फलन cos^{-1}left(frac{2 sin^{-1}left(frac{1}{ | vedclass

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Question

(D) फलन $\cos^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए। अतः,$-1 \leq \frac{2 \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1})}{\pi} \leq 1$

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$(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \cup \{0\}$

Vedclass · Answer

(D) फलन $\cos^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए। अतः,$-1 \leq \frac{2 \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1})}{\pi} \leq 1$। $\frac{\pi}{2}$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1}(\frac{1}{4x^2-1}) \leq \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sin^{-1}(y)$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,यह असमिका $[-1, 1]$ में स्थित सभी $y$ के लिए हमेशा सत्य है। इसलिए,हमें $-1 \leq \frac{1}{4x^2-1} \leq 1$ की आवश्यकता है। स्थिति $1$: $\frac{1}{4x^2-1} \leq 1 \implies \frac{2-4x^2}{4x^2-1} \leq 0 \implies \frac{2(1-2x^2)}{(2x-1)(2x+1)} \geq 0$। यह $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)$ के लिए सत्य है। स्थिति $2$: $\frac{1}{4x^2-1} \geq -1 \implies \frac{4x^2}{4x^2-1} \geq 0$। यह $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty) \cup \{0\}$ के लिए सत्य है। दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,हमें $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) \cup \{0\}$ प्राप्त होता है।

फलन $\cos^{-1}\left(\frac{2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{4x^2-1}\right)}{\pi}\right)$ का प्रांत (domain) है

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यदि फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2x+3}\right)$ का प्रांत (domain) $R - (\alpha, \beta)$ है,तो $12\alpha\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\sec ^{-1} x$ का परिसर (range) है

$\left|\cos ^{-1} x\right|$ का परिसर . . . . . . है।

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फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{|x|+5}{x^2+1}\right)$ का प्रांत $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$ है। तब $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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