एक खेल में,दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं,जिसकी शुरुआत खिलाड़ी $A$ करता है। प्रत्येक फेंक में दोनों पासों पर आए कुल अंकों को नोट किया जाता है। यदि $A$,$B$ के $7$ के कुल योग से पहले $6$ का कुल योग प्राप्त करता है तो $A$ जीत जाता है,और यदि $B$,$A$ के $6$ के कुल योग से पहले $7$ का कुल योग प्राप्त करता है तो $B$ जीत जाता है। जैसे ही कोई खिलाड़ी जीतता है,खेल रुक जाता है। $A$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

यदि समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से $n$ संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं,तो क्या प्रायिकता है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?

यदि $a$ और $b$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से प्रतिस्थापन के साथ यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x}}}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}}=6$ होने की प्रायिकता क्या है?

दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,मान लीजिए $P(A)=0.7$ और $P(B)=0.6$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन अनिवार्य रूप से गलत है/हैं?

एक जहाज में तीन इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ लगे हैं। इंजन एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमशः $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ की प्रायिकता के साथ कार्य करते हैं। जहाज के चालू रहने के लिए,इसके कम से कम दो इंजनों का कार्य करना आवश्यक है। मान लीजिए $X$ उस घटना को दर्शाता है कि जहाज चालू है और $X_1, X_2$ और $X_3$ क्रमशः उन घटनाओं को दर्शाते हैं कि इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ कार्य कर रहे हैं। निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{ठीक दो इंजन कार्य कर रहे हैं} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

एक कंप्यूटर प्रोग्राम में दो मॉड्यूल $X$ और $Y$ हैं और उनमें त्रुटियाँ स्वतंत्र रूप से होती हैं। $X$ में त्रुटि की संभावना $0.1$ है और $Y$ में त्रुटि की संभावना $0.3$ है। यदि केवल $X$ में त्रुटि प्रोग्राम को $0.5$ की संभावना के साथ क्रैश करती है,केवल $Y$ में त्रुटि प्रोग्राम को $0.7$ की संभावना के साथ क्रैश करती है,और $X$ और $Y$ दोनों में त्रुटि प्रोग्राम को $0.8$ की संभावना के साथ क्रैश करती है,तो प्रोग्राम के क्रैश होने की संभावना क्या है?