$(1-x)^{2008}(1+x+x^2)^{2007}$ के विस्तार में $x^{2012}$ का गुणांक किसके बराबर है?

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

मान लीजिए $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ और $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ जहाँ $q$ एक वास्तविक संख्या है और $q \ne 1$ है। यदि $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$ है। जब $M^2$ को आधार $2$ में व्यक्त किया जाता है,तो इसके बाइनरी निरूपण में $1$ की संख्या क्या होगी?

मान लीजिए कि $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में परिमेय पदों की संख्या $K$ है। यदि $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ के विस्तार में $x^{P} \quad(P \in N)$ का गुणांक $\alpha_{P}$ है,तो $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$