એક ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ શોધો,જો તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2$ એકમ હોય અને તેના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{15}{2}$ એકમ હોય.

જો $\beta$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = 9$ ના બિંદુઓ $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળના અભિલંબ વચ્ચેનો એક ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$,તો $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલયમાં $OB$ એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,$F$ અને $F'$ તેના નાભિ છે અને ખૂણો $\angle FBF'$ એ કાટખૂણો છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા એ વિધેય $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $a^2 + b^2$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુપથ જે સંબંધ $\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2} + \sqrt{(x + 3)^2 + (y - 1)^2} = 6$ નું પાલન કરે છે,તે શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથ કેવો હોય?