यदि परवलय $y^2=4x$ और वृत्त $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ है,तो $d^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $C$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। माना $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं और मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। माना सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $C$,$E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P(x_1, y_1)$,$Q(x_2, y_2)$ और $R(x_3, y_3)$ पर स्पर्श करती है। यदि $P$,रेखाखंड $QR$ का मध्य-बिंदु है और $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है,तो $9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए कि वृत्त $C_1 : |z| = r$ और $C_2 : |z - 3 - 4i| = 5, z \in \mathbb{C}$ इस प्रकार हैं कि $C_2, C_1$ के भीतर स्थित है। यदि $z_1, C_1$ पर गति करता है,$z_2, C_2$ पर गति करता है और $\min |z_1 - z_2| = 2$ है,तो $\max |z_1 - z_2|$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर किसी बिंदु से,वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ पर स्पर्श रेखाएं खींची जाती हैं,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,तो उन स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण क्या है?

मान लीजिए $r_{1}$ और $r_{2}$ क्रमशः सबसे बड़े और सबसे छोटे वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं,जो बिंदु $(-4, 1)$ से होकर गुजरते हैं और जिनके केंद्र वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 4 = 0$ की परिधि पर स्थित हैं। यदि $\frac{r_{1}}{r_{2}} = a + b \sqrt{2}$ है,तो $a + b$ का मान ज्ञात कीजिए:

$A(x_1, y_1)$ दो वृत्तों $C_1$ और $C_2$ का आंतरिक समानता केंद्र है और $B(x_2, y_2)$ बाह्य समानता केंद्र है,जिनके केंद्र क्रमशः $P(\alpha, \beta)$ और $Q(\gamma, \delta)$ हैं। यदि $PA=3, AB=5, QB=2$ है,तो दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात क्या है: