ધારો કે અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ ના નાભિઓ સાથે સંપાતી છે. જો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $5$ હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો:

$P(6, 3)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક બિંદુ છે. જો બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $(10, 0)$ માં છેદે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો એક દ્વિ-કોટિ (double ordinate) $PQ$ એવો છે કે જેથી $\Delta OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ બને,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે. તો ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સંતોષે છે?

જો અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ એ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ના નાભિઓ સમાન હોય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કરતા $\frac{15}{8}$ ગણી હોય,તો અતિવલય પરના બિંદુ $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ નું નાનું નાભિ અંતર કેટલું થાય?

જેની નિયામિકા $x + 2y = 1$,નાભિ $(2, 1)$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર કેટલો થાય?