MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(4, 1)$ और रेखा $3x - 4y + k = 0$ के लिए:
$2 = \left| \frac{3(4) - 4(1) + k}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right|$
$2 = \left| \frac{12 - 4 + k}{\sqrt{9 + 16}} \right|$
$2 = \left| \frac{8 + k}{5} \right|$
$|8 + k| = 10$
इसका अर्थ है $8 + k = 10$ या $8 + k = -10$ है।
यदि $8 + k = 10$,तो $k = 2$ है।
यदि $8 + k = -10$,तो $k = -18$ है।
अतः,$k$ के मान $2$ और $-18$ हैं।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली रेखा $x \sin \theta + y \cos \theta - 5 \cos 2 \theta = 0$ के लिए,$p_{1} = \frac{|-5 \cos 2 \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |5 \cos 2 \theta|$.
अतः,$p_{1}^2 = 25 \cos^2 2 \theta$.
दूसरी रेखा $x \operatorname{cosec} \theta + y \sec \theta - 5 = 0$ के लिए,$p_{2} = \frac{|-5|}{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos^2 \theta}}} = 5 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{2} \sin 2 \theta$.
अतः,$4 p_{2}^2 = 4 \left( \frac{25}{4} \sin^2 2 \theta \right) = 25 \sin^2 2 \theta$.
इस प्रकार,$p_{1}^2 + 4 p_{2}^2 = 25 \cos^2 2 \theta + 25 \sin^2 2 \theta = 25$.

(B) दी गई दो रेखाओं के समीकरण:
$x \sqrt{3}-y=k \sqrt{3} \quad ...(1)$
$\sqrt{3} k x+k y=\sqrt{3} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$k = \frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $(2)$ से,$k = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$।
दोनों समीकरणों से $k$ के मानों की तुलना करने पर:
$\frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$
$(x \sqrt{3}-y)(\sqrt{3} x+y) = (\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$3x^{2} - y^{2} = 3$
$3$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
यह अतिपरवलय का मानक समीकरण है,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x \cos \theta + y \sin \theta = 5$
$2) x \sin \theta - y \cos \theta = 3$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^{2} = 5^{2} \implies x^{2} \cos^{2} \theta + y^{2} \sin^{2} \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta = 25$
$(x \sin \theta - y \cos \theta)^{2} = 3^{2} \implies x^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta = 9$
दोनों वर्ग समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x^{2} \cos^{2} \theta + x^{2} \sin^{2} \theta) + (y^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta) = 25 + 9$
$x^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + y^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 34$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$x^{2}(1) + y^{2}(1) = 34$
$x^{2} + y^{2} = 34$

(A) दिया गया समीकरण: $2 \sin^{2} x + 7 \cos x = 5$
चूंकि $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1 - \cos^{2} x) + 7 \cos x = 5$
$2 - 2 \cos^{2} x + 7 \cos x = 5$
$2 \cos^{2} x - 7 \cos x + 3 = 0$
मान लीजिए $t = \cos x$. तब $2t^{2} - 7t + 3 = 0$
$2t^{2} - 6t - t + 3 = 0$
$2t(t - 3) - 1(t - 3) = 0$
$(2t - 1)(t - 3) = 0$
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = 3$.
चूंकि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $t = 3$ संभव नहीं है।
अतः,$\cos x = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि अंतराल $[0, 2\pi]$ में $\theta = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \frac{4\pi}{3}$ के लिए $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ होता है।
इसलिए,$2x = \frac{2\pi}{3}$ या $2x = \frac{4\pi}{3}$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}=3$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ और $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = 3$
$\tan^2 x = 3$
चूँकि $\tan^2 x = 3$,इसलिए $\tan^2 x = (\sqrt{3})^2 = \tan^2 \frac{\pi}{3}$।
$\tan^2 x = \tan^2 \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$।

(A) दिया गया है $\cot x = \sqrt{3}$।
चूँकि $\cot x = \frac{1}{\tan x}$,इसलिए $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $x$ के मुख्य मान $(0, 2\pi)$ अंतराल में होते हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,$x = \frac{\pi}{6}$ पर $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है।
चूँकि $\tan x$ तीसरे चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए दूसरा हल $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।
अतः,मुख्य हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{7\pi}{6}$ हैं।

(D) दिया गया है: $\frac{\sin (A+B)}{\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)}{\cos (C-D)}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{\sin (A+B)-\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)+\cos (C-D)}{\cos (C+D)-\cos (C-D)}$
सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin A \cos B}{2 \cos A \sin B} = \frac{2 \cos C \cos D}{-2 \sin C \sin D}$
$\tan A \cot B = -\cot C \cot D$

(B) दिया गया है $\sec x + \tan x = 3$ $(1)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$
$(1)$ का मान रखने पर,$\sec x - \tan x = \frac{1}{3}$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2 \sec x = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
अतः,$\sec x = \frac{5}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\cos x = \frac{3}{5}$
चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $\sin x$ धनात्मक है।
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{2} x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
सर्वसमिका $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$\sin ^{2} x - (1 - 2 \sin ^{2} x) = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x - 1 = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x + \sin 2 x - 3 = 0$
चूँकि $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ और $1 = \sin ^{2} x + \cos ^{2} x$,हम $3 = 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)$ लिख सकते हैं:
$3 \sin ^{2} x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^{2} x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
इसका अर्थ है $\cos x = 0$ या $2 \sin x = 3 \cos x$।
शर्त $3 \cos x \neq 2 \sin x$ के अनुसार,$\cos x = 0$ होना चाहिए।
$\cos x = 0$ का व्यापक हल $x = n \pi + \frac{\pi}{2}, n \in Z$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta)$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan 3\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\tan 3\theta(1 - \tan 2\theta \tan \theta) = \tan 2\theta + \tan \theta$.
$\tan 3\theta - \tan 3\theta \tan 2\theta \tan \theta = \tan 2\theta + \tan \theta$.
$\tan 3\theta \tan 2\theta \tan \theta = \tan 3\theta - \tan 2\theta - \tan \theta$.
दिए गए समीकरण $\tan 3\theta \tan 2\theta \tan \theta + \tan 2\theta + \tan \theta = 1$ में उपरोक्त मान रखने पर:
$(\tan 3\theta - \tan 2\theta - \tan \theta) + \tan 2\theta + \tan \theta = 1$.
$\tan 3\theta = 1$.
चूंकि $\tan 3\theta = \tan \frac{\pi}{4}$,इसलिए $3\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$n = 0$ लेने पर $3\theta = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2\theta = \tan 3\theta$.
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta) = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$ का उपयोग करने पर।
इसे समीकरण में रखने पर: $\tan \theta + \tan 2\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$.
इसका अर्थ है $(\tan \theta + \tan 2\theta) \left(1 - \frac{1}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}\right) = 0$.
स्थिति $1$: $\tan \theta + \tan 2\theta = 0$ $\Rightarrow \frac{\sin 3\theta}{\cos \theta \cos 2\theta} = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $1 - \tan 2\theta \tan \theta = 1 \Rightarrow \tan 2\theta \tan \theta = 0$.
इसका मतलब है $\tan \theta = 0$ या $\tan 2\theta = 0$.
यदि $\tan \theta = 0$,तो $\theta = n\pi$.
यदि $\tan 2\theta = 0$,तो $2\theta = k\pi \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{2}$.
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi$ या $\theta = \frac{p\pi}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$.
अतः,$\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{\pi}{4}-\theta = \frac{\pi}{6}$.
$\theta$ के लिए हल करने पर: $\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$.

(C) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = 5$ $(1)$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$
$(1)$ का मान रखने पर,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(5) = 1 \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{5}$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2 \operatorname{cosec} \theta = 5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$
अतः,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{13}{5}$
चूँकि $\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{5}{13}$

(C) दिया गया है कि $\sin x + \sin^{2} x = 1$.
इसका अर्थ है $\sin x = 1 - \sin^{2} x$,अतः $\sin x = \cos^{2} x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^{2} x = \cos^{4} x$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\cos^{8} x + 2 \cos^{6} x + \cos^{4} x$ पर विचार करें।
इसे $(\cos^{4} x + \cos^{2} x)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\cos^{4} x = \sin^{2} x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\sin^{2} x + \cos^{2} x)^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $(1)^{2} = 1$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^{2} x \sec x = \tan x - \sin x + 1$
$\cos x$ से गुणा करने पर $(\cos x \neq 0)$:
$\sin^{2} x = \sin x - \sin x \cos x + \cos x$
$\sin^{2} x - \sin x + \sin x \cos x - \cos x = 0$
$\sin x(\sin x - 1) + \cos x(\sin x - 1) = 0$
$(\sin x + \cos x)(\sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin x = 1 \implies x = 2n \pi + \frac{\pi}{2} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}$ के लिए).
स्थिति $2$: $\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = m \pi - \frac{\pi}{4} = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ ($m \in \mathbb{Z}$ के लिए).
अतः,व्यापक हल $x = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ या $x = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $3 \sin^{2} x - 8 \sin x + 4 = 0$ है।
माना $u = \sin x$,तो $3u^{2} - 8u + 4 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3u - 2)(u - 2) = 0$।
इससे $u = \frac{2}{3}$ या $u = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin x = \frac{2}{3}$।
चूंकि $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,$x$ दूसरे चतुर्थांश में है जहाँ $\cos x$ ऋणात्मक होता है।
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
इसलिए,$\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$।
अतः,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta = 2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2 \cos^{2} \theta + 4 \cos \theta - \cos \theta - 2 = 0$
$2 \cos \theta(\cos \theta + 2) - 1(\cos \theta + 2) = 0$
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0$
इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -2$
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $\cos \theta = -2$ संभव नहीं है।
अतः,अनुमेय मान $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
दिया गया व्यंजक $P = \tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ}$ है।
हम लिख सकते हैं कि $\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,आदि।
अतः,$P = (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \cdots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$।
चूँकि $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $P = 1 \times 1 \times \cdots \times 1 \times 1 = 1$।

(A) दिया है $\sec \theta = \frac{13}{12}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{12}{13}$.
चूंकि $\theta$ चौथे चतुर्थांश में है,$\sin \theta$ ऋणात्मक होगा।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta = -\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = -\frac{5}{13}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{5}{12}$ और $\operatorname{cosec} \theta = -\frac{13}{5}$.
मान रखने पर: $\tan \theta \times \operatorname{cosec} \theta \times \sin \theta \times \cos \theta = (-\frac{5}{12}) \times (-\frac{13}{5}) \times (-\frac{5}{13}) \times (\frac{12}{13}) = -\frac{5}{13}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ होता है।
$\tan \theta = 2$ का मान रखने पर,$\sec^{2} \theta = 1 + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sec \theta$ ऋणात्मक होगा।
अतः,$\sec \theta = -\sqrt{5}$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\tan \theta + \sin \theta = a$ $(1)$
$\tan \theta - \sin \theta = b$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2 \tan \theta = a + b$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \cot \theta = \frac{2}{a+b}$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$2 \sin \theta = a - b$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{a-b}{2}$ $\Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{a-b}$
अतः,मान $\frac{2}{a+b}$ और $\frac{2}{a-b}$ हैं।

(D) $(a) \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(b) \cos 930^{\circ} = \cos(2 \times 360^{\circ} + 210^{\circ}) = \cos 210^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(c) \tan 840^{\circ} = \tan(2 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$
$(d) \cot(-1110^{\circ}) = -\cot(1110^{\circ}) = -\cot(3 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cot 30^{\circ} = -\sqrt{3}$
मानों की तुलना करने पर,$(c)$ और $(d)$ दोनों का मान $-\sqrt{3}$ है।

(D) हम विस्तार सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ और $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$.
$\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos x - \sin \frac{\pi}{6} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$.
दोनों व्यंजकों को घटाने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$
$= \sin x$.

(C) दिया है: $x = 3 \sin \theta$,$y = 3 \cos \theta \cos \phi$,$z = 3 \cos \theta \sin \phi$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (3 \sin \theta)^{2} + (3 \cos \theta \cos \phi)^{2} + (3 \cos \theta \sin \phi)^{2}$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta \cos^{2} \phi + 9 \cos^{2} \theta \sin^{2} \phi$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi)$
चूंकि $\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$:
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (1)$
$= 9 (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$:
$= 9 \times 1 = 9$

(A) $\sin 690^{\circ} \times \sec 240^{\circ}$
$= \sin (2 \times 360^{\circ} - 30^{\circ}) \times \sec (180^{\circ} + 60^{\circ})$
$= \sin (-30^{\circ}) \times (-\sec 60^{\circ})$
$= (-\sin 30^{\circ}) \times (-2)$
$= (-\frac{1}{2}) \times (-2) = 1$

(D) दिया गया है $\sin \theta = \frac{-12}{13}$ और $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (\frac{-12}{13})^2} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$.
दिया गया है $\cos \phi = \frac{-4}{5}$ और $\phi$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (\frac{-4}{5})^2} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.
अतः,$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
सूत्र $\tan(\theta - \phi) = \frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan(\theta - \phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{(48 - 15)/20}{1 + 36/20} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$.

(C) दिया गया है $a = \sin 175^{\circ} + \cos 175^{\circ}$.
संबद्ध कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin 175^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 5^{\circ}) = \sin 5^{\circ}$
$\cos 175^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 5^{\circ}) = -\cos 5^{\circ}$
अतः,$a = \sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ}$.
अंतराल $0^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$ में,हम जानते हैं कि $\sin \theta < \cos \theta$.
चूंकि $5^{\circ}$ इस अंतराल में है,इसलिए $\sin 5^{\circ} < \cos 5^{\circ}$.
अतः,$\sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ} < 0$,जिसका अर्थ है कि $a < 0$.

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ संपूरक कोण हैं,इसलिए $A + B = 180^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है $B = 180^{\circ} - A$,अतः $\frac{B}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \sin^{2} (90^{\circ} - \frac{A}{2})$.
सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \cos^{2} \frac{A}{2}$.
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए उत्तर $1$ है।

(A) दिया है: $\tan \theta + \cot \theta = 4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\tan \theta + \cot \theta)^{2} = 4^{2}$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 16$
चूंकि $\tan \theta \cot \theta = 1$,इसलिए:
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2(1) = 16$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta = 14$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta)^{2} = 14^{2}$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2 \tan^{2} \theta \cot^{2} \theta = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2(1)^{2} = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta = 196 - 2 = 194$

(D) चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ चक्रीय है,इसलिए सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$A + C = 180^{\circ}$ और $B + D = 180^{\circ}$।
इसका अर्थ है $A = 180^{\circ} - C$ और $B = 180^{\circ} - D$।
गुणधर्म $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos A = \cos(180^{\circ} - C) = -\cos C \implies \cos A + \cos C = 0$।
$\cos B = \cos(180^{\circ} - D) = -\cos D \implies \cos B + \cos D = 0$।
इनका योग करने पर,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\sin x + \operatorname{cosec} x = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin x + \operatorname{cosec} x)^{2} = 3^{2}$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2 \sin x \operatorname{cosec} x = 9$
चूंकि $\sin x \operatorname{cosec} x = 1$ है,इसलिए:
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2(1) = 9$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x = 7$
अब,पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x)^{2} = 7^{2}$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2 \sin^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2(1)^{2} = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x = 49 - 2 = 47$

(D) हम दो कोणों के योग के लिए टेंजेंट के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan(A+B) = \frac{\frac{5}{6} + \frac{1}{11}}{1 - (\frac{5}{6} \times \frac{1}{11})}$.
अंश का सरलीकरण: $\frac{5}{6} + \frac{1}{11} = \frac{55 + 6}{66} = \frac{61}{66}$.
हर का सरलीकरण: $1 - \frac{5}{66} = \frac{66 - 5}{66} = \frac{61}{66}$.
अतः,$\tan(A+B) = \frac{61/66}{61/66} = 1$.
चूंकि $\tan(A+B) = 1$,इसलिए $A+B = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) $\sec 2 \theta - \tan 2 \theta = \frac{1}{\cos 2 \theta} - \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \frac{1 - \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$
$\frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} = \frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}$
$= \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$

(D) हम जानते हैं कि $\tan \theta$ के पदों में $\cos 2 \theta$ का सूत्र है:
$\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{3}$,इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 2 \theta = \frac{1 - (\frac{1}{3})^2}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1 - \frac{1}{9}}{1 + \frac{1}{9}}$
$\cos 2 \theta = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ ... $(1)$
$\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ ... $(2)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$ ... $(3)$
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$ ... $(4)$
समीकरण $(4)$ को समीकरण $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \tan \alpha$
अतः,$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$.

(B) $\triangle ABC$ में,$A + B + C = \pi$,इसलिए $2A + 2B + 2C = 2\pi$.
अतः,$2A + 2B = 2\pi - 2C$.
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर: $\tan(2A + 2B) = \tan(2\pi - 2C) = -\tan 2C$.
सूत्र $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan 2A + \tan 2B}{1 - \tan 2A \tan 2B} = -\tan 2C$.
दोनों पक्षों को $(1 - \tan 2A \tan 2B)$ से गुणा करने पर:
$\tan 2A + \tan 2B = -\tan 2C(1 - \tan 2A \tan 2B)$.
$\tan 2A + \tan 2B = -\tan 2C + \tan 2A \tan 2B \tan 2C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 2A + \tan 2B + \tan 2C = \tan 2A \tan 2B \tan 2C$.

(A) हम जानते हैं कि $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}} = \sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4 \theta)}}$
$= \sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 2 \theta)}}$
$= \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 \theta}}$
$= \sqrt{2+2 \cos 2 \theta}$
$= \sqrt{2(1+\cos 2 \theta)}$
$= \sqrt{2(2 \cos^2 \theta)}$
$= \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)} = \cot B$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\cot \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cot B$
इसका अर्थ है:
$\frac{A+C}{2} = B \implies A+C = 2B$
चूंकि दो कोणों का योग तीसरे कोण का दोगुना है,इसलिए $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} 2 \theta = \frac{1}{\sin 2 \theta}$ और $\cot 2 \theta = \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\operatorname{cosec} 2 \theta - \cot 2 \theta = \frac{1}{\sin 2 \theta} - \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} = \frac{1 - \cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos 2 \theta = 2 \sin^2 \theta$ और $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम सर्वसमिका $\sin^{2}(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हैं।
$\theta = \frac{\pi}{8}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos\left(2 \times \frac{\pi}{8}\right)}{2}$
$= \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}$
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
$= \left(\cos \frac{3 \pi}{4} \cos x - \sin \frac{3 \pi}{4} \sin x\right) - \left(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x\right)$
चूंकि $\cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$= \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x$
$= -\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x = -\sqrt{2} \cos x$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\cos 12^{\circ}-\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}+\sin 12^{\circ}} + \tan 147^{\circ}$
पहले पद के अंश और हर को $\cos 12^{\circ}$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{1-\tan 12^{\circ}}{1+\tan 12^{\circ}} + \tan(180^{\circ}-33^{\circ})$
$E = \tan(45^{\circ}-12^{\circ}) - \tan 33^{\circ}$
$E = \tan 33^{\circ} - \tan 33^{\circ} = 0$

(C) दिया गया है कि $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y)$ और $\sin (x+y-z)$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\therefore 2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$
इस स्थिति को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\tan x, \tan y, \tan z$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2 \tan y = \tan x + \tan z$.

(A) सर्वसमिका $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) = \cos(x-y)$ और $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin(\theta)$ का उपयोग करते हुए:
दी गई व्यंजक: $\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \cos(54^{\circ}+A) \cos(54^{\circ}-A)$
चूंकि $54^{\circ}+A = 90^{\circ}-(36^{\circ}-A)$ और $54^{\circ}-A = 90^{\circ}-(36^{\circ}+A)$,इसलिए:
$\cos(54^{\circ}+A) = \sin(36^{\circ}-A)$ और $\cos(54^{\circ}-A) = \sin(36^{\circ}+A)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \sin(36^{\circ}-A) \sin(36^{\circ}+A)$
यह $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$ के रूप में है जहाँ $x = 36^{\circ}-A$ और $y = 36^{\circ}+A$.
$= \cos((36^{\circ}-A) - (36^{\circ}+A))$
$= \cos(36^{\circ}-A-36^{\circ}-A)$
$= \cos(-2A)$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$,इसलिए परिणाम $\cos(2A)$ है।

(C) दिया गया है कि $\sin A - \sin B = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\sin A = \sin B$ है।
हम जानते हैं कि $A, B \in (0, \pi)$ के लिए,$\sin A = \sin B$ का अर्थ है कि या तो $A = B$ है या $A = \pi - B$ है।
प्रतिबंध $A = \pi - B$ का अर्थ $A + B = \pi$ है,जिसका मतलब है कि कोण संपूरक हैं।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि कोण संपूरक नहीं हैं,इसलिए $A = B$ होना चाहिए।

(A) दिया गया है $\sin \theta = \sin 15^{\circ} + \sin 45^{\circ}$.
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{15^{\circ} + 45^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{15^{\circ} - 45^{\circ}}{2} \right)$
$\sin \theta = 2 \sin 30^{\circ} \cos(-15^{\circ})$
चूंकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है:
$\sin \theta = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 15^{\circ}$
$\sin \theta = \cos 15^{\circ}$
चूंकि $\cos 15^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}$ है:
$\sin \theta = \sin 75^{\circ}$
अतः,$\theta = 75^{\circ}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin A+\sin 7 A+\sin 13 A}{\cos A+\cos 7 A+\cos 13 A}$
$A$ और $13A$ वाले पदों को समूह में लेने पर:
$= \frac{(\sin 13 A+\sin A)+\sin 7 A}{(\cos 13 A+\cos A)+\cos 7 A}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ और $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin 7 A \cos 6 A + \sin 7 A}{2 \cos 7 A \cos 6 A + \cos 7 A}$
अंश से $\sin 7 A$ और हर से $\cos 7 A$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{\sin 7 A(2 \cos 6 A + 1)}{\cos 7 A(2 \cos 6 A + 1)}$
$= \frac{\sin 7 A}{\cos 7 A} = \tan 7 A$

(B) हम सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \tan \theta + 2 \cot 2\theta$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 \cot 2\theta = \cot \theta - \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हुए:
$\tan A = \cot A - 2 \cot 2A$
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (\cot A - 2 \cot 2A) + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
यह दृष्टिकोण जटिल है,इसलिए आइए $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का बार-बार उपयोग करके चरण-दर-चरण सरल करें:
$8 \cot 8A = 4 \cot 4A - 4 \tan 4A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + (4 \cot 4A - 4 \tan 4A) = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
अब,$4 \cot 4A = 2 \cot 2A - 2 \tan 2A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + (2 \cot 2A - 2 \tan 2A) = \tan A + 2 \cot 2A$
अंत में,$2 \cot 2A = \cot A - \tan A$
$E = \tan A + (\cot A - \tan A) = \cot A$.

(B) मान लीजिए $b$ बैक्टीरिया की संख्या है।
हमारे पास $\frac{db}{dt} \propto b \Rightarrow \int \frac{db}{b} = \int K dt$ है।
$\therefore \log b = Kt + c$ ...$(1)$
मान लीजिए $b_{0}$ बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या है। $t = 0$ पर,$b = b_{0}$।
$\log b_{0} = K(0) + c \Rightarrow c = \log b_{0}$।
$\therefore \log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = Kt$ ...$(2)$
जब $t = 3, b = 2b_{0}$।
$\therefore \log \left(\frac{2b_{0}}{b_{0}}\right) = 3K \Rightarrow K = \frac{1}{3}(\log 2)$।
अतः,$\log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = \frac{1}{3}(\log 2)t$।
जब $t = 6$:
$\log \left(\frac{b}{b_{0}}\right) = \frac{1}{3}(\log 2)(6) = 2 \log 2 = \log 4$।
$\therefore \frac{b}{b_{0}} = 4 \Rightarrow b = 4b_{0}$।
इसलिए,बैक्टीरिया की संख्या मूल संख्या का $4$ गुना बढ़ जाएगी।

(D) मान लीजिए कि $t \text{ मिनट}$ पर पानी का तापमान $\theta^{\circ} C$ है। कमरे का तापमान $T_s = 25^{\circ} C$ है।
न्यूटन के शीतलन (cooling) नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta - T_s)$।
इसका समाकलन करने पर,$\ln(\theta - 25) = -Kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 100^{\circ} C$,इसलिए $\ln(75) = C$।
अतः,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{75}\right) = -Kt$।
$t = 15$ पर,$\theta = 75^{\circ} C$,इसलिए $\ln\left(\frac{75 - 25}{75}\right) = -15K \Rightarrow \ln\left(\frac{50}{75}\right) = -15K \Rightarrow \ln\left(\frac{2}{3}\right) = -15K$।
इसलिए,$K = -\frac{1}{15} \ln\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{15} \ln\left(\frac{3}{2}\right)$।
अब,$t = 30 \text{ मिनट}$ के लिए,$\ln\left(\frac{\theta - 25}{75}\right) = -30 \times \left(\frac{1}{15} \ln\left(\frac{3}{2}\right)\right) = -2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right) = \ln\left(\frac{4}{9}\right)$।
अतः,$\frac{\theta - 25}{75} = \frac{4}{9} \Rightarrow \theta - 25 = \frac{4 \times 75}{9} = \frac{300}{9} = \frac{100}{3}$।
$\theta = 25 + \frac{100}{3} = \frac{75 + 100}{3} = \frac{175}{3}^{\circ} C$।

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $x$ है। वृद्धि की दर $\frac{dx}{dt}$ है,जो $x$ के समानुपाती है।
$\frac{dx}{dt} = Kx \Rightarrow \frac{dx}{x} = Kdt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln x = Kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,मान लीजिए $x = x_0$,इसलिए $C = \ln x_0$.
अतः,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = Kt$.
दिया गया है कि संख्या $4$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $t = 4$ पर,$x = 2x_0$.
$\ln(2) = 4K \Rightarrow K = \frac{\ln 2}{4}$.
$K$ का मान वापस रखने पर,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = \frac{t}{4} \ln 2$.
$t = 12$ के लिए,$\ln \left(\frac{x}{x_0}\right) = \frac{12}{4} \ln 2 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8$.
इसलिए,$\frac{x}{x_0} = 8$,जिसका अर्थ है कि बैक्टीरिया $8$ गुना बढ़ जाते हैं।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $N_0 = 1000 \text{ mg}$,$t = 50 \text{ दिन}$,और $T_{1/2} = 10 \text{ दिन}$।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{50}{10} = 5$ है।
शेष द्रव्यमान $N(t) = 1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5$ होगा।
$N(t) = 1000 \times \frac{1}{32} = \frac{1000}{32} \text{ mg}$।
अंश और हर को $8$ से विभाजित करने पर,हमें $N(t) = \frac{125}{4} \text{ mg}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए समय $t$ पर जनसंख्या $P$ है और प्रारंभिक जनसंख्या $P_{0}$ है।
दिया गया है $\frac{dP}{dt} = \frac{5P}{100} = \frac{P}{20}$.
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln P = \frac{t}{20} + C$.
जब $t = 0$,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = \frac{t}{20} + \ln P_{0}$,जो $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = \frac{t}{20}$ में बदल जाता है।
जनसंख्या को दोगुना करने के लिए,$P = 2P_{0}$,इसलिए $\ln 2 = \frac{t}{20}$.
दिए गए मान $\log 2 = 0.6912$ का उपयोग करने पर,$t = 20 \times 0.6912 = 13.824$ वर्ष।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 7 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$10 \text{ मिनट}$ बाद,समय $t = 10 \times 60 = 600 \text{ सेकंड}$ होगा।
चूंकि त्रिज्या $7 \text{ cm/sec}$ की स्थिर दर से बढ़ रही है,इसलिए $600 \text{ सेकंड}$ बाद त्रिज्या $r = 7 \times 600 = 4200 \text{ cm}$ होगी।
मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 4200 \times 7$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 600 \times 7 = 1,84,800 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) माना $t$ समय पर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या $N$ है। माना प्रारंभिक संख्या $N_{0}$ है। यहाँ $\frac{dN}{dt} \propto N \Rightarrow \frac{dN}{dt}=KN \Rightarrow \frac{dN}{N}=K dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dN}{N} = \int K dt \Rightarrow \log N = Kt + C$.
जब $t=0$,$N=N_{0}$,इसलिए $\log N_{0} = C$.
अतः,$\log N - \log N_{0} = Kt \Rightarrow \log \left(\frac{N}{N_{0}}\right) = Kt$.
जब $t=4$ घंटे,$N=2N_{0}$,इसलिए $\log(2) = 4K \Rightarrow K = \frac{\log 2}{4}$.
अब,हमें $t$ ज्ञात करना है जब $N=4N_{0}$.
मान रखने पर: $\log \left(\frac{4N_{0}}{N_{0}}\right) = \left(\frac{\log 2}{4}\right)t$.
$\log 4 = \frac{t}{4} \log 2 \Rightarrow 2 \log 2 = \frac{t}{4} \log 2$.
$\log 2$ से भाग देने पर,$2 = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 8$ घंटे.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि बैक्टीरिया की संख्या हर $4$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $4$ घंटे बाद यह $2N$ हो जाती है,और अगले $4$ घंटे बाद (कुल $8$ घंटे),यह $2 \times (2N) = 4N$ हो जाती है।

(A) माना $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $t$ वर्षों के बाद जनसंख्या $P$ है। वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{8}{100} P = 0.08 P$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = 0.08 dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln P = 0.08 t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = 0.08 t + \ln P_{0}$,जिसे सरल करने पर $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0.08 t$ प्राप्त होता है।
जनसंख्या को दोगुना होने के लिए,$P = 2 P_{0}$,इसलिए $\ln 2 = 0.08 t$.
दिया गया है कि $\log 2 = 0.6912$,इसलिए $t = \frac{0.6912}{0.08} = 8.64$ वर्ष।

(D) मान लीजिए समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है।
क्षय की दर $\frac{dm}{dt} = -km$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dm}{m} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log m = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$m = m_{0}$,इसलिए $\log m_{0} = -k(0) + C$,जिससे $C = \log m_{0}$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\log m = -kt + \log m_{0}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\log m - \log m_{0} = -kt$,या $\log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = -kt$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = -\frac{1}{k} \log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = \frac{1}{k} \log \left(\frac{m_{0}}{m}\right)$।
जब $m = m_{1}$ हो,तो समय $t = \frac{1}{k} \log \left(\frac{m_{0}}{m_{1}}\right)$ होगा।

(D) माना प्रारंभिक जनसंख्या $P_{0}$ है और $t$ समय पर जनसंख्या $P$ है।
वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{5P}{100} = \frac{P}{20}$ दी गई है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int \frac{1}{20} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln P = \frac{t}{20} + C$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$ है,तो $P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$।
मान रखने पर,$\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = \frac{t}{20}$ प्राप्त होता है।
जनसंख्या को दोगुना करने के लिए $P = 2P_{0}$ रखने पर,$\ln 2 = \frac{t}{20}$ प्राप्त होता है।
दिए गए $\log 2 = 0.6912$ का उपयोग करने पर,$t = 20 \times 0.6912 = 13.8240$ वर्ष।

(C) दिया गया है कि क्षय की दर द्रव्यमान के समानुपाती है: $\frac{dm}{dt} = -Km$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dm}{m} = \int -K dt$.
इससे $\log m = -Kt + c$ प्राप्त होता है।
जब $t = 0$,तब $m = m_{0}$,इसलिए $\log m_{0} = c$.
$c$ का मान वापस रखने पर: $\log m = -Kt + \log m_{0}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log m - \log m_{0} = -Kt$,जिसका अर्थ है $\log \left(\frac{m}{m_{0}}\right) = -Kt$.
जब $m = m_{1}$ हो,तो हमें $\log \left(\frac{m_{1}}{m_{0}}\right) = -Kt$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = -\frac{1}{K} \log \left(\frac{m_{1}}{m_{0}}\right) = \frac{1}{K} \log \left(\frac{m_{0}}{m_{1}}\right)$.

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -a c_{1} \sin(ax) + a c_{2} \cos(ax)$.
इसके बाद,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} c_{1} \cos(ax) - a^{2} c_{2} \sin(ax)$.
$-a^{2}$ को कॉमन लेने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} (c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax))$.
चूंकि $y = c_{1} \cos(ax) + c_{2} \sin(ax)$,इसलिए $y$ का मान रखने पर: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a^{2} y$.
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a^{2} y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dP(t)}{dt} = 0.5 P(t) - 450$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dP(t)}{dt} = \frac{1}{2} P(t) - 450 = \frac{P(t) - 900}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dP(t)}{P(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log |P(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
$2$ से गुणा करने पर: $2 \log |P(t) - 900| = t + C'$.
चूंकि $P(0) = 850$ दिया गया है,मान रखने पर: $2 \log |850 - 900| = 0 + C' \Rightarrow C' = 2 \log 50$.
अतः,समीकरण है: $2 \log |P(t) - 900| = t + 2 \log 50$.
वह समय $t$ ज्ञात करने के लिए जब जनसंख्या शून्य हो जाती है,$P(t) = 0$ रखें:
$2 \log |0 - 900| = t + 2 \log 50$.
$t = 2 \log 900 - 2 \log 50 = 2 \log \left( \frac{900}{50} \right) = 2 \log 18$.

(B) मान लीजिए $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है।
दिया गया है कि वृद्धि की दर जनसंख्या के समानुपाती है: $\frac{dP}{dt} = \lambda P$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P} = \int \lambda dt \Rightarrow \ln P = \lambda t + C$.
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$.
अतः,$\ln P = \lambda t + \ln P_{0} \Rightarrow \ln \left(\frac{P}{P_{0}}\right) = \lambda t$.
दिया गया है कि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है: $\ln \left(\frac{2P_{0}}{P_{0}}\right) = 50\lambda \Rightarrow \ln 2 = 50\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{50}$.
अब,हमें $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या तीन गुनी $(P = 3P_{0})$ हो जाती है:
$\ln \left(\frac{3P_{0}}{P_{0}}\right) = \lambda t \Rightarrow \ln 3 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right) t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = 50 \left(\frac{\ln 3}{\ln 2}\right) \text{ वर्ष}$.

(D) माना कि $t$ समय पर उपस्थित रेडियम की मात्रा $R$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{dR}{dt} = kR$.
चरों को अलग करके समाकलन करने पर,हमें $\ln R = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$R = R_0$,इसलिए $C = \ln R_0$.
अतः,$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = kt$.
दिया गया है कि $t = 1600$ पर,$R = \frac{1}{2}R_0$,इसलिए $\ln \left( \frac{1}{2} \right) = 1600k$.
$k = \frac{-\ln 2}{1600} = \frac{-0.6931}{1600} \approx -0.000433$.
$t = 100$ के लिए,$\ln \left( \frac{R}{R_0} \right) = (-0.000433) \times 100 = -0.0433$.
इसलिए,$\frac{R}{R_0} = e^{-0.0433} = 0.9576$.
इसका अर्थ है कि $R = 0.9576 R_0$.
प्रतिशत हानि $\frac{R_0 - R}{R_0} \times 100 = \frac{R_0 - 0.9576 R_0}{R_0} \times 100 = 0.0424 \times 100 = 4.24 \%$ है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर पदार्थ की शेष मात्रा $x$ है। क्षय की दर $\frac{dx}{dt} = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है।
अवकल समीकरण का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x} dx = \int -k dt \implies \ln x = -kt + C$।
$t = 0$ पर,$x = 27$,इसलिए $C = \ln 27$। अतः,$\ln x = -kt + \ln 27$,या $\ln(\frac{x}{27}) = -kt$।
$t = 3$ पर,$x = 8$,इसलिए $\ln(\frac{8}{27}) = -3k$।
चूँकि $\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^3$,हमें प्राप्त होता है $\ln((\frac{2}{3})^3) = -3k \implies 3 \ln(\frac{2}{3}) = -3k \implies k = -\ln(\frac{2}{3}) = \ln(\frac{3}{2})$।
$k$ का मान वापस रखने पर: $\ln(\frac{x}{27}) = -t \ln(\frac{3}{2}) = t \ln(\frac{2}{3})$।
$t = 4$ के लिए,$\ln(\frac{x}{27}) = 4 \ln(\frac{2}{3}) = \ln((\frac{2}{3})^4) = \ln(\frac{16}{81})$।
अतः,$\frac{x}{27} = \frac{16}{81} \implies x = 27 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{3} \text{ gms}$।

$(A)$ न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_m)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_m = 290 \ K$ परिवेश का तापमान है।
समीकरण का समाकलन करने पर: $\int \frac{dT}{T - 290} = \int -k \ dt \Rightarrow \ln(T - 290) = -kt + C$.
$t = 0$ पर,$T = 370 \ K$: $\ln(370 - 290) = C \Rightarrow C = \ln(80)$.
अतः,$\ln(T - 290) = -kt + \ln(80) \Rightarrow \ln\left(\frac{T - 290}{80}\right) = -kt$.
$t = 10 \ \text{मिनट}$ पर,$T = 330 \ K$: $\ln\left(\frac{330 - 290}{80}\right) = -10k \Rightarrow \ln\left(\frac{40}{80}\right) = -10k \Rightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -10k \Rightarrow -\ln(2) = -10k \Rightarrow k = \frac{\ln(2)}{10}$.
अब,$T = 295 \ K$ के लिए: $\ln\left(\frac{295 - 290}{80}\right) = -kt \Rightarrow \ln\left(\frac{5}{80}\right) = -\left(\frac{\ln(2)}{10}\right)t$.
$\ln\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{\ln(2)}{10}t \Rightarrow -\ln(16) = -\frac{\ln(2)}{10}t$.
$-4 \ln(2) = -\frac{\ln(2)}{10}t \Rightarrow t = 40 \ \text{मिनट}$.

(B) मान लीजिए सूक्ष्मजीवों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
दिया गया है कि सूक्ष्मजीव हर $3$ घंटे में दोगुने हो जाते हैं।
यह वृद्धि प्रक्रिया अवकल समीकरण $\frac{dN}{dt} = kN$ द्वारा नियंत्रित होती है।
इसका हल $N(t) = N_0 e^{kt}$ है।
$t = 3$ पर,$N(3) = 2N_0$,इसलिए $2N_0 = N_0 e^{3k}$,जिसका अर्थ है $e^{3k} = 2$।
हमें यह ज्ञात करना है कि $18$ घंटे में जनसंख्या कितने गुना बढ़ जाएगी,जो $\frac{N(18)}{N_0}$ है।
$N(18) = N_0 e^{18k} = N_0 (e^{3k})^6$।
$e^{3k} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N(18) = N_0 (2)^6$ प्राप्त होता है।
$N(18) = 64 N_0$।
अतः,यह $64$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $\theta_0 = 10^{\circ} C$ है।
इसका समाकलन करने पर,हमें $\theta(t) = \theta_0 + Ce^{-kt}$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$\theta = 110^{\circ} C$,इसलिए $110 = 10 + C \Rightarrow C = 100$।
अतः,$\theta(t) = 10 + 100e^{-kt}$।
$t = 1$ घंटे पर,$\theta = 60^{\circ} C$,इसलिए $60 = 10 + 100e^{-k} \Rightarrow 50 = 100e^{-k} \Rightarrow e^{-k} = \frac{1}{2}$।
लघुगणक लेने पर,$-k = \ln(1/2) = -\ln 2$,इसलिए $k = \ln 2$।
अब,हम कुल समय $t$ ज्ञात करते हैं जब $\theta = 30^{\circ} C$ हो:
$30 = 10 + 100e^{-kt} \Rightarrow 20 = 100e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = \frac{1}{5}$।
लघुगणक लेने पर,$-kt = \ln(1/5) = -\ln 5$,इसलिए $kt = \ln 5$।
चूंकि $k = \ln 2$,इसलिए $t = \frac{\ln 5}{\ln 2}$ घंटे।
आवश्यक अतिरिक्त समय $t - 1 = \frac{\ln 5}{\ln 2} - 1$ घंटे है।

(B) दिया गया है कि गोलाकार धब्बे की त्रिज्या $r$,$\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ की दर से बढ़ रही है।
हमें $r = 3 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल $A$ में परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 3 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (3)(2) = 12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.
अतः,क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर $12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$ है।

(D) मान लीजिए कि समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या $N(t)$ है। वृद्धि की दर बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dN}{dt} = kN$।
इस अवकल समीकरण को हल करने पर,हमें $N(t) = N_0 e^{kt}$ प्राप्त होता है,जहाँ $N_0$ बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या है।
यह दिया गया है कि संख्या $4$ घंटों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $N(4) = 2N_0$।
अतः,$2N_0 = N_0 e^{4k}$,जिसका अर्थ है $e^{4k} = 2$।
हमें $12$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात करनी है,जो $N(12) = N_0 e^{12k}$ है।
$N(12) = N_0 (e^{4k})^3$।
$e^{4k} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N(12) = N_0 (2)^3 = 8N_0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$12$ घंटों के बाद बैक्टीरिया की संख्या $8N$ होगी।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर रेडियोधर्मी तत्व का द्रव्यमान $m$ है।
विघटन की दर $\frac{dm}{dt}$ है,जो $m$ के समानुपाती है।
$\frac{dm}{dt} = -km$,जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dm}{m} = -k \, dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{m} \, dm = -k \int dt + C$,जिससे $\log m = -kt + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,$m = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$\log \left(\frac{3}{2}\right) = -k(0) + C$,जिसका अर्थ है $C = \log \left(\frac{3}{2}\right)$।
समीकरण $\log m = -kt + \log \left(\frac{3}{2}\right)$ बन जाता है,या $\log \left(\frac{m}{3/2}\right) = -kt$,जो सरल होकर $\log \left(\frac{2m}{3}\right) = -kt$ हो जाता है।
जब $m = 0.5 = \frac{1}{2}$ हो,तो $\log \left(\frac{2 \times (1/2)}{3}\right) = -kt$।
$\log \left(\frac{1}{3}\right) = -kt$।
$-\log 3 = -kt$,इसलिए $t = \frac{1}{k} \log 3$।
इस प्रकार,आवश्यक समय $\log 3$ के समानुपाती है।

(C) मान लीजिए $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है और $t$ वर्षों के बाद जनसंख्या $P$ है। वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt} = \frac{8P}{100} = 0 \cdot 08P$ है।
अवकल समीकरण $\frac{dP}{P} = 0 \cdot 08 dt$ का समाकलन करने पर,हमें $\ln P = 0 \cdot 08t + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$P = P_{0}$ है,इसलिए $C = \ln P_{0}$ है।
अतः,$\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0 \cdot 08t$।
जनसंख्या को दोगुना होने के लिए,$P = 2P_{0}$ रखने पर,$\ln 2 = 0 \cdot 08t$ प्राप्त होता है।
दिए गए $\log 2 = 0 \cdot 6912$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{0 \cdot 6912}{0 \cdot 08} = \frac{69 \cdot 12}{8} = 8 \cdot 64$ वर्ष।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए समय $t$ पर जनसंख्या $p$ है। दिया गया है कि जनसंख्या के बढ़ने की दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है:
$\frac{dp}{dt} = kp$
चरों को अलग करके समाकलन करने पर:
$\int \frac{dp}{p} = \int k dt \Rightarrow \ln p = kt + c$
$t = 0$ पर,मान लीजिए $p = p_0$ है। तब $c = \ln p_0$।
अतः,$\ln \left(\frac{p}{p_0}\right) = kt$।
दिया गया है कि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है $(t = 50, p = 2p_0)$:
$\ln 2 = 50k \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{50}$।
अब,हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या $4p_0$ हो जाए:
$\ln \left(\frac{4p_0}{p_0}\right) = kt
\ln 4 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right)t
2 \ln 2 = \left(\frac{\ln 2}{50}\right)t
t = 2 \times 50 = 100 \text{ वर्ष}$।

(A) दिया गया है कि वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2xy$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$।
इससे $\log y = x^{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\log(1) = (0)^{2} + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$।
अतः,वक्र का समीकरण $\log y = x^{2}$ है।

(D) प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 800 \text{ mg}$ है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \text{ दिन}$ है।
कुल समय $t = 30 \text{ दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।
शेष द्रव्यमान $N$ की गणना सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ का उपयोग करके की जाती है।
$N = 800 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = \frac{800}{64}$.
$N = 12.5 \text{ mg}$.

(B) हमारे पास $\frac{dP}{dt} \propto P$ है,जिसका अर्थ है $\frac{dP}{dt} = kP$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dP}{P} = \int k dt$,अतः $\log P = kt + \log c$।
जब $t = 0$,$P = 20,000$,तो $\log 20,000 = \log c$।
जब $t = 10$,$P = 40,000$,तो $\log 40,000 = 10k + \log 20,000$।
इससे $\log \left(\frac{40,000}{20,000}\right) = 10k$ प्राप्त होता है,अतः $10k = \log 2$,या $k = \frac{1}{10} \log 2$।
सामान्य समीकरण $\log P = \left(\frac{1}{10} \log 2\right) t + \log 20,000$ है।
हमें अगले $20$ वर्षों के बाद जनसंख्या चाहिए,जिसका अर्थ है $t = 10 + 20 = 30$ वर्ष पर।
$t = 30$ रखने पर: $\log P = \frac{30}{10} \log 2 + \log 20,000 = 3 \log 2 + \log 20,000 = \log (8 \times 20,000) = \log 1,60,000$।
अतः,$P = 1,60,000$।

(C) दिया गया है $y = 3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}$।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात करें:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}) = 3(5 e^{5 x}) + 5(3 e^{3 x}) = 15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}) = 15(5 e^{5 x}) + 15(3 e^{3 x}) = 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}$।
अब,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x}$ की गणना करें:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x} = (75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}) - 8(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x})$
$= 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x} - 120 e^{5 x} - 120 e^{3 x}$
$= -45 e^{5 x} - 75 e^{3 x}$
$= -15(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x})$
$= -15 y$।

(D) दिया गया है $s = (1+t)^{1/2}$.
सबसे पहले,$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+t}}$.
इससे,हम देख सकते हैं कि $\sqrt{1+t} = \frac{1}{2v}$.
अब,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(1+t)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+t)^{-3/2}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a = -2 \cdot \left[ \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} \right]^3$.
चूंकि $v = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}$,हम $a$ के व्यंजक में $v$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$a = -2v^3$.
अतः,त्वरण $a$ वेग के घन $v^3$ के समानुपाती है।

(A) दिया गया है $y = \cot^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right)$.
सर्वसमिकाओं $1-\sin x = (\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2})^2$ और $1+\sin x = (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$y = \cot^{-1}\left(\frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}}\right)$
अंश और हर को $\cos\frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$y = \cot^{-1}\left(\frac{1 - \tan\frac{x}{2}}{1 + \tan\frac{x}{2}}\right)$
चूंकि $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{z})$,इसलिए:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \tan\frac{x}{2}}{1 - \tan\frac{x}{2}}\right)$
$\tan(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta}$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $y=e^{\sin \left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right)}$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$,इसलिए $\sin \left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right) = \sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$ होता है।
अतः,फलन सरल होकर $y = e^{\frac{1}{x}}$ हो जाता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{d}{d x} \left(\frac{1}{x}\right)$.
चूंकि $\frac{d}{d x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$,इसलिए हमें $\frac{d y}{d x} = e^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $g(a)=b$,$g^{\prime}(a)=2$,और $f(g(x))=x$ (क्योंकि $f \circ g = I$)।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $f(g(x))=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$.
समीकरण में $x=a$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(g(a)) \cdot g^{\prime}(a) = 1$.
चूंकि $g(a)=b$ और $g^{\prime}(a)=2$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$f^{\prime}(b) \cdot 2 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \log(\sec x + \tan x)$।
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [\log(\sec x + \tan x)]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x)$
अंश से $\sec x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x}$
$f^{\prime}(x) = \sec x$
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$.

(D) दिया गया है $y = \log \left[a^{3x} \left(\frac{5-x}{x+4}\right)^{\frac{3}{4}}\right]$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(mn) = \log m + \log n$ और $\log(m^n) = n \log m$:
$y = \log(a^{3x}) + \log\left(\left(\frac{5-x}{x+4}\right)^{\frac{3}{4}}\right)$
$y = 3x \log a + \frac{3}{4} \log(5-x) - \frac{3}{4} \log(x+4)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x \log a) + \frac{3}{4} \frac{d}{dx}(\log(5-x)) - \frac{3}{4} \frac{d}{dx}(\log(x+4))$
$\frac{dy}{dx} = 3 \log a + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{5-x}\right)(-1) - \frac{3}{4} \left(\frac{1}{x+4}\right)(1)$
$\frac{dy}{dx} = 3 \log a - \frac{3}{4(5-x)} - \frac{3}{4(x+4)}$

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{xy}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1$
$y^{-1/2} + x^{-1/2} = 1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{2} y^{-3/2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2} x^{-3/2} = 0$
$-\frac{1}{2 y^{3/2}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2 y^{3/2}}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2}$

(B) दिया गया है $\sin \left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\tan \frac{\pi}{5}$।
माना $K = \sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{5})$,जो एक स्थिरांक है।
तब $\frac{x+y}{x-y} = K$।
$x+y = K(x-y)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + \frac{dy}{dx} = K(1 - \frac{dy}{dx})$।
$1 + \frac{dy}{dx} = K - K\frac{dy}{dx}$।
$\frac{dy}{dx}(1+K) = K-1$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{K-1}{K+1}$।
$K = \frac{x+y}{x-y}$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+y}{x-y} - 1}{\frac{x+y}{x-y} + 1} = \frac{x+y - (x-y)}{x+y + (x-y)} = \frac{2y}{2x} = \frac{y}{x}$।

(A) दिया गया समीकरण $y \sqrt{1-x^{2}}+x \sqrt{1-y^{2}}=1$ है।
$x = \sin \alpha$ और $y = \sin \beta$ रखने पर,जहाँ $\alpha = \sin^{-1} x$ और $\beta = \sin^{-1} y$ है।
समीकरण $\sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta = 1$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(\alpha + \beta) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$।
मान वापस रखने पर,$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} y) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$।
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} + \frac{y}{\sqrt{1+y}} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} = -\frac{y}{\sqrt{1+y}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2}{1+x} = \frac{y^2}{1+y}$
वज्र-गुणन करने पर: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
चूंकि $x \neq y$,हम $(x-y)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x + y + xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(B) दिया है: $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=4$
$\therefore \frac{x+y}{\sqrt{x y}}=4 \Rightarrow x+y=4 \sqrt{x y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+y)^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+2 x y+y^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+y^{2}=14 x y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=14 \left(x \frac{d y}{d x}+y\right)$
$2$ से विभाजित करने पर:
$x+y \frac{d y}{d x}=7 x \frac{d y}{d x}+7 y$
$\frac{d y}{d x}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y \frac{d y}{d x}-7 x \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$(y-7 x) \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$\frac{d y}{d x}=\frac{7 y-x}{y-7 x}$

(A) दिया गया है $\tan u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$.
मान लीजिए $x=\cos \theta$,तो $\theta=\cos ^{-1} x$.
$x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\tan u=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\sqrt{\frac{2 \sin ^{2} (\theta/2)}{2 \cos ^{2} (\theta/2)}}=\tan (\theta/2)$.
अतः,$u=\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}$.
दिया गया है $\cos v=4 x^{3}-3 x$.
$x=\cos \theta$ रखने पर,$\cos v=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta = \cos 3 \theta$.
अतः,$v=3 \theta = 3 \cos ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx}=3 \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
अंततः,$\frac{du}{dv}=\frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-1/(2 \sqrt{1-x^{2}})}{-3/\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{1}{6}$.

(D) दी गई श्रेणी चरघातांकी फलन $e^{x}$ के लिए मैकलॉरिन श्रेणी विस्तार है।
$y = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots = e^{x}$.
अब,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x})$.
चूंकि $e^{x}$ का अवकलज $e^{x}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}$.
$y$ के मूल व्यंजक को परिणाम में वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = y$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x^{2}+y^{2}=t+\frac{1}{t}$ ... $(1)$
$x^{4}+y^{4}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ का दोनों पक्षों में वर्ग करने पर:
$(x^{2}+y^{2})^{2} = (t+\frac{1}{t})^{2}$
$x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
समीकरण $(2)$ से मान इस परिणाम में रखने पर:
$(t^{2}+\frac{1}{t^{2}}) + 2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
$2x^{2}y^{2} = 2$
$x^{2}y^{2} = 1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x^{2}(2y \frac{dy}{dx}) + y^{2}(2x) = 0$
$2x^{2}y \frac{dy}{dx} = -2xy^{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{y}{x}$

(C) दिया गया है कि $\log _{10}\left(\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}\right)=2$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}=10^{2}=100$.
अतः,$x^{3}-y^{3}=100(x^{3}+y^{3})$.
$x^{3}-y^{3}=100x^{3}+100y^{3}$.
$-99x^{3}=101y^{3}$.
$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-99 \cdot 3x^{2} \frac{dx}{dy} = 101 \cdot 3y^{2}$.
$-297x^{2} \frac{dx}{dy} = 303y^{2}$.
$\frac{dx}{dy} = -\frac{303y^{2}}{297x^{2}} = -\frac{101y^{2}}{99x^{2}}$.
इस प्रकार,$\frac{dx}{dy} = \left(-\frac{101}{99}\right) \frac{y^{2}}{x^{2}}$.

(A) दिया गया है $y = \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)^{x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = x \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) = x [\log(x^{2}) - \log(x+1)] = x [2 \log x - \log(x+1)]$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x (2 \log x - \log(x+1))]$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot [2 \log x - \log(x+1)] + x \left[ \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} \right]$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + x \left[ \frac{2(x+1) - x}{x(x+1)} \right]$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + x \left[ \frac{2x + 2 - x}{x(x+1)} \right] = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + \frac{x+2}{x+1}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{x+2}{x+1} + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) \right]$.
इसे दिए गए रूप $\frac{dy}{dx} = y [g(x) + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)]$ से तुलना करने पर,हमें $g(x) = \frac{x+2}{x+1}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक $x = e^{(y+e)^{(y+e)^{(y+\ldots \infty)}}}$,है,हम देख सकते हैं कि घातांक पहले $(y+e)$ से शुरू होने वाली एक पुनरावर्ती संरचना है।
चूंकि पूरा व्यंजक $x$ के बराबर है,हम समीकरण को $x = e^{y+x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln(x) = y + x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{x}$.

(B) दिया गया है $y=2^{ax}$.
अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(b^{f(x)}) = b^{f(x)} \cdot \ln(b) \cdot f'(x)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2^{ax} \cdot \ln(2) \cdot a$.
$x=1$ पर,अवकलज $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 2^a \cdot a \cdot \ln(2)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \log 256$,और हम जानते हैं कि $\log 256 = \log(2^8) = 8 \log 2$,इसलिए:
$2^a \cdot a \cdot \ln(2) = 8 \ln(2)$.
दोनों पक्षों को $\ln(2)$ से विभाजित करने पर:
$a \cdot 2^a = 8$.
निरीक्षण करने पर,यदि $a=2$ है,तो $2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=2$।

(C) दिया गया है $y = x^{x e^{x}}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log y = x e^{x} \log x$ प्राप्त होता है।
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(x e^{x}) \cdot \log x + (x e^{x}) \cdot \frac{d}{d x}(\log x)$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = (e^{x} + x e^{x}) \log x + (x e^{x}) \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x} \log x + x e^{x} \log x + e^{x}$.
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}(1 + \log x + x \log x)$.
चूंकि $\frac{d y}{d x} = y \cdot g(x)$,इसलिए $g(x) = e^{x}(1 + \log x + x \log x)$ है।

(C) मान लीजिए $y = f(\sec x)$ और $z = g(\tan x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x$
$\frac{dz}{dx} = g^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x$
अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलज इस प्रकार है:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{f^{\prime}(\sec x) \cdot \sec x \tan x}{g^{\prime}(\tan x) \cdot \sec^2 x} = \frac{f^{\prime}(\sec x) \tan x}{g^{\prime}(\tan x) \sec x}$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ और $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{dy}{dz} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{f^{\prime}(\sqrt{2}) \cdot 1}{g^{\prime}(1) \cdot \sqrt{2}} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(A) दिया गया है $x = \log t$ और $y + 1 = \frac{1}{t}$.
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$ और $\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{t^{2}}$.
अब,चेन नियम का उपयोग करके $\frac{dx}{dy}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{1/t}{-1/t^{2}} = -t$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy}(-t) = \frac{d}{dt}(-t) \cdot \frac{dt}{dy} = (-1) \cdot \frac{1}{dy/dt} = (-1) \cdot \frac{1}{-1/t^{2}} = t^{2}$.
साथ ही,$e^{-x}$ का मान ज्ञात करें:
$e^{-x} = e^{-\log t} = e^{\log(t^{-1})} = \frac{1}{t}$.
अंत में,इन मानों को $e^{-x} \frac{d^{2}x}{dy^{2}} + \frac{dx}{dy}$ व्यंजक में रखें:
$\left(\frac{1}{t}\right)(t^{2}) + (-t) = t - t = 0$.

(A) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2}\right)$ और $u = \cos ^{-1} x$ है।
$x = \cos \theta$ रखें,जहाँ $\theta = \cos ^{-1} x$ है।
तब,$\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{2} = \frac{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}+\sqrt{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2} + \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\theta}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\theta}{2}$ है।
$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\theta}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sin ^{-1} \left(\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} u$ है।
अब,$y$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} u\right) = \frac{1}{2}$।