ऐसे आच्छादक (bijective) फलनों f : {1, 3, 5, 7 | vedclass

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Question

(B) प्रांत समुच्चय $A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$ में $50$ अवयव हैं। सह-प्रांत समुच्चय $B = \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ में भी $50$ अवयव हैं।चूंकि $f$ एक

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$^{50}P_{33}$

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(B) प्रांत समुच्चय $A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}$ में $50$ अवयव हैं। सह-प्रांत समुच्चय $B = \{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ में भी $50$ अवयव हैं।चूंकि $f$ एक आच्छादक फलन है,यह $50$ अवयवों का एक क्रमचय (permutation) है।दी गई शर्त $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq \ldots \geq f(99)$ है।चूंकि फलन एकैकी (one-one) है,सभी मान भिन्न होने चाहिए,इसलिए शर्त $f(3) > f(9) > f(15) > \ldots > f(99)$ हो जाती है।अनुक्रम $3, 9, 15, \ldots, 99$ में $17$ अवयव हैं $(99 = 3 + (n-1)6 \implies n = 17)$।इन $17$ अवयवों के लिए सह-प्रांत के $50$ मानों में से $17$ मान चुनने के तरीके $^{50}C_{17}$ हैं।एक बार चुनने के बाद,उन्हें अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।प्रांत के शेष $50 - 17 = 33$ अवयवों को सह-प्रांत के शेष $33$ मानों के साथ $33!$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है।अतः,ऐसे फलनों की कुल संख्या $^{50}C_{17} 	imes 33! = \frac{50!}{17! 	imes 33!} 	imes 33! = \frac{50!}{17!} = ^{50}P_{33}$ है।

ऐसे आच्छादक (bijective) फलनों $f : \{1, 3, 5, 7, \ldots, 99\} \rightarrow \{2, 4, 6, 8, \ldots, 100\}$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनके लिए $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq f(21) \geq \ldots \geq f(99)$ हो।

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मान लीजिए $a > 1$ और $0 < b < 1$ है। यदि $f: R \rightarrow [0, 1]$ को $f(x) = \begin{cases} a^x, & -\infty < x < 0 \\ b^x, & 0 \leq x < \infty \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f(x)$ है

फलन $f: R \to R$ जो $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $x \in R$,वह है

निम्नलिखित में से कौन सा/से फलन ट्रांससेंडेंटल (transcendental) है/हैं?

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