MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए $p$ कथन 'वह गरीब है' है और $q$ कथन 'वह खुश है' है।
दिए गए कथन 'वह गरीब है लेकिन खुश है' को तार्किक रूप में $p \wedge q$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि संयोजन का निषेध डी मॉर्गन के नियम द्वारा दिया जाता है: $\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है 'वह गरीब नहीं है' और $\sim q$ का अर्थ है 'वह खुश नहीं है'।
अतः,निषेध 'वह गरीब नहीं है या वह खुश नहीं है' होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ इस तार्किक तुल्यता को दर्शाता है।

(B) दिया गया है: $p \equiv T, q \equiv T, r \equiv F$.
प्रत्येक विकल्प के सत्यता मान की जाँच करने पर:
$(A) (p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(B) (p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(C) (p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(D) (p \leftrightarrow q) \leftrightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T) \leftrightarrow F \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
यहाँ $(B)$ और $(C)$ दोनों सत्य हैं।

(A) माना $p: 5 < 7$,$q: 7 > 2$,और $r: 5 > 2$ है।
दिया गया कथन $(p \wedge q) \rightarrow r$ के रूप में है।
प्रतिबंधात्मक कथन $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge q)$ और $B = r$ है।
अतः,निषेध $(p \wedge q) \wedge \sim r$ होगा।
मान रखने पर: $(5 < 7 \wedge 7 > 2) \wedge \sim(5 > 2)$।
चूंकि $5 > 2$ का निषेध $5 \leq 2$ है,इसलिए अंतिम कथन $(5 < 7 \text{ और } 7 > 2) \text{ और } 5 \leq 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया कथन '$p \land q$' है,जहाँ '$p$: Mangoes are delicious' और '$q$: Mangoes are expensive' है।
तर्कशास्त्र में,'but' शब्द एक संयोजन के रूप में कार्य करता है,जो 'and' $(\land)$ के समतुल्य है।
किसी कथन का द्वैत (dual) 'and' $(\land)$ को 'or' $(\lor)$ से बदलकर और इसके विपरीत प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,'$p \land q$' का द्वैत '$p \lor q$' है।
अतः,द्वैत कथन 'Mangoes are delicious or Mangoes are expensive' है।

(A) वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$p \wedge (q \vee \sim p) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge \sim p)$
चूंकि $(p \wedge \sim p) \equiv F$ (व्याघात),व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$(p \wedge q) \vee F$
तत्समक नियम के अनुसार,$(p \wedge q) \vee F \equiv p \wedge q$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) तार्किक कथन $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \vee \sim q)$ और $B = (p \wedge \sim q)$ है।
अतः,निषेध $(p \vee \sim q) \wedge \sim(p \wedge \sim q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ होता है।
इसलिए,निषेध $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ है।

(B) दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
हम जानते हैं कि निहितार्थ का तार्किक समतुल्य कथन $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है 'सीमा मोटी नहीं है' और $q$ का अर्थ है 'वह खुश है'।
अतः,आवश्यक समतुल्य कथन 'सीमा मोटी नहीं है या वह खुश है' है।

(B) आइए समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें।
$A$: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $(x-2) \in \mathbb{N}$। यदि $x=3$ है,तो $3-2=1 \in \mathbb{N}$। यह सत्य है।
$B$: $\forall x \in A, x+6$ संख्या $2$ से विभाज्य है। यदि $x=3$ है,तो $3+6=9$,जो $2$ से विभाज्य नहीं है। यह असत्य है।
$C$: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $x+2$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $x=3$ है,तो $3+2=5$,जो अभाज्य है। यह सत्य है।
$D$: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $x^{2}+1$ एक सम संख्या है। यदि $x=3$ है,तो $3^{2}+1=10$,जो सम है। यह सत्य है।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया कथन असत्य है।

(D) दिया गया व्यंजक: $[p \wedge (q \vee r)] \vee [(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge r)]$
दूसरे भाग पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$[p \wedge (q \vee r)] \vee [\sim p \wedge (q \vee r)]$
पुनः वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$(q \vee r) \wedge (p \vee \sim p)$
चूंकि $(p \vee \sim p) = T$ (पुनरुक्ति):
$(q \vee r) \wedge T$
$= q \vee r$

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^{2} + hxy + by^{2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इन रेखाओं के संपाती होने के लिए,द्विघात रूप का विविक्तकर शून्य होना चाहिए।
रेखाओं के संपाती होने की शर्त $h^{2} - 4ab = 0$ है।
अतः,$h^{2} = 4ab$।

(A) दिया गया समीकरण: $3x^{2}-2\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $3x^{2}-3\sqrt{3}xy+\sqrt{3}xy-3y^{2}=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $3x(x-\sqrt{3}y)+\sqrt{3}y(x-\sqrt{3}y)=0$
$(3x+\sqrt{3}y)(x-\sqrt{3}y)=0$
अतः,अलग-अलग समीकरण $3x+\sqrt{3}y=0$ और $x-\sqrt{3}y=0$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $4x^{2} + 2hxy - 7y^{2} = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$2h = 2h$ और $b = -7$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $m_{1}$ और $m_{2}$ रेखाओं के ढाल हैं।
ढालों का योग $m_{1} + m_{2} = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि ढालों का योग उनके गुणनफल के बराबर है,इसलिए $\frac{2h}{7} = -\frac{4}{7}$।
दोनों पक्षों को $7$ से गुणा करने पर,हमें $2h = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = -2$।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ है।
चूंकि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण की समद्विभाजक है,इसलिए इसका समीकरण $y=x$ या $y=-x$ अर्थात $x-y=0$ या $x+y=0$ है।
माना दूसरी रेखा $lx+my+n=0$ है।
स्थिति $1$: यदि रेखा $x-y=0$ है,तो $(x-y)(lx+my+n) = lx^{2} + (m-l)xy - my^{2} + nx - ny = 0$।
इसे दिए गए समीकरण $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g = -f$ प्राप्त होता है।
इन शर्तों के आधार पर,सही संबंध $(a+b)^{2}=4(h^{2}+g^{2})$ है।

(A) दिया गया समीकरण $9x^{2}-12xy+4y^{2}=0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=9$,$2h=-12$ (अर्थात $h=-6$),और $b=4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $h^{2}-ab$ की गणना करते हैं:
$h^{2}-ab = (-6)^{2} - (9 \times 4) = 36 - 36 = 0$.
चूंकि $h^{2}-ab=0$ है,इसलिए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं।

(C) रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और धनात्मक $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
ये रेखाएँ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $90^{\circ} \pm 30^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,जो $60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं,जिन्हें $y - \sqrt{3}x = 0$ और $y + \sqrt{3}x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $y^2 - 3x^2 = 0$ या $3x^2 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली और $m_1 = \sqrt{3}+1$ तथा $m_2 = \sqrt{3}-1$ ढाल वाली रेखाओं के समीकरण $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ हैं।
रेखाओं के युग्म $y = m_1 x$ और $y = m_2 x$ के लिए सहायक समीकरण $(m - m_1)(m - m_2) = 0$ होता है,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(m - (\sqrt{3}+1))(m - (\sqrt{3}-1)) = 0$
$m^2 - m(\sqrt{3}-1) - m(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 0$
$m^2 - m(2\sqrt{3}) + (3 - 1) = 0$
$m^2 - 2\sqrt{3}m + 2 = 0$

(C) दी गई रेखा $x+y=0$ है,जिसका ढाल $m_{1} = -1$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं का ढाल $m$ है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,हम सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_{1}}{1 + m m_{1}} \right|$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right| = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{(m+1)^{2}}{(1-m)^{2}}$.
$(1-m)^{2} = 3(m+1)^{2} \Rightarrow 1 - 2m + m^{2} = 3(m^{2} + 2m + 1)$.
$1 - 2m + m^{2} = 3m^{2} + 6m + 3$.
$2m^{2} + 8m + 2 = 0 \Rightarrow m^{2} + 4m + 1 = 0$.
$m = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\left( \frac{y}{x} \right)^{2} + 4\left( \frac{y}{x} \right) + 1 = 0$.
$x^{2}$ से गुणा करने पर: $y^{2} + 4xy + x^{2} = 0$ या $x^{2} + 4xy + y^{2} = 0$.

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ है।
चूंकि $x+2y=0$ एक रेखा है,हम $x = -2y$ लिख सकते हैं।
$x = -2y$ को समीकरण $x^{2}+kxy+2y^{2}=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2y)^{2} + k(-2y)y + 2y^{2} = 0$
$4y^{2} - 2ky^{2} + 2y^{2} = 0$
$6y^{2} - 2ky^{2} = 0$
$2y^{2}(3 - k) = 0$
चूंकि यह रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के लिए सत्य होना चाहिए,इसलिए $3 - k = 0$,जिसका अर्थ है $k = 3$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $k x^{2}+x y-y^{2}=0$ है।
$x^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $k + \frac{y}{x} - (\frac{y}{x})^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m = \frac{y}{x}$ रेखाओं की ढाल है। तब सहायक समीकरण $-m^{2} + m + k = 0$ है।
चूंकि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \pm 1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $m = 1$ है,तो $-(1)^{2} + 1 + k = 0 \implies -1 + 1 + k = 0 \implies k = 0$.
स्थिति $2$: यदि $m = -1$ है,तो $-(-1)^{2} + (-1) + k = 0 \implies -1 - 1 + k = 0 \implies k = 2$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $2$ हैं।

(B) रेखाएँ प्रथम चतुर्थांश में $90^{\circ}$ के कोण को समत्रिभाजित करती हैं। अतः,इन रेखाओं द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं।
रेखा $L_{1}$,$x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है: $y = \tan(30^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ $\Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$.
रेखा $L_{2}$,$x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है: $y = \tan(60^{\circ})x$ $\Rightarrow y = \sqrt{3}x$ $\Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$.
इन दो रेखाओं का संयुक्त समीकरण $(x - \sqrt{3}y)(\sqrt{3}x - y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $\sqrt{3}x^{2} - xy - 3xy + \sqrt{3}y^{2} = 0$.
$\sqrt{3}(x^{2} + y^{2}) - 4xy = 0$.

(B) माना $L_{1}$ और $L_{2}$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली आवश्यक रेखाएँ हैं।
चूंकि रेखाओं और रेखा $y=4$ द्वारा निर्मित त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखा $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,रेखाओं की ढाल $m_{1} = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $m_{2} = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ होगी।
रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ हैं।
इसलिए,संयुक्त समीकरण $(y - \sqrt{3}x)(y + \sqrt{3}x) = 0$ होगा।
इसे सरल करने पर $y^{2} - 3x^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $3x^{2} - y^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-4xy+y^{2}=0$ की तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से करने पर,हमें $a=1$,$2h=-4$ (अर्थात $h=-2$),और $b=1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^{2}-(1)(1)}}{1+1} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4-1}}{2} \right|$
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
चूंकि $\theta = \tan^{-1}(k)$,इसलिए $\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(\sqrt{3})$,जिसका अर्थ है कि $k = \sqrt{3}$।

(D) दिए गए समीकरण $3x^{2}-4\sqrt{3}xy+3y^{2}=0$ की तुलना सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, h=-2\sqrt{3}, b=3$.
हम जानते हैं कि रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}-(3)(3)}}{3+3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{12-9}}{6} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{6} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।

(D) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^{2}-3xy+\lambda y^{2}+3x-5y+2=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$a=1$,$2h=-3 \Rightarrow h=-\frac{3}{2}$,और $b=\lambda$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\tan \theta = \frac{1}{3}$,इसलिए $\frac{1}{3} = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-\lambda}}{1+\lambda} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{4(\frac{9}{4}-\lambda)}{(1+\lambda)^{2}} = \frac{9-4\lambda}{(1+\lambda)^{2}}$.
$(1+\lambda)^{2} = 9(9-4\lambda) = 81-36\lambda$.
$1+2\lambda+\lambda^{2} = 81-36\lambda$.
$\lambda^{2}+38\lambda-80=0$.
$(\lambda+40)(\lambda-2)=0$.
चूंकि $\lambda \geq 0$,इसलिए $\lambda=2$ प्राप्त होता है।

(B) माना रेखाओं की ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ है।
समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ के लिए,$m_{1} + m_{2} = \frac{-2h}{b}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ है।
ढाल का अनुपात $m_{1}:m_{2} = 5:3$ दिया गया है,इसलिए $m_{1} = 5k$ और $m_{2} = 3k$ लें।
अतः $m_{1} + m_{2} = 8k = \frac{-2h}{b} \Rightarrow k = \frac{-h}{4b}$।
साथ ही $m_{1}m_{2} = 15k^{2} = \frac{a}{b}$।
दूसरे समीकरण में $k$ का मान रखने पर: $15 \left( \frac{-h}{4b} \right)^{2} = \frac{a}{b}$।
$15 \left( \frac{h^{2}}{16b^{2}} \right) = \frac{a}{b}$।
$\frac{15h^{2}}{16b} = a$।
अतः,$\frac{h^{2}}{ab} = \frac{16}{15}$।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}+2xy \operatorname{cosec} \alpha+y^{2}=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=\operatorname{cosec} \alpha$,और $b=1$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1}}{1+1} \right|$।
चूंकि $\operatorname{cosec}^{2} \alpha - 1 = \cot^{2} \alpha$,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\cot^{2} \alpha}}{2} \right| = |\cot \alpha|$।
अतः,$\tan \theta = \cot \alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$।

(D) दिया गया समीकरण $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta + x^{2}(\cos^{2} \theta - 1) = 0$ है।
चूंकि $\cos^{2} \theta - 1 = -\sin^{2} \theta$,समीकरण $y^{2} \sin^{2} \theta - xy \sin^{2} \theta - x^{2} \sin^{2} \theta = 0$ हो जाता है।
$\sin^{2} \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $y^{2} - xy - x^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग $a + b = -1 + 1 = 0$ है।
जब $a + b = 0$ होता है,तो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $3x^{2} + 2xy - y^{2} = 0$ है। इसे $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
कोण समद्विभाजकों के युग्म का संयुक्त समीकरण $\frac{x^{2} - y^{2}}{a - b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{x^{2} - y^{2}}{3 - (-1)} = \frac{xy}{1}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^{2} - y^{2}}{4} = xy$.
$x^{2} - y^{2} = 4xy$.
$x^{2} - 4xy - y^{2} = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}-y^{2}=0$ है,जिसे $(x-y)(x+y)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,दी गई रेखाओं की ढाल $m_{1}=1$ और $m_{2}=-1$ है।
$(2,3)$ से गुजरने वाली और इन रेखाओं के समांतर रेखाओं के समीकरण हैं:
$(y-3)=1(x-2) \Rightarrow x-y+1=0$
$(y-3)=-1(x-2) \Rightarrow x+y-5=0$
संयुक्त समीकरण इन दो रेखाओं का गुणनफल है:
$(x-y+1)(x+y-5)=0$
इसका विस्तार करने पर:
$x^{2}-y^{2}-4x+6y-5=0$

(C) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = ABC + 2FGH - AF^{2} - BG^{2} - CH^{2} = 0$ है।
दिए गए समीकरण $kxy + 5x + 3y + 2 = 0$ की तुलना करने पर:
$A = 0, B = 0, C = 2, H = \frac{k}{2}, G = \frac{5}{2}, F = \frac{3}{2}$।
शर्त में मान रखने पर:
$0 + 2(\frac{3}{2})(\frac{5}{2})(\frac{k}{2}) - 0 - 0 - 2(\frac{k}{2})^{2} = 0$।
$\frac{15k}{4} - \frac{2k^{2}}{4} = 0$।
$15k - 2k^{2} = 0$।
$k(15 - 2k) = 0$।
अतः,$k = 0$ या $k = \frac{15}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $4x^{2}-y^{2}+2x+y=0$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $(2x)^{2} - y^{2} + (2x+y) = 0$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(2x-y)(2x+y) + (2x+y) = 0$
$(2x+y)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(2x+y)(2x-y+1) = 0$
अतः,अलग-अलग समीकरण $2x+y=0$ और $2x-y+1=0$ हैं।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=\lambda, g=\frac{3}{2}, f=-\frac{5}{2}, c=2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
मान रखने पर: $\begin{vmatrix} 1 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & \lambda & -\frac{5}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} & 2 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(8\lambda - 25) + 3(-12 + 15) + 3(15 - 6\lambda) = 0$.
$16\lambda - 50 + 9 + 45 - 18\lambda = 0$ $\Rightarrow -2\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2}-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-2}}{1+2} \right| = \frac{1}{3}$.
अतः,$\cot \theta = 3$.
इसलिए,$\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 1 + 9 = 10$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है यदि सारणिक $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & k \end{vmatrix} = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $ax^{2} + 0xy + by^{2} + cx + cy + 0 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $h = 0$,$g = c/2$,$f = c/2$,और $k = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सारणिक स्थिति में रखने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c/2 \\ 0 & b & c/2 \\ c/2 & c/2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(0 - c^{2}/4) - 0 + (c/2)(0 - bc/2) = 0$.
$-ac^{2}/4 - bc^{2}/4 = 0$.
$-4$ से गुणा करने पर:
$ac^{2} + bc^{2} = 0$.
$c^{2}(a + b) = 0$.
चूंकि $c \neq 0$,इसलिए $a + b = 0$ होगा।

(D) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=3, h=5, b=3, g=0, f=8, c=k$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है,इसलिए शर्त $abc+2fgh-af^{2}-bg^{2}-ch^{2}=0$ है।
मान रखने पर: $(3)(3)(k)+2(8)(0)(5)-3(8)^{2}-3(0)^{2}-k(5)^{2}=0$.
$9k+0-192-0-25k=0$.
$-16k=192$.
$k = -12$.

(A) माना $\phi(x, y) = 2x^{2}-xy-15y^{2}-7x+32y-9=0$ ...$(1)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक अवकलन करते हैं:
$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 4x-y-7=0$ ...$(2)$
$\frac{\partial \phi}{\partial y} = -x-30y+32=0$ ...$(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर:
$(2)$ से,$y = 4x-7$.
इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-x - 30(4x-7) + 32 = 0$ $\Rightarrow -x - 120x + 210 + 32 = 0$ $\Rightarrow -121x + 242 = 0$ $\Rightarrow x = 2$.
तब $y = 4(2)-7 = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
$(2, 1)$ से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएं $x=2$ और $y=1$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x-2)(y-1) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $xy - x - 2y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय की नाभि $S = (1, -2)$ है।
नियता का समीकरण $x + y + 3 = 0$ है।
नाभि से नियता की दूरी $d$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
मान रखने पर,$d = \frac{|1(1) + 1(-2) + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times (\text{नाभि से नियता की दूरी})$.
नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ इकाई।

(B) $(0, 0)$ पर शीर्ष और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ के रूप का होता है।
चूंकि बिंदु $(4, 4)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $4^2 = 4a(4)$,जिसका अर्थ है $16 = 16a$,अतः $a = 1$ है।
परवलय का समीकरण $x^2 = 4y$ है।
इस परवलय की नाभि $(0, a) = (0, 1)$ है।
परवलय $x^2 = 4ay$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $|y_1 + a|$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,नाभीय दूरी $|4 + 1| = 5$ प्राप्त होती है।

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = x$ है। मानक रूप $y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 1$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{1}{4}$।
प्राचल $t$ के पदों में परवलय $y^{2} = 4ax$ पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(at^{2}, 2at)$ होते हैं।
दिए गए प्राचल $t = -\frac{4}{3}$ के लिए,$a = \frac{1}{4}$ और $t = -\frac{4}{3}$ रखने पर:
$x = at^{2} = \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$।
$y = 2at = 2 \times \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{2}{3}$।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{4}{9}, -\frac{2}{3}\right)$ हैं।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}+2y=8x-7$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^{2}-8x=-2y-7$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^{2}-8x+16=-2y-7+16$।
यह सरल होकर $(x-4)^{2}=-2y+9$ हो जाता है।
दाईं ओर से $-2$ कॉमन लेने पर: $(x-4)^{2}=-2(y-\frac{9}{2})$।
इसकी तुलना मानक रूप $(x-h)^{2}=4a(y-k)$ से करने पर,जहाँ नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ होती है।
यहाँ,$4a = -2$,इसलिए नाभिलंब की लंबाई $|-2| = 2$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $3x^{2} = 16y$ है।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x^{2} = \frac{16}{3}y$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $x^{2} = 4ay$ के साथ तुलना करने पर,$4a = \frac{16}{3}$ प्राप्त होता है,जिससे $a = \frac{4}{3}$ मिलता है।
परवलय $x^{2} = 4ay$ के लिए नियता का समीकरण $y = -a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $y = -\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3y + 4 = 0$ मिलता है।

(A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(X) - n(A \cup B)$.
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
अब,$n(A' \cap B') = n(X) - n(A \cup B) = 700 - 400 = 300$.

(C) '$LOGARITHM$' शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $L, O, G, A, R, I, T, H, M$.
इसमें $3$ स्वर $(O, A, I)$ और $6$ व्यंजन $(L, G, R, T, H, M)$ हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $9!$ है।
व्यवस्था के स्वर से शुरू होने और व्यंजन पर समाप्त होने के लिए:
- पहला स्थान $3$ स्वरों में से $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
- अंतिम स्थान $6$ व्यंजनों में से $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
- शेष $7$ स्थानों को शेष $7$ अक्षरों द्वारा $7!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल अनुकूल व्यवस्था $= 3 \times 6 \times 7!$.
प्रायिकता $= \frac{3 \times 6 \times 7!}{9!} = \frac{18 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$.

(A) कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
गड्डी में राजाओं की संख्या $= 4$.
राजा न होने वाले पत्तों की संख्या $= 52 - 4 = 48$.
किसी घटना $E$ के पक्ष में संयोगानुपात (odds) अनुकूल परिणामों और प्रतिकूल परिणामों का अनुपात होता है।
राजा निकालने के पक्ष में संयोगानुपात $= \frac{\text{राजाओं की संख्या}}{\text{राजा न होने वाले पत्तों की संख्या}} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$.
अतः,पक्ष में संयोगानुपात $1:12$ है।

(A) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।
$3$ के गुणज वाले योग $3, 6, 9$ और $12$ हैं।
अनुकूल परिणाम हैं:
योग $3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ परिणाम)
योग $6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ परिणाम)
योग $9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ परिणाम)
योग $12$: $(6, 6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 2 + 5 + 4 + 1 = 12$।
प्रतिकूल परिणाम $= 36 - 12 = 24$।
पक्ष में ऑड्स $= \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ या $1: 2$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ के पक्ष में ऑड्स $2:3$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
दिया गया है कि $B$ के विपक्ष में ऑड्स $4:5$ हैं,इसलिए $B$ के पक्ष में ऑड्स $5:4$ होंगे,जिसका अर्थ है कि $P(B) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $P(A) = \frac{2}{5}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,$P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B)$.
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} - P(A \cap B)$
$\frac{1}{2} = \frac{13}{20} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = \frac{13}{20} - \frac{10}{20} = \frac{3}{20}$.
अब,$P(A' \cup B') = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $2$ या $3$ से विभाज्य है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक हैं।
$2$ से विभाज्य योग: $2, 4, 6, 8, 10, 12$ हैं।
$3$ से विभाज्य योग: $3, 6, 9, 12$ हैं।
अतः,$2$ या $3$ से विभाज्य योग: $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए परिणामों की गणना करने पर:
योग $2: (1,1) - 1$ परिणाम
योग $3: (1,2), (2,1) - 2$ परिणाम
योग $4: (1,3), (2,2), (3,1) - 3$ परिणाम
योग $6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5$ परिणाम
योग $8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - 5$ परिणाम
योग $9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4$ परिणाम
योग $10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3$ परिणाम
योग $12: (6,6) - 1$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 1 + 2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 24$ हैं।
इसलिए,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$।

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि छात्र $P, Q, R$ क्रमशः समस्या को हल करते हैं।
दी गई प्रायिकताएँ $P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{3}$,$P(E_3) = \frac{1}{4}$ हैं।
समस्या के किसी के द्वारा हल न होने की प्रायिकता वह है कि तीनों छात्र इसे हल करने में विफल रहते हैं।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है:
$P(\text{कोई हल नहीं}) = P(E_1^c) \times P(E_2^c) \times P(E_3^c)$
$P(E_1^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(E_2^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(E_3^c) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\text{कोई हल नहीं}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
समस्या के हल होने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई हल नहीं})$ है।
$P(\text{हल}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(B) माना $\triangle ABC$ के कोण $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ और $C$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$।
सबसे छोटा कोण $45^{\circ}$ और सबसे बड़ा कोण $75^{\circ}$ है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,सबसे छोटी भुजा और सबसे बड़ी भुजा का अनुपात $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ होगा।
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।
अनुपात = $\frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$।
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,हमारे पास है: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\sin A}{3} = \frac{(2/3)}{2}$
$\frac{\sin A}{3} = \frac{1}{3}$
$\sin A = 1$
अतः,$A = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - 1) \sin x^{\circ}}{x^2}$
$x^{\circ} = \frac{x\pi}{180}$ रेडियन रूपांतरण का उपयोग करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{2x} - 1)}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{x\pi}{180})}{x}$
$f(0) = \lim_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(\frac{x\pi}{180})}{\frac{x\pi}{180}} \right)$
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ और $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = 2(1) \cdot \frac{\pi}{180}(1) = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$.

(D) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(x)$ के व्यंजक को सरल करें:
$f(x) = \frac{(1+\cos 2x) - \sin 2x}{(1+\cos 2x) + \sin 2x} = \frac{2\cos^2 x - 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x}$.
अंश और हर से $2\cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x) = \frac{2\cos x(\cos x - \sin x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$.
अब,$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ पर सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
अतः,$k = -1$।

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।
अतः,$k = \lim_{x \to 0} \left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right]^{\frac{1}{x}}$.
सूत्र $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ का उपयोग करने पर:
$k = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^{\frac{1}{x}}$.
यह $1^{\infty}$ के रूप में है,इसलिए हम सीमा के गुण $\lim_{x \to 0} (1 + u(x))^{v(x)} = e^{\lim_{x \to 0} u(x)v(x)}$ का उपयोग करेंगे।
$k = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1 \right) \right]$.
$k = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x} \right) \right] = \exp \left[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)} \right]$.
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए $k = e^{2(1)/(1-0)} = e^{2}$।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = 2$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{81^{x}-9^{x}}{k^{x}-1} = 2$.
अंश से $9^{x}$ उभयनिष्ठ लेने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^{x}(9^{x}-1)}{k^{x}-1} = 2$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9^{x} \cdot \frac{9^{x}-1}{x}}{\frac{k^{x}-1}{x}} = 2$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \ln a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{9^{0} \cdot \ln 9}{\ln k} = 2$.
चूंकि $9^{0} = 1$,इसलिए $\frac{\ln 9}{\ln k} = 2$ प्राप्त होता है।
$\ln 9 = 2 \ln k \Rightarrow \ln 9 = \ln k^{2}$.
$k^{2} = 9 \Rightarrow k = 3$ (क्योंकि घातांकीय फलन के आधार के लिए $k$ धनात्मक होना चाहिए)।
अतः,$k$ का मान $3$ है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{\log 10 + \log(0.1 + 2x)}{2x}$ है।
गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\log 10 + \log(0.1 + 2x) = \log(10 \times (0.1 + 2x)) = \log(1 + 20x)$।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{2x} = k$।
हम जानते हैं कि $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ होता है।
$20$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{20x} \times 10 = k$।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1 + 20x)}{20x} = 1$,इसलिए $1 \times 10 = k$,अर्थात $k = 10$।
अतः,$k + 2 = 10 + 2 = 12$।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{|x-2|}{x-2}$ जहाँ $x \neq 2$ और $f(2) = 1$ है।
हम जानते हैं कि यदि $x > 2$ है तो $|x-2| = (x-2)$ और यदि $x < 2$ है तो $|x-2| = -(x-2)$ होता है।
दाहिनी सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x-2}{x-2} = 1$।
बाईं सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-(x-2)}{x-2} = -1$।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$,इसलिए $x=2$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
साथ ही,$f(2) = 1$ है। सीमा का अस्तित्व न होने के कारण,फलन $f(x)$,$x=2$ पर असतत है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
सीमा की गणना करते हुए: $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1+4x}{1-4x}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{\lim_{x \rightarrow 0} (1+4x)^{\frac{1}{x}}}{\lim_{x \rightarrow 0} (1-4x)^{\frac{1}{x}}}$.
मानक सीमा सूत्र $\lim_{u \rightarrow 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\left[\lim_{x \rightarrow 0} (1+4x)^{\frac{1}{4x}}\right]^{4}}{\left[\lim_{x \rightarrow 0} (1-4x)^{\frac{1}{-4x}}\right]^{-4}} = \frac{e^{4}}{e^{-4}}$.
$= e^{4 - (-4)} = e^{8}$.

(B) फलन $f(x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \frac{1}{x-1}$ जहाँ $0 \leq x \leq 2$
$f(x) = \frac{x+5}{x+3}$ जहाँ $2 < x \leq 4$
चरण $1$: अंतरालों के भीतर असांतत्य की जाँच करें।
$0 \leq x \leq 2$ के लिए,फलन $f(x) = \frac{1}{x-1}$,$x=1$ पर अपरिभाषित है। चूँकि $1 \in [0, 2]$,इसलिए $x=1$ असांतत्य का बिंदु है।
$2 < x \leq 4$ के लिए,फलन $f(x) = \frac{x+5}{x+3}$,$x=-3$ पर अपरिभाषित है। चूँकि $-3 \notin (2, 4]$,इसलिए इस अंतराल में असांतत्य का कोई बिंदु नहीं है।
चरण $2$: सीमा बिंदु $x=2$ पर सांतत्य की जाँच करें।
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2-1} = 1$
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+5}{x+3} = \frac{2+5}{2+3} = \frac{7}{5}$
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$,इसलिए फलन $x=2$ पर असांतत्य है।
निष्कर्ष: असांतत्य के बिंदु $x=1$ और $x=2$ हैं।

(A) चूँकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,इसलिए $x \to 0$ पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0} \frac{4 \sin \pi x}{5 x} = 2k$
हम जानते हैं कि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ होता है।
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \sin \pi x}{5 x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4 \pi \sin \pi x}{5 \pi x} \right) = \frac{4 \pi}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{4 \pi}{5} \times 1 = \frac{4 \pi}{5}$.
इसे $f(0) = 2k$ के बराबर रखने पर:
$\frac{4 \pi}{5} = 2k$
$k = \frac{4 \pi}{10} = \frac{2 \pi}{5}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) चूंकि $f$,$x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ होगा।
सीमा $\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$ के लिए एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \sin x + \cos x)}{\frac{d}{dx}(1 + \sin x + \cos x)} = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{-\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x}$.
$x = \pi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(\pi) = \frac{-\cos(\pi) - \sin(\pi)}{\cos(\pi) - \sin(\pi)} = \frac{-(-1) - 0}{-1 - 0} = \frac{1}{-1} = -1$.

(A) $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
दिया गया है कि $f(x) = \frac{(e^{3x}-1) \sin x^{\circ}}{x^2}$ जब $x \neq 0$ है।
हम जानते हैं कि $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$ रेडियन होता है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin(\frac{\pi x}{180})}{x^2}$ है।
$3x$ और $\frac{\pi}{180}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot 3 \right) \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi x}{180})}{\frac{\pi x}{180}} \cdot \frac{\pi}{180} \right) = (1 \cdot 3) \cdot (1 \cdot \frac{\pi}{180}) = \frac{3\pi}{180} = \frac{\pi}{60}$ है।
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \frac{\pi}{60}$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x=0$ पर संतत है।

(D) फलन $f(x) = \frac{x+1}{9x+x^3}$ को $f(x) = \frac{x+1}{x(9+x^2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फलन वहाँ असंतत होता है जहाँ हर शून्य हो जाता है,अर्थात $x(9+x^2) = 0$।
इस समीकरण के लिए,हमें $x = 0$ या $9+x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^2 = -9$ का कोई वास्तविक हल नहीं है क्योंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
इसलिए,फलन केवल $x = 0$ पर असंतत है।
अतः,फलन ठीक एक बिंदु पर असंतत है।

(C) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $f(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $x = 0$ पर असतत है।
चूँकि फलन $x = 0$ पर सतत नहीं है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय भी नहीं है।
अतः,फलन $x = 0$ पर न तो सतत है और न ही अवकलनीय है।

(C) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ और $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sqrt{\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\tan x) dx$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\cot x) dx$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\log (\tan x) + \log (\cot x)] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\tan x \cdot \cot x) dx$
चूंकि $\tan x \cdot \cot x = 1$,इसलिए:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (1) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0$
अतः,$I = 0$.

(B) $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} d x$
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{1+(\sin ^{2} x)^{2}} d x$
माना $\sin ^{2} x = t$,तब $2 \sin x \cos x d x = dt$.
जब $x = 0$,$t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$,$t = 1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{1}{2} [\tan ^{-1} t]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{2} (\tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} 0) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x = k \log 3$.
$t = \sin x - \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = (\cos x + \sin x) dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = -1$ और जब $x = \frac{\pi}{4}$,तब $t = 0$.
साथ ही,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,इसलिए $\sin 2x = 1 - t^2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{9 + 16(1 - t^2)} = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{25 - 16t^2} = \frac{1}{16} \int_{-1}^{0} \frac{dt}{(\frac{5}{4})^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log |\frac{a+x}{a-x}|$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{16} \times \frac{1}{2(\frac{5}{4})} [\log |\frac{\frac{5}{4} + t}{\frac{5}{4} - t}|]_{-1}^{0} = \frac{1}{40} [\log |\frac{5+4t}{5-4t}|]_{-1}^{0}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{40} [\log(1) - \log(\frac{1}{9})] = \frac{1}{40} \log(9) = \frac{1}{40} \log(3^2) = \frac{2}{40} \log 3 = \frac{1}{20} \log 3$.
$k \log 3$ के साथ तुलना करने पर,$k = \frac{1}{20}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$; जब $x = 1$,तो $\theta = \frac{\pi}{4}$.
समाकलन $I = \int_{0}^{\pi/4} \tan^{-1}(\tan 2\theta) \sec^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/4} 2\theta \sec^2 \theta d\theta$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int \tan \theta d\theta \right]_{0}^{\pi/4}$.
$I = 2 \left[ \theta \tan \theta + \log |\cos \theta| \right]_{0}^{\pi/4}$.
$I = 2 \left[ (\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \log |\frac{1}{\sqrt{2}}|) - (0 + \log 1) \right]$.
$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 \right] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

(C) हम जानते हैं कि $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
$\sec^2 \frac{x}{2}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $2 \tan \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{2} \left[ 2 \tan \frac{x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[ \tan \frac{x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
सीमाओं (limits) का मान रखने पर:
$I = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int_{0}^{5} \frac{d x}{x^{2}+2 x+10}$ है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^{2}+2x+10 = (x+1)^{2} + 3^{2}$।
अतः,$I = \int_{0}^{5} \frac{d x}{(x+1)^{2} + 3^{2}}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x+1}{3}) \right]_{0}^{5}$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{3} [\tan^{-1}(\frac{5+1}{3}) - \tan^{-1}(\frac{0+1}{3})] = \frac{1}{3} [\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(\frac{1}{3})]$।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{2 - 1/3}{1 + 2(1/3)}) = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{5/3}{5/3}) = \frac{1}{3} \tan^{-1}(1)$।
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $I = \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$।

(C) समाकलन $I = \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = a \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करें।
तब $dx = 2a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ होगा।
जब $x = 0$ है,तो $\theta = 0$ और जब $x = a$ है,तो $\sin^2 \theta = 1$,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{a \sin^2 \theta}{a - a \sin^2 \theta}} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2a \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = a \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$
$I = a [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_{0}^{\pi/2} = a [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{2} a$.
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) समाकल $I = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,मान लीजिए $u = x^{2}-1$.
तब $du = 2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} du$.
जब $x = 2$,तब $u = 2^{2}-1 = 3$.
जब $x = 3$,तब $u = 3^{2}-1 = 8$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{3}^{8} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du$
$I = \frac{1}{2} [\log |u|]_{3}^{8}$
$I = \frac{1}{2} (\log 8 - \log 3)$
$I = \frac{1}{2} \log \left(\frac{8}{3}\right)$.

(B) समाकल $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}-2}{x^{2}+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश को $(x^{2}+1)-3$ के रूप में लिख सकते हैं।
$I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}+1-3}{x^{2}+1} dx$
$I = \int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1} - \frac{3}{x^{2}+1} \right) dx$
$I = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{3}{x^{2}+1} \right) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = [x - 3 \tan^{-1}(x)]_{0}^{1}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (1 - 3 \tan^{-1}(1)) - (0 - 3 \tan^{-1}(0))$
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ और $\tan^{-1}(0) = 0$ है:
$I = (1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4}) - (0 - 0)$
$I = 1 - \frac{3\pi}{4}$

(D) दिया गया निश्चित समाकल: $\int_{1}^{k}(3x^{2}+2x+1)dx=11$
फलन का पद-दर-पद समाकलन करने पर: $[x^{3}+x^{2}+x]_{1}^{k}=11$
सीमाओं को लागू करने पर: $(k^{3}+k^{2}+k)-(1^{3}+1^{2}+1)=11$
व्यंजक को सरल करने पर: $k^{3}+k^{2}+k-3=11$
$k^{3}+k^{2}+k-14=0$
मूलों की जाँच करने पर,यदि $k=2$ हो: $(2)^{3}+(2)^{2}+2-14 = 8+4+2-14 = 0$
अतः,$k=2$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $k$ का मान $2$ है.

(B) समाकलन के अंदर दिया गया व्यंजक $e^{-x}$ का मैकलॉरिन श्रेणी विस्तार है।
अतः,समाकलन $\int_{0}^{1} e^{-x} \cdot e^{2x} \, dx$ हो जाता है।
घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$e^{-x} \cdot e^{2x} = e^{-x + 2x} = e^{x}$।
इसलिए,समाकलन $\int_{0}^{1} e^{x} \, dx$ है।
निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $[e^{x}]_{0}^{1}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$e^{1} - e^{0} = e - 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_{1}^{e} \frac{dx}{x(1+\log x)^{2}}$.
$u = 1 + \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1$,तब $u = 1 + \log 1 = 1 + 0 = 1$.
जब $x = e$,तब $u = 1 + \log e = 1 + 1 = 2$.
अतः,$I = \int_{1}^{2} \frac{du}{u^{2}} = \int_{1}^{2} u^{-2} du$.
$I = \left[ \frac{u^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{2}$.
$I = -\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{1} \right) = -\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया समाकलन $\int_{0}^{a} \frac{dx}{1+(2x)^{2}} = \frac{\pi}{8}$ है।
माना $2x = t$,तो $2dx = dt$ या $dx = \frac{dt}{2}$ होगा।
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = a, t = 2a$ होगा।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_{0}^{2a} \frac{1}{1+t^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{\pi}{8}$.
$\frac{1}{2} [\tan^{-1}(t)]_{0}^{2a} = \frac{\pi}{8}$.
$\tan^{-1}(2a) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$.
$\tan^{-1}(2a) = \frac{\pi}{4}$.
$2a = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$a = \frac{1}{2}$.

(A) माना कि $f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$.
तब,$f(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{e^{-x} - e^{x}} = \frac{e^{-x} + e^{x}}{-(e^{x} - e^{-x})} = -\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
यहाँ $x = 0$ पर फलन अपरिभाषित है,इसलिए यह एक अनुचित समाकलन है।
मुख्य मान ज्ञात करने पर: $\int_{-5}^{5} \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} dx = \left[ \ln|e^{x} - e^{-x}| \right]_{-5}^{5} = \ln|e^{5} - e^{-5}| - \ln|e^{-5} - e^{5}| = 0$.

(A) माना $t \text{ मिनट}$ पर वस्तु का तापमान $\theta^{\circ} C$ है। कमरे का तापमान $T_s = 25^{\circ} C$ है। न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - T_s)$.
इसका समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 25) = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 135^{\circ} C$,इसलिए $C = \ln(135 - 25) = \ln(110)$.
अतः,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -kt$.
$t = 60 \text{ मिनट}$ पर,$\theta = 80^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{80 - 25}{110}\right) = -60k \Rightarrow \ln(0.5) = -60k \Rightarrow k = -\frac{1}{60}\ln(0.5)$.
$t = 120 \text{ मिनट}$ $(2 \text{ घंटे})$ के लिए,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{110}\right) = -120 \times \left(-\frac{1}{60}\ln(0.5)\right) = 2\ln(0.5) = \ln(0.5^2) = \ln(0.25)$.
इसलिए,$\frac{\theta - 25}{110} = 0.25 \Rightarrow \theta - 25 = 110 \times 0.25 = 27.5$.
$\theta = 27.5 + 25 = 52.5^{\circ} C$.

(C) माना $f(x) = \sin^{2} x$.
चूंकि $f(-x) = [\sin(-x)]^{2} = (-\sin x)^{2} = \sin^{2} x$,अतः $f(x)$ एक सम फलन है।
सम फलन के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx$.
सर्वसमिका $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$= [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$= (\frac{\pi}{2} - \frac{\sin \pi}{2}) - (0 - \frac{\sin 0}{2}) = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{a} (a-x)^{\frac{3}{2}} x^{2} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{a} (a-(a-x))^{\frac{3}{2}} (a-x)^{2} dx = \int_{0}^{a} x^{\frac{3}{2}} (a^{2} - 2ax + x^{2}) dx$।
$I = \int_{0}^{a} (a^{2} x^{\frac{3}{2}} - 2a x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{7}{2}}) dx$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = a^{2} \left[ \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{a} - 2a \left[ \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} \right]_{0}^{a} + \left[ \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} \right]_{0}^{a}$।
$I = \frac{2}{5} a^{2} (a^{\frac{5}{2}}) - 2a \left( \frac{2}{7} a^{\frac{7}{2}} \right) + \frac{2}{9} a^{\frac{9}{2}}$।
$I = \frac{2}{5} a^{\frac{9}{2}} - \frac{4}{7} a^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9} a^{\frac{9}{2}}$।
$I = a^{\frac{9}{2}} \left( \frac{2}{5} - \frac{4}{7} + \frac{2}{9} \right) = a^{\frac{9}{2}} \left( \frac{126 - 180 + 70}{315} \right) = \frac{16}{315} a^{\frac{9}{2}}$।

(A) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left[\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right] d x$.
हम $\tan ^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$.
गुणधर्म $\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x)] dx \quad \dots(1)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(1-(1-x))] dx = \int_{0}^{1} [\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x] dx \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{1} [\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x] dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$.
अतः,$I = 0$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\frac{2}{3}}(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{\frac{2}{3}} x}{\cos^{\frac{2}{3}} x + \sin^{\frac{2}{3}} x} dx \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x}{\sin^{\frac{2}{3}} x + \cos^{\frac{2}{3}} x} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(B) माना $f(x) = x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right)$.
अब,$f(-x)$ की गणना करके फलन की समता या विषम प्रकृति की जाँच करते हैं:
$f(-x) = (-x)^{2}\left(\frac{e^{(-x)^{3}}-e^{-(-x)^{3}}}{e^{(-x)^{3}}+e^{-(-x)^{3}}}\right)$
$f(-x) = x^{2}\left(\frac{e^{-x^{3}}-e^{x^{3}}}{e^{-x^{3}}+e^{x^{3}}}\right)$
$f(-x) = x^{2}\left(\frac{-(e^{x^{3}}-e^{-x^{3}})}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right)$
$f(-x) = -x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-a}^{a} x^{2}\left(\frac{e^{x^{3}}-e^{-x^{3}}}{e^{x^{3}}+e^{-x^{3}}}\right) d x = 0$।

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/3}}{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}} dx \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3}}{(\sec(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3} + (\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x))^{1/3}} dx$
चूँकि $\sec(\frac{\pi}{2}-x) = \operatorname{cosec} x$ और $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2}-x) = \sec x$ है,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\operatorname{cosec} x)^{1/3}}{(\operatorname{cosec} x)^{1/3} + (\sec x)^{1/3}} dx \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}}{(\sec x)^{1/3} + (\operatorname{cosec} x)^{1/3}} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x$.
साइन और कोसाइन में परिवर्तित करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x}+\cos x} d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\sin(\frac{\pi}{2}-x)\cos(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\sin x}{1+\cos x \sin x} d x \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x + \cos x-\sin x}{1+\sin x \cos x} d x$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 d x = 0$
अतः,$I = 0$.

(B) माना कि $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{-2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx = 0$।

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left( \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right) dx$.
$f(x) = \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}}$ को परिभाषित करें।
अब,$f(-x)$ की गणना करें:
$f(-x) = \sqrt{1+(-x)+(-x)^{2}} - \sqrt{1-(-x)+(-x)^{2}} = \sqrt{1-x+x^{2}} - \sqrt{1+x+x^{2}}$.
इसे $f(-x) = - \left( \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right) = -f(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,और निश्चित समाकल के गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ के अनुसार यदि $f(x)$ विषम है,तो $I = 0$ होगा।

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x \sin x}{\cos^{3} x + \cos x} dx$.
समाकल्य का सरलीकरण करने पर: $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{\cos^{2}(\pi - x) + 1} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx - I$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^{2} x + 1} dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$.
जब $x = 0, t = 1$; जब $x = \pi, t = -1$.
$2I = -\pi \int_{1}^{-1} \frac{dt}{t^{2} + 1} = \pi \int_{-1}^{1} \frac{dt}{t^{2} + 1} = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^{2} + 1}$.
$2I = 2\pi [\tan^{-1} t]_{0}^{1} = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^{2}}{2}$.
$I = \frac{\pi^{2}}{4}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \, dx$.
हम समाकल्य को $\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+x^{2}} \right) \, dx$.
$I = \left[ x - \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{1}$.
सीमाओं पर मान रखने पर:
$I = (1 - \tan^{-1}(1)) - (0 - \tan^{-1}(0))$.
चूँकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ और $\tan^{-1}(0) = 0$,
$I = 1 - \frac{\pi}{4} - 0 = 1 - \frac{\pi}{4}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin x} - e^{\cos x}) dx$ ....$(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} - e^{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}) dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\cos x} - e^{\sin x}) dx$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\sin x} - e^{\cos x} + e^{\cos x} - e^{\sin x}) dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (0) dx$
$2I = 0 \Rightarrow I = 0$

(D) माना $f(x) = \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right)$.
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{8-(-x)}{8+(-x)}\right) = \log \left(\frac{8+x}{8-x}\right)$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x = 0$।

(B) माना $I = \int_{-5}^{5} \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) dx$.
$f(x) = \log \left(\frac{7-x}{7+x}\right)$ को परिभाषित करें।
$f(-x)$ की गणना करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{7-(-x)}{7+(-x)}\right) = \log \left(\frac{7+x}{7-x}\right)$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{7-x}{7+x}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$.

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x}{\tan x + \cot x} \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\pi}{5}$ और $b = \frac{3 \pi}{10}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{5} + \frac{3 \pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan(\frac{\pi}{2}-x)}{\tan(\frac{\pi}{2}-x) + \cot(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$.
चूँकि $\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x$ और $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x$,इसलिए:
$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\cot x}{\cot x + \tan x} \, dx \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x + \cot x}{\tan x + \cot x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} 1 \, dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} = \frac{3 \pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$
$I = \frac{\pi}{20}$

(A) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx$ है।
हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^{2}} = \frac{x - (1-x)}{1 + x(1-x)}$।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x)) dx$ ... $(1)$।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(1-(1-x))) dx = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x) dx$ ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1} x - \tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1} x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0$।
अतः,$I = 0$।

(C) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt[7]{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt[7]{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\cos x}}{\sqrt[7]{\cos x}+\sqrt[7]{\sin x}} dx$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x} + \sqrt[7]{\cos x}}{\sqrt[7]{\sin x} + \sqrt[7]{\cos x}} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x \quad ...(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos(\pi-x)}}{e^{\cos(\pi-x)}+e^{-\cos(\pi-x)}} d x$
चूँकि $\cos(\pi-x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} d x \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} + \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} \right) d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} + e^{-\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} 1 d x$
$2I = [x]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(B) माना $I = \int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx$.
$f(x) = \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}}$ लें।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{(-x)^{5}+(-x)^{3}}{4-(-x)^{2}} = \frac{-(x^{5}+x^{3})}{4-x^{2}} = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(C) माना $I = \int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (1-x)(1-(1-x))^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1-x)x^{5} dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^{5} - x^{6}) dx$
$I = \left[ \frac{x^{6}}{6} - \frac{x^{7}}{7} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42}$.

(C) दिया गया है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin x+e^{x}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \int (\sin x + e^{x}) dx = -\cos x + e^{x} + c_{1}$.
दिया गया है कि $x=0$ पर $\frac{d y}{d x} = 4$:
$4 = -\cos(0) + e^{0} + c_{1} \implies 4 = -1 + 1 + c_{1} \implies c_{1} = 4$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \cos x + 4$.
पुनः $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$y = \int (e^{x} - \cos x + 4) dx = e^{x} - \sin x + 4x + c_{2}$.
दिया गया है $y(0) = 3$:
$3 = e^{0} - \sin(0) + 4(0) + c_{2} \implies 3 = 1 - 0 + 0 + c_{2} \implies c_{2} = 2$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = e^{x} - \sin x + 4x + 2$ है।

(D) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_{0}^{1}(5x^{2}-3x+k)dx=0$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $\left[\frac{5x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + kx\right]_{0}^{1} = 0$
सीमाओं को लागू करने पर: $\left(\frac{5(1)^{3}}{3} - \frac{3(1)^{2}}{2} + k(1)\right) - (0) = 0$
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{5}{3} - \frac{3}{2} + k = 0$
हर समान करने पर: $\frac{10-9}{6} + k = 0$
$\frac{1}{6} + k = 0$
अतः,$k = -\frac{1}{6}$