अवकल समीकरण (1+e^{-x})(1+y^{2}) frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$.चरों को अलग करने पर:$\frac{1+y^{2}}{y^{2}} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$$\Rightarr

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$y^{2}=1+y \log _{e}\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$.चरों को अलग करने पर:$\frac{1+y^{2}}{y^{2}} dy = \frac{1}{1+e^{-x}} dx$$\Rightarrow (y^{-2}+1) dy = \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int (y^{-2}+1) dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} dx$$-y^{-1} + y = \ln(e^{x}+1) + C$$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) + C$.चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:$1 - \frac{1}{1} = \ln(e^{0}+1) + C$$0 = \ln(2) + C \Rightarrow C = -\ln(2)$.$C$ का मान समीकरण में रखने पर:$y - \frac{1}{y} = \ln(e^{x}+1) - \ln(2)$$y - \frac{1}{y} = \ln\left(\frac{e^{x}+1}{2}\right)$$y$ से गुणा करने पर:$y^{2} - 1 = y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$$y^{2} = 1 + y \ln\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)$.

अवकल समीकरण $(1+e^{-x})(1+y^{2}) \frac{dy}{dx} = y^{2}$ का हल वक्र,जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है,है:

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