माना PQ परवलय y^{2}=4x की एक नाभिलंब जीवा है | vedclass

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Question

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(t^{2}, 2t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ हैं।चूंकि $PQ$,$R(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंत

Vedclass · Accepted Answer

$3+2\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(t^{2}, 2t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^{2}}, -\frac{2}{t})$ हैं।चूंकि $PQ$,$R(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करती है,इसलिए $PR$ और $QR$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।$PR$ की प्रवणता $= \frac{2t-0}{t^{2}-3} = \frac{2t}{t^{2}-3}$.$QR$ की प्रवणता $= \frac{-2/t-0}{1/t^{2}-3} = \frac{-2/t}{(1-3t^{2})/t^{2}} = \frac{-2t}{1-3t^{2}}$.गुणनफल $-1$ होने के कारण,$\frac{2t}{t^{2}-3} 	imes \frac{-2t}{1-3t^{2}} = -1$.$\frac{-4t^{2}}{(t^{2}-3)(1-3t^{2})} = -1 \Rightarrow 4t^{2} = (t^{2}-3)(1-3t^{2}) = t^{2} - 3t^{4} - 3 + 9t^{2} = -3t^{4} + 10t^{2} - 3$.$3t^{4} - 6t^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 3(t^{2}-1)^{2} = 0 \Rightarrow t^{2} = 1$.अतः,$P$ बिंदु $(1, 2)$ है और $Q$ बिंदु $(1, -2)$ है।जीवा $PQ$ की लंबाई $4$ है,जो दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है। अतः,$\frac{2b^{2}}{a} = 4 \Rightarrow b^{2} = 2a$.दीर्घवृत्त की नाभि $(ae, 0)$ है। चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,रेखा $x=1$ को नाभि $(ae, 0)$ से गुजरना चाहिए,इसलिए $ae = 1$.$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करते हुए,$b^{2} = 2a$ और $e^{2} = \frac{1}{a^{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:$2a = a^{2}(1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1$.$a^{2} - 2a - 1 = 0$. $a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. चूंकि $a>0$,इसलिए $a = 1+\sqrt{2}$.तब $e^{2} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{2}} = \frac{1}{1+2+2\sqrt{2}} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2}$.अतः,$\frac{1}{e^{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$.

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