જો અતિવલયની નાભિસ્થ જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિ $(ae, 0)$ પર છે.નાભિસ્થ જીવા મુખ્ય અક્ષને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = a

Vedclass · Accepted Answer

$e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિ $(ae, 0)$ પર છે.નાભિસ્થ જીવા મુખ્ય અક્ષને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = ae$ છે.અતિવલયના સમીકરણમાં $x = ae$ મૂકતા: $\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}$ $\Rightarrow y^2 = b^2(e^2 - 1)$.$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$e^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $y^2 = b^2(\frac{b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$.જીવાના અંત્યબિંદુઓ $A(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે. જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OA$ નો ઢાળ $	imes$ $OB$ નો ઢાળ $= -1$.$OA$ નો ઢાળ $= \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$. $OB$ નો ઢાળ $= -\frac{b^2}{a^2e}$.$(\frac{b^2}{a^2e}) 	imes (-\frac{b^2}{a^2e}) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$(a^2(e^2 - 1))^2 = a^4e^2 \Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$.$e^4 - 2e^2 + 1 = e^2 \Rightarrow e^4 - 3e^2 + 1 = 0$.$u = e^2$ લેતા,$u^2 - 3u + 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.$e > 1$ હોવાથી,$e^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$.

જો અતિવલયની નાભિસ્થ જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

Similar Questions

જો અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ (transverse) અને સંયુગ્મી (conjugate) અક્ષો સમાન હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

$x - y = 0$,$x + y = 0$ રેખાઓ અને અતિવલય $x^2 - y^2 = a^2$ ના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module