यदि वृत्त x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0 और x^{2}+y^{ | vedclass

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Question

(C) वृत्त $C_1: x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0$ का केंद्र $O_1(-3, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।वृत्त $C_2: x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3})x+2(4-\sqrt{6})y = k+6\s

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$25$

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(C) वृत्त $C_1: x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0$ का केंद्र $O_1(-3, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।वृत्त $C_2: x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3})x+2(4-\sqrt{6})y = k+6\sqrt{3}+8\sqrt{6}$ का केंद्र $O_2(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{k+34}$ है।चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = |r_2 - r_1|$ है।$d^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 9$,इसलिए $d = 3$।$3 = |\sqrt{k+34} - 3|$,जिससे $\sqrt{k+34} = 6$,अर्थात $k=2$।स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$,$O_1O_2$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।$\alpha = \frac{1(\sqrt{3}-3) - 2(-3)}{1-2} = -\sqrt{3}-3$।$\beta = \frac{1(\sqrt{6}-4) - 2(-4)}{1-2} = -\sqrt{6}-4$।अतः,$(\alpha+\sqrt{3})^{2} + (\beta+\sqrt{6})^{2} = (-3)^2 + (-4)^2 = 25$।

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