यदि रेखाओं $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ और $\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{6}{\sqrt{5}}$ है,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

एक रेखा $L_1$ बिंदु $3 \hat{i}$ (स्थिति सदिश) से होकर गुजरती है और सदिश $-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के समांतर है। एक अन्य रेखा $L_2$ बिंदु $\hat{i}+\hat{j}$ (स्थिति सदिश) से होकर गुजरती है और सदिश $\hat{i}+\hat{k}$ के समांतर है। रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखाओं $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और $L_2: \vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी वाली रेखा $L_1$ और $L_2$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु है,तो $2(\alpha+\beta+\gamma)$ का मान . . . . . . है।

बिंदु $(-1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z+2}{-2}$ और $\frac{x+3}{-1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-1}{3}$ पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$P(5, 7, 3)$ से $A(9, 13, 15)$ और $B(12, 21, 10)$ को जोड़ने वाली रेखा पर डाले गए लंब का पाद ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखाओं $x+2=y-1=z$,$\frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ है। तो $A^2$ का मान . . . . . . है।