मान लीजिए कि वृत्त x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + | vedclass

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Question

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(1, -f)$ है।चूंकि व्यास केंद्र से गुजरते हैं,हम $(1, -f)$ को व्यास के समीक

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$2$

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(B) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2x + 2fy + 1 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(1, -f)$ है।चूंकि व्यास केंद्र से गुजरते हैं,हम $(1, -f)$ को व्यास के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:$2p(1) - (-f) = 1 \implies 2p + f = 1 \implies f = 1 - 2p$.$2(1) + p(-f) = 4p \implies 2 - pf = 4p$.दूसरे समीकरण में $f = 1 - 2p$ रखने पर:$2 - p(1 - 2p) = 4p \implies 2 - p + 2p^{2} = 4p \implies 2p^{2} - 5p + 2 = 0$.$p$ के लिए हल करने पर: $(2p - 1)(p - 2) = 0$,इसलिए $p = 1/2$ या $p = 2$.यदि $p = 1/2$,तो $f = 1 - 2(1/2) = 0$. केंद्र $(1, 0)$ है।यदि $p = 2$,तो $f = 1 - 2(2) = -3$. केंद्र $(1, 3)$ है।अतिपरवलय $3x^{2} - y^{2} = 3$ है,जो $x^{2} - y^{2}/3 = 1$ है। स्पर्श रेखा $y = mx + c$ के लिए $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2} = m^{2} - 3$.स्थिति $1$: केंद्र $(1, 0)$. $0 = m(1) + c \implies c = -m$. तब $c^{2} = m^{2} = m^{2} - 3$,जो संभव नहीं है।स्थिति $2$: केंद्र $(1, 3)$. $3 = m(1) + c \implies c = 3 - m$. तब $c^{2} = (3 - m)^{2} = m^{2} - 3$.$9 - 6m + m^{2} = m^{2} - 3 \implies 6m = 12 \implies m = 2$.

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