$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक}) + (1! - 2! + 3! - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$APPLICATION$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं?

शब्द $\text{MATHS}$ के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $6$-अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें प्रयुक्त प्रत्येक अक्षर कम से कम दो बार आए।

यदि $\alpha = ^mC_2$ है,तो $^\alpha C_2$ का मान क्या होगा?

एक पुरुष $P$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएं हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Q$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएं हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $P$ और $Q$ का कोई भी मित्र समान नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $P$ और $Q$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित करके एक पार्टी दे सकते हैं,ताकि $P$ और $Q$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों।

दो अंकों की ऐसी कुल कितनी संख्याएँ $n$ हैं कि $3^{n} + 7^{n}$,$10$ का गुणज हो? ..... .