एक वृत्त के दो व्यासों के समीकरण 2x - 3y = 5 | vedclass

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Question

(A) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर,हमें $8x -

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$2$

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(A) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर,हमें $8x - 12y = 20$ और $9x - 12y = 21$ प्राप्त होता है।दूसरे में से पहले को घटाने पर $x = 1$ प्राप्त होता है। $x = 1$ को $2(1) - 3y = 5$ में रखने पर,$-3y = 3$,अतः $y = -1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,केंद्र $C$ $(1, -1)$ है।रेखा $AB$,$A\left(-\frac{22}{7}, -4\right)$ और $B\left(-\frac{1}{7}, 3\right)$ से होकर गुजरती है। $AB$ की ढाल $m = \frac{3 - (-4)}{-1/7 - (-22/7)} = \frac{7}{21/7} = \frac{7}{3}$ है।रेखा $AB$ का समीकरण $y - 3 = \frac{7}{3}(x + \frac{1}{7})$ है,जो सरल होकर $3y - 9 = 7x + 1$ या $7x - 3y + 10 = 0$ हो जाता है।चूंकि रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए यह $P$ पर स्पर्शरेखा है। अतः,$CP$,$AB$ के लंबवत है।$CP$ की ढाल $-\frac{1}{7/3} = -\frac{3}{7}$ है। $C(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $CP$ का समीकरण $y + 1 = -\frac{3}{7}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $7y + 7 = -3x + 3$ या $3x + 7y + 4 = 0$ हो जाता है।समीकरणों $7x - 3y = -10$ और $3x + 7y = -4$ को हल करने पर:पहले को $7$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $49x - 21y = -70$ और $9x + 21y = -12$ प्राप्त होता है।इनका योग करने पर $58x = -82$,अतः $x = \alpha = -\frac{41}{29}$ प्राप्त होता है।$x = -\frac{41}{29}$ को $3x + 7y = -4$ में रखने पर: $3(-\frac{41}{29}) + 7y = -4 \implies -\frac{123}{29} + 7y = -4 \implies 7y = -4 + \frac{123}{29} = \frac{7}{29} \implies y = \beta = \frac{1}{29}$।अंत में,$17\beta - \alpha = 17(\frac{1}{29}) - (-\frac{41}{29}) = \frac{17 + 41}{29} = \frac{58}{29} = 2$।

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