ધારો કે $k \in N$ નું સૌથી નાનું મૂલ્ય $p$ છે,જેના માટે $(1+x)^3 + (1+x)^4 + \dots + (1+x)^{99} + (1+kx)^{100}, x \neq 0$ માં $x^3$ નો સહગુણક કોઈ $n \in N$ માટે $(43n + \frac{101}{4}) ({}^{100}C_3)$ થાય છે. તો $p+n$ નું મૂલ્ય શોધો:

અઋણ પૂર્ણાંકો $s$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{જો } r \leq s \\ 0 & \text{જો } r > s \end{cases}$. ધન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ માટે,ધારો કે $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,જ્યાં કોઈપણ અઋણ પૂર્ણાંક $p$ માટે,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે

જો ${T_0}, {T_1}, {T_2}, \dots, {T_n}$ એ ${(x + a)^n}$ ના વિસ્તરણના પદો દર્શાવતા હોય,તો $({T_0} - {T_2} + {T_4} - \dots)^2 + ({T_1} - {T_3} + {T_5} - \dots)^2 = $

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ ના ગુણાકારમાં $a^{4}$ નો સહગુણક શોધો.

ધારો કે $(1+x+x^2)^9=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +\ldots+a_{18} x^{18}$. તો

શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ પદો} \right)}$ નો સરવાળો શોધો.