$^{n-1}C_r = (k^2 - 8) ^nC_{r+1}$ यदि और केवल यदि:

दो कलश हैं। कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं और कलश $B$ में $9$ नीली गेंदें हैं। यदि प्रत्येक कलश से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं और उनकी अदला-बदली की जाती है,तो यह क्रिया कितने तरीकों से की जा सकती है?

एक चुनाव में $8$ उम्मीदवार हैं,जिनमें से $5$ को चुना जाना है। यदि एक मतदाता किसी भी संख्या में उम्मीदवारों को वोट दे सकता है लेकिन चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या से अधिक नहीं,तो एक मतदाता कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

यदि समुच्चय $A = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\}$ के $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या,$a_{4}$ को समाहित करने वाले $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है,तो $n$ का मान क्या है?

$5$ सेब,$4$ आम,$3$ संतरे और $2$ अन्य प्रकार के फलों में से प्रत्येक का $1$ फल है। प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक फल चुनने के तरीकों की संख्या है

$\sum_{r=0}^4 {}^{(19-r)} C_3 + {}^{15} C_4$ का मान किसके बराबर है?