मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं। तो अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई है:

मान लीजिए $e_1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ की उत्केंद्रता है और $e_2$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ की उत्केंद्रता है,जो अतिपरवलय की नाभियों से होकर गुजरता है। यदि $e_1 e_2=1$ है,तो $x$-अक्ष के समानांतर और $(0,2)$ से गुजरने वाली दीर्घवृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए:

वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। वृत्त और अतिपरवलय की धनात्मक ढाल वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। दीर्घवृत्त $E$ के दीर्घ और लघु अक्ष,अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,और $l$ दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है,तो $113l$ का मान $....$ है।

यदि बिंदु $(\alpha, \beta)$ जो दीर्घवृत्त $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ पर स्थित है,से परवलय $y^{2} = 4x$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार हैं कि एक स्पर्श रेखा का ढाल दूसरी का चार गुना है,तो $(10\alpha + 5)^{2} + (16\beta^{2} + 50)^{2}$ का मान क्या होगा?

यदि दीर्घवृत्त $3x^2+4y^2=19$ पर बिंदु $(1,2)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,परवलय $y^2-kx=0$ की भी स्पर्श रेखा है,तो $k=$