ધારો કે a_{1}=1 અને n ge 1 માટે,a_{n+1} = fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.આને $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.આને $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. તેથી $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા:$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.અહીં $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$,તેથી $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.આમ,$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.તેથી,$|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

ધારો કે $a_{1}=1$ અને $n \ge 1$ માટે,$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$. તો $|\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-\frac{2}{n^{2}})|$ ની કિંમત ........... થાય.

Similar Questions

જો $a, b, c$ એ $GP$ માં હોય અને $4a, 5b, 4c$ એ $AP$ માં હોય અને $a + b + c = 70$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I(n) = n^n$ અને $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ તમામ $n > 1, n \in N$ માટે,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module