मान लीजिए कि f(x) और g(x) क्रमशः 2 और 1 घात व | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $g(x)$ एक $1$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है।तब $f(g(x)) = f(ax + b) = 8x^2 - 2x$ है। चूंकि $f$ का घात $2$ है,मान लीज

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$18$

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(A) दिया गया है कि $g(x)$ एक $1$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $g(x) = ax + b$ है।तब $f(g(x)) = f(ax + b) = 8x^2 - 2x$ है। चूंकि $f$ का घात $2$ है,मान लीजिए $f(x) = px^2 + qx + r$ है।$g(x)$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(ax+b)^2 + q(ax+b) + r = 8x^2 - 2x$ प्राप्त होता है।$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$pa^2 = 8$ प्राप्त होता है। चूंकि $g(f(x)) = 4x^2 + 6x + 1$ है,$g(f(x))$ का मुख्य गुणांक $a \cdot p = 4$ है।$pa^2 = 8$ को $ap = 4$ से विभाजित करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है। तब $p(2)^2 = 8 \implies 4p = 8 \implies p = 2$ है।अब,$f(g(x)) = 2(2x+b)^2 + q(2x+b) + r = 2(4x^2 + 4bx + b^2) + 2qx + qb + r = 8x^2 + (8b + 2q)x + (2b^2 + qb + r) = 8x^2 - 2x$ है।गुणांकों की तुलना करने पर: $8b + 2q = -2$ और $2b^2 + qb + r = 0$ है।$g(f(x)) = a(px^2 + qx + r) + b = 2(2x^2 + qx + r) + b = 4x^2 + 2qx + 2r + b = 4x^2 + 6x + 1$ है।गुणांकों की तुलना करने पर: $2q = 6 \implies q = 3$ है। तब $8b + 2(3) = -2 \implies 8b = -8 \implies b = -1$ है।अतः,$g(x) = 2x - 1$ और $f(x) = 2x^2 + 3x + r$ है। $2b^2 + qb + r = 0$ का उपयोग करने पर,$2(-1)^2 + 3(-1) + r = 0 \implies 2 - 3 + r = 0 \implies r = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ है।अब,$f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$ और $g(2) = 2(2) - 1 = 3$ है।इसलिए,$f(2) + g(2) = 15 + 3 = 18$ है।

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