ધારો કે f: R to R એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ ના બીજ સમાન છે,તેથી તેનો વિવેચક $D=0$ થાય. $D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ ના બીજ સમાન છે,તેથી તેનો વિવેચક $D=0$ થાય. $D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x)f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow 4(f^{\prime}(x))^{2} = 4f(x)f^{\prime\prime}(x) \Rightarrow (f^{\prime}(x))^{2} = f(x)f^{\prime\prime}(x)$. આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ મળે,જે $f^{\prime}(x) = c f(x)$ માં પરિણમે છે. આપેલ છે કે $f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=2$,તેથી $2 = c(1) \Rightarrow c=2$. આમ,$f^{\prime}(x) = 2f(x) \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$. ફરીથી સંકલન કરતા,$\ln(f(x)) = 2x + C_2$. $f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1) = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$. તેથી,$f(x) = e^{2x}$. હવે,$g(x) = f(\ln x - x) = e^{2(\ln x - x)}$. $g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,$g^{\prime}(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ. $g^{\prime}(x) = e^{2(\ln x - x)} \cdot 2(\frac{1}{x} - 1) \geq 0$. $e^{2(\ln x - x)} > 0$ હોવાથી,$\frac{1-x}{x} \geq 0$ થવું જોઈએ. આ અસમતા $x \in (0, 1]$ માટે સાચી છે. તેથી,અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(0, 1)$ છે,એટલે કે $\alpha=0$ અને $\beta=1$. તેથી,$\alpha+\beta = 0+1 = 1$.

Similar Questions

બિંદુ $x=1$ આગળ,વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^3-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$ એ

ધારો કે $f(x)=x^2+a x+b$,જ્યાં $a, b \in R$. જો $f(x)=0$ ના તમામ બીજ કાલ્પનિક હોય,તો $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ ના બીજ કેવા હશે?

સામાન્ય સંકેતમાં $\Delta \nabla$ નું મૂલ્ય કોના બરાબર છે?

જો $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$ હોય,તો $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module