MathematicsQ401–422 of 797 questions
Page 9 of 9 · Gujarati
401
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
નીચેનામાંથી કયું અશુદ્ધ સંમેય અપૂર્ણાંક (improper rational fraction) છે?
A
$\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+x+1)}$
B
$\frac{x^2+1}{(x+3)(x^2-x+1)}$
C
$\frac{x}{x^2+3x+1}$
D
$\frac{x^2+1}{x^2-1}$
Solution
(D) સંમેય અપૂર્ણાંક $\frac{p(x)}{q(x)}$ ને અશુદ્ધ સંમેય અપૂર્ણાંક કહેવાય છે જો અંશ $p(x)$ ની ઘાત એ છેદ $q(x)$ ની ઘાત કરતા મોટી અથવા સમાન હોય.
$(a)$ $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+x+1)}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 4$ છે. $2 < 4$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(b)$ $\frac{x^2+1}{(x+3)(x^2-x+1)}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 3$ છે. $2 < 3$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(c)$ $\frac{x}{x^2+3x+1}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 1$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 2$ છે. $1 < 2$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(d)$ $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 2$ છે. અંશની ઘાત અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આ એક અશુદ્ધ સંમેય અપૂર્ણાંક છે.
$(a)$ $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+x+1)}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 4$ છે. $2 < 4$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(b)$ $\frac{x^2+1}{(x+3)(x^2-x+1)}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 3$ છે. $2 < 3$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(c)$ $\frac{x}{x^2+3x+1}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 1$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 2$ છે. $1 < 2$ હોવાથી,આ એક શુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.
$(d)$ $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ માટે,$p(x)$ ની ઘાત $= 2$ અને $q(x)$ ની ઘાત $= 2$ છે. અંશની ઘાત અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આ એક અશુદ્ધ સંમેય અપૂર્ણાંક છે.
0 likesView Solution
402
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
જો બિંદુઓ $(2,4,-1), (3,6,-1)$ અને $(4,5,1)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ત્રણ ક્રમિક શિરોબિંદુઓ હોય,તો તેનું ચોથું શિરોબિંદુ કયું છે?
A
$(3,3,1)$
B
$(3,1,3)$
C
$(1,3,3)$
D
$(0,0,0)$
Solution
(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,4,-1)$,$B(3,6,-1)$ અને $C(4,5,1)$ છે.
ધારો કે ચોથું શિરોબિંદુ $D(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{3+x}{2} = 3 \Rightarrow 3+x = 6 \Rightarrow x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow 6+y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \Rightarrow -1+z = 0 \Rightarrow z = 1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D$ એ $(3,3,1)$ છે.
ધારો કે ચોથું શિરોબિંદુ $D(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{3+x}{2} = 3 \Rightarrow 3+x = 6 \Rightarrow x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow 6+y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \Rightarrow -1+z = 0 \Rightarrow z = 1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D$ એ $(3,3,1)$ છે.
0 likesView Solution
403
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
બિંદુઓ $\hat{i}+2 \hat{j}, 2 \hat{i}-\hat{j}$ અને $-\hat{i}, 2 \hat{i}$ ને જોડતી રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
A
$\frac{5}{3} \hat{i}$
B
$\frac{3 \hat{i}+\hat{j}}{5}$
C
$\frac{-3}{5} \hat{i}$
D
$\frac{2}{5} \hat{j}$
Solution
(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(2, -1)$,$C(-1, 0)$ અને $D(2, 0)$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $ છે.
રેખા $AB$ માટે જે $(1, 2)$ અને $(2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(y - 2) = \frac{-1 - 2}{2 - 1}(x - 1) \Rightarrow (y - 2) = -3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + y = 5$.
રેખા $CD$ માટે જે $(-1, 0)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
અહીં $y$-યામ બંને બિંદુઓ માટે $0$ હોવાથી,રેખા $x$-અક્ષ છે,એટલે કે $y = 0$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = 0$ ને સમીકરણ $3x + y = 5$ માં મૂકતા:
$3x + 0 = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(\frac{5}{3}, 0)$ છે,જે સદિશ સ્વરૂપમાં $\frac{5}{3} \hat{i}$ થાય છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $ છે.
રેખા $AB$ માટે જે $(1, 2)$ અને $(2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(y - 2) = \frac{-1 - 2}{2 - 1}(x - 1) \Rightarrow (y - 2) = -3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + y = 5$.
રેખા $CD$ માટે જે $(-1, 0)$ અને $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે:
અહીં $y$-યામ બંને બિંદુઓ માટે $0$ હોવાથી,રેખા $x$-અક્ષ છે,એટલે કે $y = 0$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = 0$ ને સમીકરણ $3x + y = 5$ માં મૂકતા:
$3x + 0 = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(\frac{5}{3}, 0)$ છે,જે સદિશ સ્વરૂપમાં $\frac{5}{3} \hat{i}$ થાય છે.
0 likesView Solution
404
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
જો ઉગમબિંદુ એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર હોય જેના બે શિરોબિંદુઓ $(-2, 3, 4)$ અને $(3, -1, 5)$ હોય,તો ત્રીજું શિરોબિંદુ કયું છે?
A
$(-1, -2, -9)$
B
$(-1, -2, 9)$
C
$(1, -2, -9)$
D
$(1, 2, 9)$
Solution
(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x, y, z)$,$B(-2, 3, 4)$ અને $C(3, -1, 5)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી:
$\frac{x-2+3}{3} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$\frac{y+3-1}{3} = 0 \Rightarrow y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
$\frac{z+4+5}{3} = 0 \Rightarrow z+9 = 0 \Rightarrow z = -9$
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-1, -2, -9)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી:
$\frac{x-2+3}{3} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$\frac{y+3-1}{3} = 0 \Rightarrow y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
$\frac{z+4+5}{3} = 0 \Rightarrow z+9 = 0 \Rightarrow z = -9$
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-1, -2, -9)$ છે.
0 likesView Solution
405
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
$5$ સફેદ અને $7$ કાળા દડા ધરાવતી થેલીમાંથી એકસાથે $9$ દડા કાઢવામાં આવે છે. $3$ સફેદ અને $6$ કાળા દડા નીકળવાની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{{ }^7 C_3}{{ }^{12} C_9}$
B
$\frac{7}{22}$
C
$\frac{3}{22}$
D
$\frac{7}{11}$
Solution
(B) કુલ દડાની સંખ્યા = $5 + 7 = 12$.
આપણે $12$ દડામાંથી $9$ દડા પસંદ કરવાના છે.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $n(S) = {}^{12}C_9 = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
આપણે $5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા અને $7$ કાળા દડામાંથી $6$ કાળા દડા પસંદ કરવાના છે.
$3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^5C_3 = {}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$6$ કાળા દડા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^7C_6 = {}^7C_1 = 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(P) = 10 \times 7 = 70$.
સંભાવના $P = \frac{n(P)}{n(S)} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.
આપણે $12$ દડામાંથી $9$ દડા પસંદ કરવાના છે.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $n(S) = {}^{12}C_9 = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
આપણે $5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા અને $7$ કાળા દડામાંથી $6$ કાળા દડા પસંદ કરવાના છે.
$3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^5C_3 = {}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$6$ કાળા દડા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^7C_6 = {}^7C_1 = 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(P) = 10 \times 7 = 70$.
સંભાવના $P = \frac{n(P)}{n(S)} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.
0 likesView Solution
406
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
એક કોન્ટ્રાક્ટરને રોડ કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની સંભાવના $\frac{2}{9}$ છે અને બિલ્ડિંગ કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની સંભાવના $\frac{5}{9}$ છે. જો બંને કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ હોય,તો આ બંનેમાંથી એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{7}{9}$
B
$\frac{4}{9}$
C
$\frac{7}{18}$
D
$\frac{4}{18}$
Solution
(C) ધારો કે $A$ એ રોડ કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની ઘટના છે અને $B$ એ બિલ્ડિંગ કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{9}$,$P(B) = \frac{5}{9}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
આપણે એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ છે.
પ્રથમ,ઓછામાં ઓછો એક કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની સંભાવના શોધો:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{7}{9} - \frac{1}{6}$
છેદ સમાન કરતા $(18)$:
$P(A \cup B) = \frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$.
હવે,એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$.
આમ,સંભાવના $\frac{7}{18}$ છે.
આપેલ છે: $P(A) = \frac{2}{9}$,$P(B) = \frac{5}{9}$,અને $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
આપણે એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ છે.
પ્રથમ,ઓછામાં ઓછો એક કોન્ટ્રાક્ટ મળવાની સંભાવના શોધો:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{7}{9} - \frac{1}{6}$
છેદ સમાન કરતા $(18)$:
$P(A \cup B) = \frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$.
હવે,એક પણ કોન્ટ્રાક્ટ ન મળવાની સંભાવના:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$.
આમ,સંભાવના $\frac{7}{18}$ છે.
0 likesView Solution
407
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
ધારો કે $A$ અને $B$ ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}$ અને $P(A \cup B)=\frac{1}{2}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?
A
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે
B
$P(A|B)=\frac{1}{3}$
C
$P(A^C \cap B)=\frac{1}{3}$
D
$P(A \cap B^C)=\frac{1}{4}$
Solution
(C) આપેલ છે,$P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A \cup B)=\frac{1}{2}$.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.
નિરપેક્ષતા માટે: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. તેથી $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{1/4} = \frac{1}{3}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$P(A^C \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$. (વિકલ્પ $C$ ખોટો છે).
$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
આમ,ખોટું વિધાન $P(A^C \cap B) = \frac{1}{3}$ છે.
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરીને $P(A \cap B)$ શોધીએ:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.
નિરપેક્ષતા માટે: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. તેથી $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{1/4} = \frac{1}{3}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$P(A^C \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$. (વિકલ્પ $C$ ખોટો છે).
$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
આમ,ખોટું વિધાન $P(A^C \cap B) = \frac{1}{3}$ છે.
0 likesView Solution
408
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
ગણ $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2 \leq x \leq 11\}$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{1}{30}$
B
$\frac{1}{40}$
C
$\frac{1}{50}$
D
$\frac{1}{60}$
Solution
(B) ગણ $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે. ગણ $A$ માં કુલ $10$ ઘટકો છે.
$10$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(E) = {}^{10}C_3 = 120$ છે.
ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ હોય તે માટે,પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં $3$ અને $7$ હોવા જોઈએ. ત્રીજી સંખ્યા $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $\{3, 4, 7\}, \{3, 5, 7\}, \{3, 6, 7\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(F) = 3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ છે.
$10$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(E) = {}^{10}C_3 = 120$ છે.
ન્યૂનતમ $3$ અને મહત્તમ $7$ હોય તે માટે,પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાં $3$ અને $7$ હોવા જોઈએ. ત્રીજી સંખ્યા $\{4, 5, 6\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $\{3, 4, 7\}, \{3, 5, 7\}, \{3, 6, 7\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(F) = 3$ છે.
જરૂરી સંભાવના $P = \frac{n(F)}{n(E)} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ છે.
0 likesView Solution
409
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
જો $A$ અને $B$ બે ઘટનાઓ હોય જ્યાં $P(A \cup B) = 0.65$ અને $P(A \cap B) = 0.15$ હોય,તો $P(A^C) + P(B^C)$ ની કિંમત શોધો.
A
$0.8$
B
$1$
C
$1.2$
D
$1.4$
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$.
આપણે $P(A^C) + P(B^C)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A^C) = 1 - P(A)$ અને $P(B^C) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 0.8$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2 - 0.8 = 1.2$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$.
આપણે $P(A^C) + P(B^C)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A^C) = 1 - P(A)$ અને $P(B^C) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 0.8$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2 - 0.8 = 1.2$ મળે છે.
0 likesView Solution
410
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
ધારો કે $S$ એ $x^2+bx+c=0$ સ્વરૂપના તમામ દ્વિઘાત સમીકરણોનો ગણ છે,જ્યાં $b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. જો $S$ માંથી એક સમીકરણ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{9}{12}$
B
$\frac{9}{36}$
C
$\frac{19}{36}$
D
$\frac{7}{36}$
Solution
(C) ગણ $S$ માં $x^2+bx+c=0$ પ્રકારના સમીકરણો છે જ્યાં $b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
કુલ સમીકરણોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય જો વિવેચક $D = b^2-4ac \geq 0$ હોય.
અહીં $a=1$ હોવાથી,શરત $b^2 \geq 4c$ બને છે.
$b$ ની કિંમતો $1$ થી $6$ માટે તપાસતા:
જો $b=1$,$1 \geq 4c$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
જો $b=2$,$4 \geq 4c \implies c \leq 1$ ($c=1$,$1$ કિસ્સો)
જો $b=3$,$9 \geq 4c \implies c \leq 2.25$ ($c=1, 2$,$2$ કિસ્સા)
જો $b=4$,$16 \geq 4c \implies c \leq 4$ ($c=1, 2, 3, 4$,$4$ કિસ્સા)
જો $b=5$,$25 \geq 4c \implies c \leq 6.25$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ કિસ્સા)
જો $b=6$,$36 \geq 4c \implies c \leq 9$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ કિસ્સા)
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(E) = 0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{19}{36}$.
કુલ સમીકરણોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય જો વિવેચક $D = b^2-4ac \geq 0$ હોય.
અહીં $a=1$ હોવાથી,શરત $b^2 \geq 4c$ બને છે.
$b$ ની કિંમતો $1$ થી $6$ માટે તપાસતા:
જો $b=1$,$1 \geq 4c$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
જો $b=2$,$4 \geq 4c \implies c \leq 1$ ($c=1$,$1$ કિસ્સો)
જો $b=3$,$9 \geq 4c \implies c \leq 2.25$ ($c=1, 2$,$2$ કિસ્સા)
જો $b=4$,$16 \geq 4c \implies c \leq 4$ ($c=1, 2, 3, 4$,$4$ કિસ્સા)
જો $b=5$,$25 \geq 4c \implies c \leq 6.25$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ કિસ્સા)
જો $b=6$,$36 \geq 4c \implies c \leq 9$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ કિસ્સા)
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(E) = 0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{19}{36}$.
0 likesView Solution
411
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
એક બોક્સમાં બે બોલ્ટ,બે નટ અને ત્રણ સોય છે. બોક્સમાંથી યાદચ્છિક રીતે બે ભાગ પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શું છે કે એક બોલ્ટ અને એક સોય હોય?
A
$\frac{2}{21}$
B
$\frac{4}{21}$
C
$\frac{6}{21}$
D
$\frac{12}{21}$
Solution
(C) કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા = $2 \text{ (બોલ્ટ)} + 2 \text{ (નટ)} + 3 \text{ (સોય)} = 7 \text{ વસ્તુઓ}$.
$7$ માંથી $2$ ભાગ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે એક ભાગ બોલ્ટ અને એક ભાગ સોય છે.
$2$ માંથી $1$ બોલ્ટ અને $3$ માંથી $1$ સોય પસંદ કરવાની રીતો $n(E) = {}^{2}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 2 \times 3 = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{21}$.
$7$ માંથી $2$ ભાગ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે એક ભાગ બોલ્ટ અને એક ભાગ સોય છે.
$2$ માંથી $1$ બોલ્ટ અને $3$ માંથી $1$ સોય પસંદ કરવાની રીતો $n(E) = {}^{2}C_{1} \times {}^{3}C_{1} = 2 \times 3 = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{21}$.
0 likesView Solution
412
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
જો $A$ અને $B$ બે ઘટનાઓ હોય જ્યાં $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$,$P(A \cup B) = \frac{5}{6}$ અને $P(A^C) = \frac{1}{2}$ હોય,તો $P(B^C)$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{5}{6}$
Solution
(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
અહીં $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
અહીં $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
0 likesView Solution
413
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
જો $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય અને $P(A)=\frac{1}{4}$ તથા $P(B)=\frac{3}{7}$ હોય,તો $P(A / A \cup B)$ ની કિંમત શું થાય?
A
$\frac{7}{19}$
B
$\frac{12}{19}$
C
$\frac{6}{19}$
D
$\frac{13}{19}$
Solution
(A) કારણ કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $A \cap B = \phi$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = 0$.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{3}{7}$.
આપણે $P(A / A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $A \subset (A \cup B)$,તેથી $A \cap (A \cup B) = A$,એટલે કે $P(A \cap (A \cup B)) = P(A) = \frac{1}{4}$.
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{7} - 0 = \frac{7 + 12}{28} = \frac{19}{28}$.
તેથી,$P(A / A \cup B) = \frac{1/4}{19/28} = \frac{1}{4} \times \frac{28}{19} = \frac{7}{19}$.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{3}{7}$.
આપણે $P(A / A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $A \subset (A \cup B)$,તેથી $A \cap (A \cup B) = A$,એટલે કે $P(A \cap (A \cup B)) = P(A) = \frac{1}{4}$.
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{7} - 0 = \frac{7 + 12}{28} = \frac{19}{28}$.
તેથી,$P(A / A \cup B) = \frac{1/4}{19/28} = \frac{1}{4} \times \frac{28}{19} = \frac{7}{19}$.
0 likesView Solution
414
MathematicsDifficultMCQAP EAMCET · 2021
ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,જેથી $P(A)=\frac{3x+1}{3}$,$P(B)=\frac{1-x}{4}$ અને $P(C)=\frac{1-2x}{2}$ થાય. $x$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ કયા અંતરાલમાં છે?
A
$[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$
B
$[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$
C
$[\frac{1}{3}, \frac{13}{3}]$
D
$[0, 1]$
Solution
(A) $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cap B) = P(B \cap C) = P(C \cap A) = P(A \cap B \cap C) = 0$ થાય.
કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$0 \leq P(E) \leq 1$ થાય.
$1$. $P(A) = \frac{3x+1}{3}$ માટે: $0 \leq \frac{3x+1}{3} \leq 1 \implies -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
$2$. $P(B) = \frac{1-x}{4}$ માટે: $0 \leq \frac{1-x}{4} \leq 1 \implies -3 \leq x \leq 1$.
$3$. $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ માટે: $0 \leq \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ મળે.
વળી,પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ થાય.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies \frac{13-3x}{12} \leq 1 \implies x \geq \frac{1}{3}$.
આમ,$x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ મળે.
કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$0 \leq P(E) \leq 1$ થાય.
$1$. $P(A) = \frac{3x+1}{3}$ માટે: $0 \leq \frac{3x+1}{3} \leq 1 \implies -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
$2$. $P(B) = \frac{1-x}{4}$ માટે: $0 \leq \frac{1-x}{4} \leq 1 \implies -3 \leq x \leq 1$.
$3$. $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ માટે: $0 \leq \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ મળે.
વળી,પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) \leq 1$ થાય.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} + \frac{1-2x}{2} \leq 1 \implies \frac{13-3x}{12} \leq 1 \implies x \geq \frac{1}{3}$.
આમ,$x \in [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ મળે.
0 likesView Solution
415
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ $A$,$B$ અને $C$ દોડની સ્પર્ધામાં ભાગ લઈ રહ્યા છે. $A$ અને $B$ ની જીતવાની સંભાવના સમાન છે અને દરેકની જીતવાની સંભાવના $C$ કરતા બમણી છે. તો,$B$ અથવા $C$ જીતે તેની સંભાવના કેટલી થાય? (ધારો કે કોઈ ટાઈ નથી)
A
$\frac{2}{5}$
B
$\frac{3}{5}$
C
$\frac{3}{7}$
D
$\frac{2}{7}$
Solution
(B) ની જીતવાની સંભાવના $P(C) = p$ ધારો.
$A$ અને $B$ ની જીતવાની સંભાવના $C$ કરતા બમણી હોવાથી,$P(A) = 2p$ અને $P(B) = 2p$ થાય.
બધા શક્ય પરિણામોની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ હોવાથી,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2p + 2p + p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $5p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{5}$.
$B$ અથવા $C$ જીતે તેની સંભાવના $P(B \cup C) = P(B) + P(C)$ થાય (કારણ કે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે).
$P(B \cup C) = 2p + p = 3p = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
$A$ અને $B$ ની જીતવાની સંભાવના $C$ કરતા બમણી હોવાથી,$P(A) = 2p$ અને $P(B) = 2p$ થાય.
બધા શક્ય પરિણામોની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ હોવાથી,$P(A) + P(B) + P(C) = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2p + 2p + p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $5p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{5}$.
$B$ અથવા $C$ જીતે તેની સંભાવના $P(B \cup C) = P(B) + P(C)$ થાય (કારણ કે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે).
$P(B \cup C) = 2p + p = 3p = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
0 likesView Solution
416
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
$1$ થી $27$ સુધીની સંખ્યા ધરાવતા $27$ કાર્ડમાંથી એક કાર્ડ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. કાર્ડ પરની સંખ્યા બેકી હોય અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{15}{27}$
B
$\frac{16}{27}$
C
$\frac{17}{27}$
D
$\frac{18}{27}$
Solution
(B) કુલ કાર્ડની સંખ્યા $n(S) = 27$ છે.
ધારો કે $E$ એ બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $1$ થી $27$ વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26\}$ છે.
તેથી,$n(E) = 13$.
ધારો કે $F$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{5, 10, 15, 20, 25\}$ છે.
તેથી,$n(F) = 5$.
છેદગણ $E \cap F$ માં એવી સંખ્યાઓ છે જે બેકી પણ છે અને $5$ વડે વિભાજ્ય પણ છે,એટલે કે $10$ ના ગુણકો. આ સંખ્યાઓ $\{10, 20\}$ છે.
તેથી,$n(E \cap F) = 2$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F) = 13 + 5 - 2 = 16$.
માટે,સંભાવના $P(E \cup F) = \frac{n(E \cup F)}{n(S)} = \frac{16}{27}$ થાય.
ધારો કે $E$ એ બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $1$ થી $27$ વચ્ચેની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26\}$ છે.
તેથી,$n(E) = 13$.
ધારો કે $F$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{5, 10, 15, 20, 25\}$ છે.
તેથી,$n(F) = 5$.
છેદગણ $E \cap F$ માં એવી સંખ્યાઓ છે જે બેકી પણ છે અને $5$ વડે વિભાજ્ય પણ છે,એટલે કે $10$ ના ગુણકો. આ સંખ્યાઓ $\{10, 20\}$ છે.
તેથી,$n(E \cap F) = 2$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F) = 13 + 5 - 2 = 16$.
માટે,સંભાવના $P(E \cup F) = \frac{n(E \cup F)}{n(S)} = \frac{16}{27}$ થાય.
0 likesView Solution
417
MathematicsEasyMCQAP EAMCET · 2021
$A$ અને $B$ સત્ય બોલે તેની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{4}{5}$ અને $\frac{3}{4}$ છે. જ્યારે તેમને કોઈ હકીકત વિશે બોલવાનું કહેવામાં આવે ત્યારે તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
A
$\frac{1}{5}$
B
$\frac{3}{20}$
C
$\frac{4}{20}$
D
$\frac{7}{20}$
Solution
(D) ધારો કે $P(A)$ એ $A$ સત્ય બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ $B$ સત્ય બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે,$P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
$A$ સત્ય ન બોલે તેની સંભાવના $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ સત્ય ન બોલે તેની સંભાવના $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો અસત્ય બોલે.
તેથી,વિરોધાભાસની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.
આપેલ છે કે,$P(A) = \frac{4}{5}$ અને $P(B) = \frac{3}{4}$.
$A$ સત્ય ન બોલે તેની સંભાવના $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
$B$ સત્ય ન બોલે તેની સંભાવના $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જો એક સત્ય બોલે અને બીજો અસત્ય બોલે.
તેથી,વિરોધાભાસની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.
0 likesView Solution
418
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
ગણ $\{5, 6, \ldots, 35\}$ માંથી યાદચ્છિક રીતે બે પૂર્ણાંકો પસંદ કરવામાં આવે છે. તેમનો તફાવત એકી હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{15}{62}$
B
$\frac{8}{31}$
C
$\frac{15}{31}$
D
$\frac{16}{31}$
Solution
(D) ગણ $S = \{5, 6, \ldots, 35\}$ છે. ઘટકોની સંખ્યા $35 - 5 + 1 = 31$ છે.
$31$ માંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{31}C_2 = \frac{31 \times 30}{2} = 465$ છે.
બે પૂર્ણાંકોનો તફાવત એકી ત્યારે જ હોય જો એક પૂર્ણાંક બેકી અને બીજો એકી હોય.
ગણ $\{5, 6, \ldots, 35\}$ માં,એકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $16$ છે (જેમ કે $5, 7, \ldots, 35$) અને બેકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $15$ છે (જેમ કે $6, 8, \ldots, 34$).
એક એકી અને એક બેકી પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_1 \times ^{15}C_1 = 16 \times 15 = 240$ છે.
તફાવત એકી હોય તેની સંભાવના $P = \frac{240}{465}$ છે.
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{16}{31}$ મળે છે.
$31$ માંથી $2$ પૂર્ણાંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{31}C_2 = \frac{31 \times 30}{2} = 465$ છે.
બે પૂર્ણાંકોનો તફાવત એકી ત્યારે જ હોય જો એક પૂર્ણાંક બેકી અને બીજો એકી હોય.
ગણ $\{5, 6, \ldots, 35\}$ માં,એકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $16$ છે (જેમ કે $5, 7, \ldots, 35$) અને બેકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $15$ છે (જેમ કે $6, 8, \ldots, 34$).
એક એકી અને એક બેકી પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની રીતો $^{16}C_1 \times ^{15}C_1 = 16 \times 15 = 240$ છે.
તફાવત એકી હોય તેની સંભાવના $P = \frac{240}{465}$ છે.
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{16}{31}$ મળે છે.
0 likesView Solution
419
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
ધારો કે $A, B$ અને $C$ એ નિદર્શાવકાશ $S$ સાથે સંકળાયેલ ત્રણ ઘટનાઓ છે. $A, B$ અને $C$ પરસ્પર સ્વતંત્ર છે અને $P(A)=P(B)=P(C)=P$ છે. જો તે ત્રણેય એકસાથે ન બની શકે,તો $P(A \cup B \cup C)$ બરાબર શું થાય?
A
$1-(1-P)^3$
B
$3P(1-P)$
C
$P^3$
D
$3P$
Solution
(B) $A, B, C$ એ પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = P^2$
$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = P^2$
$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) = P^2$
આપેલ છે કે તે ત્રણેય એકસાથે બની શકતી નથી,તેથી $P(A \cap B \cap C) = 0$.
ઘટનાઓના સંયોગ માટેના સિદ્ધાંત મુજબ:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cup B \cup C) = P + P + P - [P^2 + P^2 + P^2] + 0$
$P(A \cup B \cup C) = 3P - 3P^2 = 3P(1-P)$.
$\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = P^2$
$P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) = P^2$
$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) = P^2$
આપેલ છે કે તે ત્રણેય એકસાથે બની શકતી નથી,તેથી $P(A \cap B \cap C) = 0$.
ઘટનાઓના સંયોગ માટેના સિદ્ધાંત મુજબ:
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A)] + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cup B \cup C) = P + P + P - [P^2 + P^2 + P^2] + 0$
$P(A \cup B \cup C) = 3P - 3P^2 = 3P(1-P)$.
0 likesView Solution
420
MathematicsMediumMCQAP EAMCET · 2021
એક યાદચ્છિક ચલ $X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
ઘટનાઓ $E = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\}$ અને $F = \{X < 4\}$ માટે,$P(E \cup F)$ શોધો.
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| $P(X)$ | $0.15$ | $0.23$ | $0.12$ | $0.10$ | $0.20$ | $0.08$ | $0.07$ | $0.05$ |
ઘટનાઓ $E = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\}$ અને $F = \{X < 4\}$ માટે,$P(E \cup F)$ શોધો.
A
$0.50$
B
$0.77$
C
$0.35$
D
$0.87$
Solution
(B) ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7$ છે.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
ઘટના $F = \{X < 4\}$ એટલે કે $X \in \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ માં એવી કિંમતો છે જે અવિભાજ્ય પણ છે અને $4$ થી નાની પણ છે,એટલે કે $\{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
ઘટના $F = \{X < 4\}$ એટલે કે $X \in \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
છેદ ઘટના $E \cap F$ માં એવી કિંમતો છે જે અવિભાજ્ય પણ છે અને $4$ થી નાની પણ છે,એટલે કે $\{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.
0 likesView Solution
421
MathematicsDifficultMCQAP EAMCET · 2021
જ્યારે કોઓર્ડિનેટ અક્ષોને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે ત્યારે $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ નું રૂપાંતરિત સમીકરણ શું હશે?
A
$x^2 + 2y^2 = 1$
B
$2x^2 + y^2 = 1$
C
$x^2 + y^2 = 1$
D
$x^2 + 3y^2 = 1$
Solution
(B) અક્ષોને $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવતા,આપણે $(x, y)$ ને $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ દ્વારા બદલીએ છીએ.
આ કિંમતોને $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 + y^2 = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 + y^2 = 1$ મળે છે.
0 likesView Solution
422
MathematicsDifficultMCQAP EAMCET · 2021
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x+1}\right)^{x+4}$ ની કિંમત શોધો.
A
$e^4$
B
$e^6$
C
$e^5$
D
$e$
Solution
(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$.
આધારને ફરીથી લખતા: $\frac{x+6}{x+1} = \frac{x+1+5}{x+1} = 1 + \frac{5}{x+1}$.
તેથી,લક્ષ આ મુજબ બને છે: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$.
ગુણધર્મ $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}}$.
$= e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 + 4/x}{1 + 1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$.
આધારને ફરીથી લખતા: $\frac{x+6}{x+1} = \frac{x+1+5}{x+1} = 1 + \frac{5}{x+1}$.
તેથી,લક્ષ આ મુજબ બને છે: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$.
ગુણધર્મ $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}}$.
$= e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 + 4/x}{1 + 1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real AP EAMCET style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live AP EAMCET mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in AP EAMCET 2021?
There are 797 Mathematics questions from the AP EAMCET 2021 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are AP EAMCET 2021 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice AP EAMCET 2021 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full AP EAMCET mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from AP EAMCET previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix AP EAMCET Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick AP EAMCET 2021 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.