$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ ની કિંમત .... છે.

$x, t \in R$ માટે,ધારો કે $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ એ $x$ માં ચલ સહગુણકો ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીઓનું કુટુંબ છે. ધારો કે $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. બધા $t$ માટે $A(t) < 0$.
$II$. $A(t)$ ને અનંત સંખ્યામાં નિર્ણાયક બિંદુઓ છે.
$III$. અનંત સંખ્યામાં $t$ માટે $A(t) = 0$.
$IV$. બધા $t$ માટે $A'(t) < 0$.

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.

વિધેય $y = f(x)$ ના આલેખ પરના બિંદુ $x = a$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\pi/3$ નો ખૂણો બનાવે છે અને $x = b$ આગળના બિંદુએ $\pi/4$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો સંકલન $\int_{a}^{b} f(x) \cdot f''(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો (ધારો કે $f''(x)$ સતત છે).