$\sum \limits_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{ n }{ }^n C_i{ }^n C_j$ बराबर है :

माना $n$ और $k$ धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $n \ge \frac{{k(k + 1)}}{2}$. ${x_1} + {x_2} + .... + {x_k} = n$ को सन्तुष्ट करने वाले हलों $({x_1},{x_2},....{x_k})$, जहाँ ${x_1} \ge 1,{x_2} \ge 2,....{x_k} \ge k,$ तथा सभी पूर्णांक हैं, की संख्या है

$x$ की घातों में $\left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)^{6}$ के प्रसार में $x^{4}$ का गुणांक है .............

यदि $\left(1-3 x+10 x^2\right)^n$ के प्रसार में सभी गुणाकों का योग $\mathrm{A}$ है तथा $\left(1+\mathrm{x}^2\right)^n$ के प्रसार में सभी गुणाकों का योग $\mathrm{B}$ है, तो :

माना $\alpha=\sum_{k=0}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\left({ }^n C_k\right)^2}{k+1}\right)$ तथा $\beta=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{{ }^n C_k{ }^n C_{k+1}}{k+2}\right)$ हैं। यदि $5 \alpha=6 \beta$ हैं, तो $\mathrm{n}$ बराबर है ............

${C_0} - {C_1} + {C_2} - {C_3} + ..... + {( - 1)^n}{C_n}$ बराबर होगा