मान लीजिए f(x) = |x - 2| और g(x) = f(f(x)),x | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = |x - 2|$ और $g(x) = f(f(x)) = ||x - 2| - 2|$।हमें $I = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} g(x) \, dx - \int_{0}^{

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(D) दिया गया है $f(x) = |x - 2|$ और $g(x) = f(f(x)) = ||x - 2| - 2|$।हमें $I = \int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} g(x) \, dx - \int_{0}^{3} f(x) \, dx$ का मूल्यांकन करना है।सबसे पहले,$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} |x - 2| \, dx$ की गणना करें।यह $x = 0$ से $x = 3$ तक $f(x)$ के ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल दर्शाता है। ग्राफ दो त्रिभुजों से बना है: एक $2$ आधार और $2$ ऊंचाई वाला ($0$ से $2$ तक),और दूसरा $1$ आधार और $1$ ऊंचाई वाला ($2$ से $3$ तक)।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 2 	imes 2 + \frac{1}{2} 	imes 1 	imes 1 = 2 + 0.5 = 2.5$.अब,$\int_{0}^{3} g(x) \, dx = \int_{0}^{3} ||x - 2| - 2| \, dx$ की गणना करें।$x \in [0, 2]$ के लिए,$g(x) = |(2 - x) - 2| = |-x| = x$। क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{1}{2} 	imes 2 	imes 2 = 2$.$x \in [2, 3]$ के लिए,$g(x) = |(x - 2) - 2| = |x - 4| = 4 - x$। क्षेत्रफल $= \int_{2}^{3} (4 - x) \, dx = \frac{1}{2} 	imes (2 + 1) 	imes 1 = 1.5$.कुल $\int_{0}^{3} g(x) \, dx = 2 + 1.5 = 3.5$.अतः,$I = 3.5 - 2.5 = 1$।

मान लीजिए $f(x) = |x - 2|$ और $g(x) = f(f(x))$,$x \in [0, 4]$ है। तो $\int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि ${I_n} = \int_0^\infty {{e^{ - x}}{x^{n - 1}}dx,} $ है,तो $\int_0^\infty {{e^{ - \lambda x}}{x^{n - 1}}dx = } $

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