$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$n > 0$ માટે,$\int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}\,dx = } $

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $M=\int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx,$ $N=\int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx;$ $a \neq \frac{1}{2}.$ જો $\alpha M=\beta N,$ $\alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $.....$ છે.

$\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{1 + \tan x + \sqrt{1 + \tan^2 x}} \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $b = \int_{0}^{1} \frac{e^{t}}{t+1} dt$ હોય,તો $\int_{a-1}^{a} \frac{e^{-t}}{t-a-1} dt$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ આપેલ હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ ની કિંમત શોધો.