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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = \omega,$ जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।हम जानते हैं कि $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और

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$9$

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(D) दिया गया है कि $\alpha = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = \omega,$ जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।हम जानते हैं कि $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$.द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(2+\omega)^4$ का विस्तार करने पर:$(2+\omega)^4 = 2^4 + 4(2^3)(\omega) + 6(2^2)(\omega^2) + 4(2)(\omega^3) + \omega^4$$= 16 + 32\omega + 24\omega^2 + 8(1) + \omega$$= 24 + 33\omega + 24\omega^2$$\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित करने पर:$= 24 + 33\omega + 24(-1 - \omega)$$= 24 + 33\omega - 24 - 24\omega$$= 9\omega$$a + b\omega$ के साथ तुलना करने पर,$a = 0$ और $b = 9$ प्राप्त होता है।अतः,$a + b = 0 + 9 = 9$.

यदि $a$ और $b$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $(2+\alpha)^{4}=a+b \alpha,$ जहाँ $\alpha=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2},$ तो $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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