अवकल समीकरण (1+y^{2})+(x-e^{tan ^{-1} y}) fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^{2})+(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^{2})

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$x \cdot e^{	an ^{-1} y}=\frac{(e^{	an ^{-1} y})^{2}}{2}+c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^{2})+(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x-e^{	an ^{-1} y}) \frac{dy}{dx} = -(1+y^{2})$ व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x-e^{	an ^{-1} y})}{1+y^{2}} = \frac{-x}{1+y^{2}} + \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^{2}}$ यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q(y) = \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^{2}}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{	an ^{-1} y}$ है। व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ द्वारा दिया जाता है। $x \cdot e^{	an ^{-1} y} = \int \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^{2}} \cdot e^{	an ^{-1} y} dy + c$. माना $t = e^{	an ^{-1} y}$,तो $dt = \frac{e^{	an ^{-1} y}}{1+y^{2}} dy$ होगा। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $x \cdot e^{	an ^{-1} y} = \int t dt + c = \frac{t^{2}}{2} + c$. अतः,व्यापक हल $x \cdot e^{	an ^{-1} y} = \frac{(e^{	an ^{-1} y})^{2}}{2} + c$ है।

अवकल समीकरण $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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