मान लीजिए कि क्षेत्र {(x, y): x-2y+4 geq 0, x | vedclass

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Question

(D) यह क्षेत्र $x = 2y-4$,$x = -2y^2$,$x = 8-4y^2$ और $y = 0$ द्वारा घिरा हुआ है। सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $1$) $2y-4 = -2y^2 \implies

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$119$

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(D) यह क्षेत्र $x = 2y-4$,$x = -2y^2$,$x = 8-4y^2$ और $y = 0$ द्वारा घिरा हुआ है। सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $1$) $2y-4 = -2y^2 \implies y^2+y-2=0 \implies (y+2)(y-1)=0$. चूँकि $y \geq 0$,इसलिए $y=1$. $2$) $2y-4 = 8-4y^2 \implies 4y^2+2y-12=0 \implies 2y^2+y-6=0 \implies (2y-3)(y+2)=0$. चूँकि $y \geq 0$,इसलिए $y=3/2$. $3$) $-2y^2 = 8-4y^2 \implies 2y^2=8 \implies y^2=4 \implies y=2$. क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है: $A = \int_0^1 [(8-4y^2) - (-2y^2)] dy + \int_1^{3/2} [(8-4y^2) - (2y-4)] dy$ $A = \int_0^1 (8-2y^2) dy + \int_1^{3/2} (12-2y-4y^2) dy$ $A = [8y - \frac{2y^3}{3}]_0^1 + [12y - y^2 - \frac{4y^3}{3}]_1^{3/2}$ $A = (8 - \frac{2}{3}) + [(18 - \frac{9}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{8}) - (12 - 1 - \frac{4}{3})]$ $A = \frac{22}{3} + [11.25 - 9.666] = \frac{107}{12}$. अतः,$m=107, n=12$. चूँकि $\gcd(107, 12)=1$,इसलिए $m+n = 107+12 = 119$.

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