यदि lim_{n rightarrow infty} frac{(n+1)^{k-1} | vedclass

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Question

(B) माना $LHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} [nk \cdot n + \frac{n(n+1)}{2}]$$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-

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$5$

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(B) माना $LHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} [nk \cdot n + \frac{n(n+1)}{2}]$$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}} \cdot n^2 [k + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}]$$= \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^{k-1} \cdot (k + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}) = k + \frac{1}{2}$.माना $RHS = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{i=1}^{n} i^k = \int_{0}^{1} x^k dx = \frac{1}{k+1}$.दिया है $LHS = 33 \cdot RHS$,इसलिए $k + \frac{1}{2} = 33 \cdot \frac{1}{k+1}$.$(2k + 1)(k + 1) = 66$.$2k^2 + 3k + 1 = 66 \implies 2k^2 + 3k - 65 = 0$.$(2k + 13)(k - 5) = 0$.चूंकि $k$ एक पूर्णांक मान है,इसलिए $k = 5$.

यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^{k+1}}[(nk+1)+(nk+2)+\ldots+(nk+n)] = 33 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \cdot [1^k + 2^k + 3^k + \ldots + n^k]$ है,तो $k$ का पूर्णांक मान $....$ के बराबर है।

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यदि ${x_n} = \frac{{1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots - 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {4{n^2} - 1} }},$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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