यदि अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+y-2}{x- | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.माना $x = X+h$ और $y = Y+k$. इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k

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$11$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.माना $x = X+h$ और $y = Y+k$. इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k)}$ प्राप्त होता है।समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,$h+k-2=0$ और $h-k=0$ रखने पर,$h=1$ और $k=1$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$. अंश और हर को $X$ से विभाजित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{1+(Y/X)}{1-(Y/X)}$ प्राप्त होता है।माना $Y/X = v$,तब $Y = vX$ और $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} \Rightarrow X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dX}{X}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.$	an^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$.$v = \frac{y-1}{x-1}$ और $X = x-1$ रखने पर: $	an^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{y-1}{x-1}ight)^2ight) = \ln|x-1| + C$.चूंकि वक्र बिंदु $(2,1)$ से गुजरता है,$	an^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0) = \ln|1| + C \Rightarrow C = 0$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$5\beta + \alpha = 5(2) + 1 = 11$.

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