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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos(\pi-x)

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$\frac{\pi}{1-a^2}$

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(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos(\pi-x) = -\cos x$.अतः,$I = \int_0^\pi \frac{dx}{1+2a \cos x + a^2}$.$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi \left( \frac{1}{1-2a \cos x + a^2} + \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} ight) dx$$2I = \int_0^\pi \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x} dx$$I = (1+a^2) \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$चूंकि फलन $\pi/2$ के परितः सममित है,$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$.अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \sec^2 x - 4a^2}$$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ का उपयोग करने पर:$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 (1+	an^2 x) - 4a^2}$$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 	an^2 x + (1-a^2)^2}$माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$. जब $x 	o 0, u 	o 0$ और जब $x 	o \pi/2, u 	o \infty$.$I = 2(1+a^2) \int_0^{\infty} \frac{du}{(1+a^2)^2 u^2 + (1-a^2)^2}$$I = \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2} \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + (\frac{1-a^2}{1+a^2})^2} = \frac{2}{1+a^2} \cdot \frac{1+a^2}{1-a^2} [\arctan(\frac{u(1+a^2)}{1-a^2})]_0^{\infty}$$I = \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{1-a^2}$.

$0 < a < 1$ के लिए,समाकलन $\int_0^\pi \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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