,हमें $[x] + 1 > x$ प्राप्त होता है।

(C) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में $f(x) = \sqrt{x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंतर्गत व्यंजक का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए।
अतः,$x \geq 0$।
प्रांत सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जिसे $[0, \infty)$ या $R^{+} \cup \{0\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : y = x + \frac{6}{x}, x, y \in N, x < 6\}$ है।
प्रत्येक $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ के लिए जाँच करते हैं कि क्या $y$ एक प्राकृतिक संख्या $(N)$ है:
$x = 1$ के लिए,$y = 1 + \frac{6}{1} = 7 \in N$.
$x = 2$ के लिए,$y = 2 + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5 \in N$.
$x = 3$ के लिए,$y = 3 + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \in N$.
$x = 4$ के लिए,$y = 4 + \frac{6}{4} = 4 + 1.5 = 5.5 \notin N$.
$x = 5$ के लिए,$y = 5 + \frac{6}{5} = 5 + 1.2 = 6.2 \notin N$.
अतः,संबंध $R = \{(1, 7), (2, 5), (3, 5)\}$ है।
प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है: $\{1, 2, 3\}$.
परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय है: $\{5, 7\}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
हमें $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ ज्ञात करना है।
$f(f(x)) = \frac{2 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) + 3}{3 \left( \frac{2x+3}{3x-2} \right) - 2}$
अंश और हर को $(3x-2)$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$
$= \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4}$
$= \frac{13x}{13} = x$
चूंकि $(f \circ f)(x) = x$,इसलिए यह एक तत्समक फलन है।

(D) माना $y = \frac{x-3}{5-x}$.
$y(5-x) = x-3$
$5y - xy = x - 3$
$5y + 3 = x + xy$
$5y + 3 = x(1+y)$
$x = \frac{5y+3}{1+y}$.
$x$ को परिभाषित होने के लिए हर $1+y \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \neq -1$.
अतः,फलन का परिसर $R - \{-1\}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$ है।
यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{-(-x)}}{e^{-x} - e^{-(-x)}}$
$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}}$
हर (denominator) से ऋण चिह्न बाहर निकालने पर:
$f(-x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{-(e^{x} - e^{-x})}$
$f(-x) = -\left( \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \right)$
$f(-x) = -f(x)$
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$.
हमें $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ ज्ञात करना है।
$(f \circ f)(x) = f\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) = \frac{2\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) + 3}{3\left(\frac{2x+3}{3x-2}\right) - 2}$.
अंश और हर को $(3x-2)$ से गुणा करने पर:
$(f \circ f)(x) = \frac{2(2x+3) + 3(3x-2)}{3(2x+3) - 2(3x-2)}$.
$(f \circ f)(x) = \frac{4x + 6 + 9x - 6}{6x + 9 - 6x + 4} = \frac{13x}{13} = x$.
चूंकि $(f \circ f)(x) = x$ और $g(x) = x$ एक विषम फलन है,इसलिए परिणाम एक विषम फलन है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{4x+7}{7x-4}$.
सबसे पहले,$f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{4(2)+7}{7(2)-4} = \frac{8+7}{14-4} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
इसके बाद,$f[f(2)] = f(\frac{3}{2})$ की गणना करें:
$f(\frac{3}{2}) = \frac{4(\frac{3}{2})+7}{7(\frac{3}{2})-4} = \frac{6+7}{\frac{21}{2}-4} = \frac{13}{\frac{21-8}{2}} = \frac{13 \times 2}{13} = 2$.
अंत में,$f\{f[f(2)]\} = f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{3}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,ध्यान दें कि $f(f(x)) = x$,जिसका अर्थ है कि $f(f(f(x))) = f(x)$.
अतः,$f(f(f(2))) = f(2) = \frac{3}{2}$.

(B) $(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= 4x^{2} + 4x + 1 - 6x - 3 + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
दिया गया है $f(x) = (f \circ g)(x)$
$\therefore x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
$\therefore x = -1, \frac{2}{3}$

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ और $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$।
हमें $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करना है।
$g(f(x)) = \frac{7(f(x)) + 4}{5(f(x)) - 3}$
$f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g(f(x)) = \frac{7(\frac{3x+4}{5x-7}) + 4}{5(\frac{3x+4}{5x-7}) - 3}$
अंश और हर को $(5x-7)$ से गुणा करने पर:
$g(f(x)) = \frac{7(3x+4) + 4(5x-7)}{5(3x+4) - 3(5x-7)}$
$g(f(x)) = \frac{21x + 28 + 20x - 28}{15x + 20 - 15x + 21}$
$g(f(x)) = \frac{41x}{41} = x$
अतः,$(g \circ f)(3) = 3$।

(D) दिया गया है $f(x) = 2x^{2} + bx + c$.
चूंकि $f(0) = 3$,हमारे पास $2(0)^{2} + b(0) + c = 3$ है,जिससे $c = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x) = 2x^{2} + bx + 3$.
दिया गया है $f(2) = 1$,इसलिए $2(2)^{2} + b(2) + 3 = 1$.
$8 + 2b + 3 = 1 \Rightarrow 2b + 11 = 1 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5$.
अतः,$f(x) = 2x^{2} - 5x + 3$.
सबसे पहले,$f(1) = 2(1)^{2} - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$ की गणना करें।
अब,$(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(0)$.
चूंकि $f(0) = 3$,इसलिए $(f \circ f)(1) = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x)=2x-3$ और $g(x)=x^{3}+5$।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x)$ ज्ञात करें:
$(fog)(x) = f(g(x)) = f(x^{3}+5) = 2(x^{3}+5)-3 = 2x^{3}+10-3 = 2x^{3}+7$।
मान लीजिए $y = (fog)(x) = 2x^{3}+7$।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y-7 = 2x^{3} \Rightarrow x^{3} = \frac{y-7}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{y-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(fog)^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = 7x + 8 = y$.
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$7x = y - 8$
$x = \frac{y - 8}{7}$
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y - 8}{7}$,जिसका अर्थ है कि $f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{7}$.
दिया गया है कि $f^{-1}(12) = \frac{k}{7}$,इसलिए $x = 12$ को प्रतिलोम फलन में रखने पर:
$f^{-1}(12) = \frac{12 - 8}{7} = \frac{4}{7}$.
$\frac{4}{7}$ की तुलना $\frac{k}{7}$ से करने पर,हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = y$ मानते हैं।
$y = \frac{4x}{5} + 3$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$y - 3 = \frac{4x}{5}$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$5(y - 3) = 4x$
$4$ से भाग देने पर:
$x = \frac{5(y - 3)}{4}$
चूंकि $x = f^{-1}(y)$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{5(y - 3)}{4}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$f^{-1}(x) = \frac{5(x - 3)}{4}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $y = f(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$.
तब $y(5x - 3) = 3x + 2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $5xy - 3y = 3x + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $5xy - 3x = 3y + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$x(5y - 3) = 3y + 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+2}{5y-3}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{3x+2}{5x-3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{-1}(x) = f(x)$,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $[x]^{2} - 5[x] + 6 = 0$ है।
माना $t = [x]$ है। तब समीकरण $t^{2} - 5t + 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 3)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 2$ या $t = 3$ मिलता है।
अतः,$[x] = 2$ या $[x] = 3$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार:
यदि $[x] = 2$ है,तो $x \in [2, 3)$ है।
यदि $[x] = 3$ है,तो $x \in [3, 4)$ है।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2} - 3x + 4$।
सबसे पहले,हम $f(2x + 1)$ ज्ञात करते हैं:
$f(2x + 1) = (2x + 1)^{2} - 3(2x + 1) + 4$
$= (4x^{2} + 4x + 1) - 6x - 3 + 4$
$= 4x^{2} - 2x + 2$।
चूंकि $f(x) = f(2x + 1)$,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$x^{2} - 3x + 4 = 4x^{2} - 2x + 2$
$3x^{2} + x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^{2} + 3x - 2x - 2 = 0$
$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$
$(x + 1)(3x - 2) = 0$
अतः,$x = -1$ या $x = \frac{2}{3}$।

(A) समाकल $I = \int \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
$5+4x-x^2 = -(x^2-4x-5) = -((x-2)^2 - 4 - 5) = -( (x-2)^2 - 9 ) = 9 - (x-2)^2$.
इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{3^2 - (x-2)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) + c$.

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x)=k(\cos x+\sin x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int k(\cos x + \sin x) dx = k(\sin x - \cos x) + C$।
प्रतिबंध $f(0) = 9$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = k(\sin 0 - \cos 0) + C = k(0 - 1) + C = -k + C = 9$ ...$(1)$।
प्रतिबंध $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 15$ का उपयोग करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = k\left(\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2}\right) + C = k(1 - 0) + C = k + C = 15$ ...$(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(-k + C) + (k + C) = 9 + 15 \Rightarrow 2C = 24 \Rightarrow C = 12$।
$C = 12$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$k + 12 = 15 \Rightarrow k = 3$।
अतः,$f(x) = 3(\sin x - \cos x) + 12$।

(C) अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{4 e^{2x} + 6}{9 e^{2x} - 4} dx$
माना $4 e^{2x} + 6 = A(18 e^{2x}) + B(9 e^{2x} - 4)$
$e^{2x}$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$18A + 9B = 4$ और $-4B = 6$
$-4B = 6$ से,हमें $B = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है
$18A + 9B = 4$ में $B$ का मान रखने पर:
$18A + 9(-\frac{3}{2}) = 4 \Rightarrow 18A - \frac{27}{2} = 4 \Rightarrow 18A = \frac{35}{2} \Rightarrow A = \frac{35}{36}$
अब,$I = \int \left[ \frac{\frac{35}{36}(18 e^{2x})}{9 e^{2x} - 4} - \frac{\frac{3}{2}(9 e^{2x} - 4)}{9 e^{2x} - 4} \right] dx$
$I = \frac{35}{36} \log |9 e^{2x} - 4| - \frac{3}{2} x + c$
$Ax + B \log |9 e^{2x} - 4| + c$ से तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{3}{2}$ और $B = \frac{35}{36}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{\cos 2x + \sin^2 x}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम इसे हर में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int \frac{dx}{1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x}$
$I = \int \frac{dx}{1 - \sin^2 x}$
सर्वसमिका $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$
$I = \int \sec^2 x \, dx$
$\sec^2 x$ का समाकलन $\tan x + c$ होता है।
अतः,$I = \tan x + c$।

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{\cos 2x - \cos^2 x}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करते हुए,हर में मान रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{(2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x} = \int \frac{dx}{\cos^2 x - 1}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 x - 1 = - (1 - \cos^2 x) = -\sin^2 x$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{-\sin^2 x} = -\int \csc^2 x \, dx$.
चूंकि $\cot x$ का अवकलन $-\csc^2 x$ होता है,इसलिए $-\csc^2 x$ का समाकलन $\cot x + c$ होगा।
अतः,$I = \cot x + c$.

(A) दिया गया है कि $f^{\prime}(x)=k(\cos x-\sin x)$।
अवकलन में $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर: $f^{\prime}(0)=k(\cos 0-\sin 0)=k(1-0)=k$।
चूंकि $f^{\prime}(0)=3$,हमें $k=3$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x)$ ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का समाकलन करें:
$f(x)=\int 3(\cos x-\sin x) \, dx = 3(\sin x+\cos x)+C$।
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए शर्त $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=15$ का उपयोग करें:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3(\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2})+C = 3(1+0)+C = 3+C$।
$3+C=15$ रखने पर,हमें $C=12$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)=3(\sin x+\cos x)+12$।

(A) समाकल $\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+13}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^{2}+4 x+13 = (x^{2}+4 x+4) + 9 = (x+2)^{2} + 3^{2}$.
अब,समाकल $\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}}$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=3$ और चर $(x+2)$ है:
$\int \frac{d x}{(x+2)^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right) + c$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos 2 x}}$ है।
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर या पद को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \int \frac{d x}{\cos x \cdot \cos x \sqrt{1 - \tan^2 x}} = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} d x$.
$t = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \sec^2 x d x$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t = \tan x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \sin^{-1}(\tan x) + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\cos ^{-1} x = t$. तब $x = \cos t$ और $dx = -\sin t \ dt$।
साथ ही,$\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = -dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t \left( \frac{\cos t}{\sin t} - 1 \right) (-\sin t \ dt) = \int e^t (\sin t - \cos t) dt$।
सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(t) = \sin t$ और $f'(t) = \cos t$,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\int e^t (\cos t - \sin t) dt = -e^t \cos t + c$।
$t = \cos ^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = -x e^{\cos ^{-1} x} + c$।

(B) माना $I = \int \frac{5^{x}}{\sqrt{5^{-2x}-5^{2x}}} dx$.
हर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sqrt{5^{-2x}-5^{2x}} = \sqrt{\frac{1}{5^{2x}} - 5^{2x}} = \sqrt{\frac{1 - (5^{2x})^2}{5^{2x}}} = \frac{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}}{5^x}$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{5^x}{\frac{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}}{5^x}} dx = \int \frac{5^{2x}}{\sqrt{1 - (5^{2x})^2}} dx$.
माना $t = 5^{2x}$. तब $dt = 5^{2x} \cdot \ln(5) \cdot 2 dx = 2 \ln(5) \cdot 5^{2x} dx$.
अतः,$5^{2x} dx = \frac{dt}{2 \ln(5)} = \frac{dt}{\ln(25)}$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{\ln(25)} = \frac{1}{\ln(25)} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$.
$I = \frac{1}{\ln(25)} \sin^{-1}(t) + c = \frac{\sin^{-1}(5^{2x})}{\ln(25)} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{d x}{(x+2) \sqrt{x+1}}$.
$\sqrt{x+1} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x+1 = t^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = t^2 - 1$ और $dx = 2t \, dt$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 + 2) \cdot t}$
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 + 1) \cdot t}$
$I = 2 \int \frac{dt}{t^2 + 1}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(t) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$
अब $t = \sqrt{x+1}$ वापस रखने पर:
$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+1}) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{\log (\sec x+\tan x)}} dx$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = \frac{1}{\sec x + \tan x} (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx$.
$dt = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} dx$.
$dt = \sec x dx$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{t} + c$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ का मान वापस रखने पर:
$I = 2\sqrt{\log (\sec x + \tan x)} + c$.

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हर का विस्तार करें: $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
अब,द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें: $x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + c$.
वर्गमूल के अंदर के पद को मूल रूप में वापस लाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + c$.

(D) माना $I = \int \frac{1+\log x}{\cos^{2}(x \log x)} dx$.
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए,$t = x \log x$ रखें।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.
अतः,$(1 + \log x) dx = dt$.
समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \frac{1}{\cos^{2} t} dt = \int \sec^{2} t dt$.
$\sec^{2} t$ का समाकलन $\tan t + c$ होता है।
$t = x \log x$ वापस रखने पर,हमें $I = \tan(x \log x) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int x^{x}(1+\log x) dx$.
प्रतिस्थापन $u = x^{x}$ का उपयोग करें।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^{x}(1 + \log x)$.
इसलिए,$du = x^{x}(1 + \log x) dx$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int du = u + c$.
$u$ को $x^{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = x^{x} + c$ प्राप्त होता है।
दिए गए व्यंजक $k x^{x} + c$ के साथ तुलना करने पर,$k = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log_{e} e = 1$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \cos(t) \cdot 2 \, dt$.
$I = 2 \int \cos(t) \, dt$.
$\cos(t)$ का समाकलन करने पर,$I = 2 \sin(t) + c$.
अंत में $t = \sqrt{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = 2 \sin \sqrt{x} + c$ प्राप्त होता है।

(A) $\text{माना } I = \int 7^{7^{7^{x}}} 7^{7^{x}} 7^{x} dx$.
$\text{माना } u = 7^{x}$. $\text{तब } du = 7^{x} \log 7 dx$,$\text{इसलिए } 7^{x} dx = \frac{du}{\log 7}$.
$\text{समाकलन इस प्रकार होगा: } I = \int 7^{7^{u}} 7^{u} \frac{du}{\log 7} = \frac{1}{\log 7} \int 7^{7^{u}} 7^{u} du$.
$\text{माना } v = 7^{u}$. $\text{तब } dv = 7^{u} \log 7 du$,$\text{इसलिए } 7^{u} du = \frac{dv}{\log 7}$.
$\text{इस मान को समाकलन में रखने पर,} I = \frac{1}{\log 7} \int 7^{v} \frac{dv}{\log 7} = \frac{1}{(\log 7)^{2}} \int 7^{v} dv$.
$\text{चूंकि } \int 7^{v} dv = \frac{7^{v}}{\log 7} + C$,$\text{इसलिए } I = \frac{7^{v}}{(\log 7)^{3}} + C$.
$\text{वापस मान } v = 7^{u} = 7^{7^{x}} \text{ रखने पर,हमें प्राप्त होता है } I = \frac{7^{7^{7^{x}}}}{(\log 7)^{3}} + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt{x-\frac{1}{x}}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\right) d x$ है।
$u = x - \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $du = (1 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^2+1}{x^2} dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du$।
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{u^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} u^{3/2} + c$।
$u = x - \frac{1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} (x - \frac{1}{x})^{3/2} + c$।
दिए गए व्यंजक $\frac{2}{3}(x-\frac{1}{x})^k + c$ के साथ तुलना करने पर,$k = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{1+2 e^{-x}}{1-2 e^{-x}} d x$.
अंश को $(1-2e^{-x}) + 4e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{(1-2e^{-x}) + 4e^{-x}}{1-2e^{-x}} d x$.
$I = \int \left( 1 + \frac{4e^{-x}}{1-2e^{-x}} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{2e^{-x}}{1-2e^{-x}} d x$.
माना $u = 1-2e^{-x}$,तब $du = 2e^{-x} d x$.
$I = x + 2 \int \frac{1}{u} du = x + 2 \ln|u| + c$.
$u$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = x + 2 \ln|1-2e^{-x}| + c$ प्राप्त होता है।