अवकल समीकरण $\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) = \cos y (1 - x \cos y)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

यदि अवकल समीकरण $(1+\log_e x) \frac{dx}{dy} - x \log_e x = e^y, x > 0$ का हल वक्र $f(x, y)=0$ बिंदुओं $(1,0)$ और $(\alpha, 2)$ से होकर गुजरता है,तो $\alpha^\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ अंतराल $(0, \infty)$ में एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(1)=1$ और प्रत्येक $x>0$ के लिए $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है। तब $2 f(2)+3 f(3)$ का मान .................... है।

निम्नलिखित अवकल समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $y=1$ जब $x=0$: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1} x} - y$.

मान लीजिए $y^{\prime}(x) + y(x) g^{\prime}(x) = g(x) g^{\prime}(x)$,$y(0) = 0$,$x \in \mathbb{R}$,जहाँ $f^{\prime}(x)$,$\frac{d f(x)}{d x}$ को दर्शाता है और $g(x)$,$\mathbb{R}$ पर एक दिया गया गैर-स्थिर अवकलनीय फलन है,जिसमें $g(0) = g(2) = 0$ है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x-x^{3}) dy=(y+yx^{2}-3x^{4}) dx, x>2$ का हल है। यदि $y(3)=3$ है,तो $y(4)$ का मान ज्ञात कीजिए: