मान लीजिए कि उस वृत्त के केंद्र $(\alpha, \beta)$,$\beta > 0$ का बिंदु पथ $L$ है,जो वृत्त $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है और $x$-अक्ष को भी स्पर्श करता है। तो $L$ और रेखा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक चर सीधी रेखा $AB$,वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ की परिधि को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करती है। यदि छोटे चाप पर $AB$ के समानांतर एक स्पर्शरेखा $CD$ खींची जाती है,जिससे $ABCD$ एक आयत बन जाता है,तो $C$ और $D$ का बिंदु पथ (locus) क्या है?

मान लीजिए $C$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $3$ है और केंद्र $(0, 0)$ पर है। वृत्त की उस जीवा के मध्यबिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर $\frac{2\pi}{3}$ का कोण अंतरित करती है।

मान लीजिए $ABCD$ और $AEFG$ क्रमशः $4$ और $2$ इकाई भुजा वाले वर्ग हैं। बिंदु $E$ रेखाखंड $AB$ पर है और बिंदु $F$ विकर्ण $AC$ पर है। तो बिंदु $F$ से गुजरने वाले और रेखाखंडों $BC$ और $CD$ को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $r$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है:

माना $RS$ वृत्त $x^2+y^2=1$ का व्यास है,जहाँ $S$ बिंदु $(1,0)$ है। माना $P$ वृत्त पर एक चर बिंदु ($R$ और $S$ के अलावा) है और $S$ तथा $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ बिंदु $Q$ पर मिलती हैं। $P$ पर वृत्त का अभिलंब $Q$ से होकर जाने वाली और $RS$ के समांतर रेखा को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। तो $E$ का बिंदुपथ निम्नलिखित में से किस बिंदु (बिंदुओं) से होकर गुजरता है?
$(A)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ $(C)$ $\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$

$h$ ऊँचाई वाले एक लंब-वृत्तीय शंकु के आकार की बोतल में कुछ पानी है। जब इसका आधार एक समतल सतह पर रखा जाता है,तो जल स्तर से शीर्ष की ऊँचाई $a$ इकाई है। जब इसे उल्टा रखा जाता है,तो जल स्तर से आधार की ऊँचाई $\frac{a}{4}$ इकाई है। तो अनुपात $\frac{h}{a}$ क्या है?