WBJEE 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર ઉપર તરફ ધકેલવા માટે જરૂરી બળ $F_{1} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને નીચે સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_{2} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બળોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}{mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = \frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$.
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{\tan \theta + \mu}{\tan \theta - \mu}$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 2\mu$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{2\mu + \mu}{2\mu - \mu} = \frac{3\mu}{\mu} = 3$.

(D) સળિયાની ઘનતા $\rho = \rho_0 \frac{x^2}{L^2}$ મુજબ બદલાય છે.
$x=0$ છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ જાડાઈની એક નાની તકતી (elemental disc) ધ્યાનમાં લો.
આ તત્વનું દળ $dm = \rho \cdot dV = \rho \cdot (\alpha dx) = \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \right) \alpha dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{\int_0^L x \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}{\int_0^L \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^3 dx}{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^2 dx}$
$X_{cm} = \frac{[x^4/4]_0^L}{[x^3/3]_0^L} = \frac{L^4/4}{L^3/3} = \frac{3}{4} L$.

(A) દડો $h$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે અને સપાટી સાથે અથડાય છે. પ્રથમ અથડામણ પહેલાનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = e v_0$ થાય છે. દડો $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે.
ત્યારબાદ તે $h_1$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે અને ફરીથી સપાટી સાથે અથડાય છે. પ્રથમ ઉછાળામાં કાપેલું અંતર (ઉપર અને નીચે) $2h_1 = 2e^2 h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $h_2 = e^2 h_1 = e^4 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. બીજા ઉછાળામાં કાપેલું અંતર $2h_2 = 2e^4 h$ છે.
કુલ અંતર $D$ એ પ્રારંભિક પતન અને ત્યારબાદના તમામ ઉછાળાનો સરવાળો છે:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2e^2 h + 2e^4 h + 2e^6 h + ...$
$D = h + 2e^2 h (1 + e^2 + e^4 + ...)$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=e^2$:
$D = h + 2e^2 h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(C) ધારો કે $S_2$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_2 = v \hat{i}$ છે અને $S_1$ નો વેગ $\vec{u}_1 = 0$ છે. અથડામણ પછી,$S_2$ વેગ $\vec{v}_2 = \frac{v}{2} \hat{j}$ સાથે ગતિ કરે છે (ધારો કે તે ધન $y$-દિશામાં ગતિ કરે છે). ધારો કે $S_1$ નો વેગ $\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y} \hat{j}$ છે.
$x$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_2 v = m_1 v_{1x} + m_2(0) \implies v_{1x} = \frac{m_2}{m_1} v$
$y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$0 = m_1 v_{1y} + m_2 \left(\frac{v}{2}\right) \implies v_{1y} = -\frac{m_2 v}{2m_1}$
$S_1$ ના વેગનું મૂલ્ય $v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} = \sqrt{\left(\frac{m_2 v}{m_1}\right)^2 + \left(-\frac{m_2 v}{2m_1}\right)^2} = \frac{m_2 v}{m_1} \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{m_2 v}{m_1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથે $S_1$ ની દિશા $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_{1y}}{v_{1x}} = \frac{-m_2 v / 2m_1}{m_2 v / m_1} = -\frac{1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $S_2$ ઋણ $y$-દિશામાં ગતિ કરતું હોત,તો $\tan \theta = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ અથવા $\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ થાય.

(C, D) ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$\overline{V} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$V_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $V_{p} < \overline{V} < V_{\text{rms}}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે:
$K.E. = \frac{1}{2} m V_{\text{rms}}^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{3RT}{M} \right)$.
કારણ કે $V_{p}^{2} = \frac{2RT}{M}$,તેથી $\frac{RT}{M} = \frac{V_{p}^{2}}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$K.E. = \frac{1}{2} m \cdot 3 \cdot \left( \frac{V_{p}^{2}}{2} \right) = \frac{3}{4} m V_{p}^{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ પણ સાચો છે.

(A) આપેલ બળ $\vec{F} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a}_{acc} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{a}{m} \hat{i} + \frac{b}{m} \hat{j} + \frac{c}{m} \hat{k}$ થાય.
પદાર્થ ઉગમબિંદુ પર સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$ અને પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{r} = \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ મળે.
ઘટકોને મૂકતા:
$x = \frac{1}{2} (\frac{a}{m}) t^2 = \frac{at^2}{2m}$
$y = \frac{1}{2} (\frac{b}{m}) t^2 = \frac{bt^2}{2m}$
$z = \frac{1}{2} (\frac{c}{m}) t^2 = \frac{ct^2}{2m}$
આમ,યામ $(\frac{at^2}{2m}, \frac{bt^2}{2m}, \frac{ct^2}{2m})$ થશે.

(A) ધારો કે $V_1$ એ પાણીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટનું કદ છે અને $V_2$ એ મર્ક્યુરીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટનું કદ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,ગ્રેનાઈટ પર લાગતું કુલ ઉત્પ્લાવક બળ તેના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
પાણી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B1} = V_1 \rho_1 g$ છે.
મર્ક્યુરી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B2} = V_2 \rho_2 g$ છે.
ગ્રેનાઈટનું વજન $W = (V_1 + V_2) \rho g$ છે.
બળોને સરખાવતા: $V_1 \rho_1 g + V_2 \rho_2 g = (V_1 + V_2) \rho g$.
$g$ વડે ભાગતા: $V_1 \rho_1 + V_2 \rho_2 = V_1 \rho + V_2 \rho$.
$V_1$ અને $V_2$ ના પદોને ગોઠવતા: $V_1 \rho_1 - V_1 \rho = V_2 \rho - V_2 \rho_2$.
$V_1(\rho_1 - \rho) = V_2(\rho - \rho_2)$.
તેથી,પાણીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટના કદ $(V_1)$ અને મર્ક્યુરીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટના કદ $(V_2)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho} = \frac{\rho_2 - \rho}{\rho - \rho_1}$ થાય.

(C) ડાબી બાજુની ભુજામાં $\rho_3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીના તળિયે સમક્ષિતિજ સ્તરને ધ્યાનમાં લો. બંને ભુજાઓમાં આ સ્તરે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ડાબી બાજુની ભુજામાં,દબાણ $\rho_1$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h$) અને $\rho_3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h/2$) ને કારણે છે.
$P_{left} = P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2)$
જમણી બાજુની ભુજામાં,સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણ $\rho_2$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h$) ને કારણે છે.
$P_{right} = P_{atm} + \rho_2 gh$
દબાણને સરખાવતા: $P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2) = P_{atm} + \rho_2 gh$
$gh$ વડે ભાગતા: $\rho_1 + \frac{\rho_3}{2} = \rho_2$
$\rho_3$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\rho_3}{2} = \rho_2 - \rho_1 \implies \rho_3 = 2(\rho_2 - \rho_1)$

(B) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $a = 2 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $T = 10(10 + 2) = 120 \ N$.
રેખીય વિકૃતિને $\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{L} = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{T}{AY}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Strain} = \frac{120}{(2 \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})} = \frac{120}{4 \times 10^7} = 30 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-6}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = R$ ઊંચાઈ પર (જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે),ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $g = \pi^2 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $h$ ઊંચાઈ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ થશે.
આવર્તકાળના સૂત્રમાં $\ell = 4.0 \ m$ અને $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{\pi^2 / 4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{4}{\pi} = 8 \ s$.

(D) $SHM$ માટે આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = 2 \sin \left(\frac{\pi t}{2} + \phi\right) \text{ cm}$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 2 \text{ cm}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{2} \text{ rad/s}$ મળે છે.
$SHM$ માં મહત્તમ પ્રવેગનું સૂત્ર $a_{\max} = \omega^2 A$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_{\max} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \times 2$.
$a_{\max} = \frac{\pi^2}{4} \times 2 = \frac{\pi^2}{2} \text{ cm/s}^2$.

(B) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો તફાવત નાનો હોય.
ગાણિતિક રીતે,$R = -\frac{d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = R$,$x = \theta$,$m = k$ (ઢાળ),અને $c = -k\theta_0$ (y-અંતઃખંડ).
કારણ કે $k > 0$,તેથી ઢાળ ધન છે.
જ્યારે $\theta = \theta_0$ હોય,ત્યારે $R = 0$ થાય છે.
તેથી,આલેખ એ $(\theta_0, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ધારો કે $\gamma_L$ એ પ્રવાહીનો વાસ્તવિક કદ પ્રસરણાંક છે.
ધારો કે $\gamma_C$ અને $\gamma_S$ એ અનુક્રમે તાંબા અને ચાંદીના કદ પ્રસરણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 3 \times \text{રેખીય પ્રસરણાંક } \alpha$.
આપેલ છે કે $\gamma_C = 3A$.
આભાસી પ્રસરણાંકનું સૂત્ર $\gamma_{app} = \gamma_L - \gamma_{vessel}$ છે.
તાંબા માટે: $C = \gamma_L - 3A \implies \gamma_L = C + 3A$.
ચાંદી માટે: $S = \gamma_L - \gamma_S \implies \gamma_S = \gamma_L - S$.
ચાંદીના સમીકરણમાં $\gamma_L = C + 3A$ મૂકતા: $\gamma_S = C + 3A - S$.
કારણ કે $\gamma_S = 3 \alpha_S$,જ્યાં $\alpha_S$ એ ચાંદીનો રેખીય પ્રસરણાંક છે:
$3 \alpha_S = C + 3A - S \implies \alpha_S = \frac{C + 3A - S}{3}$.

(D) આપેલ $P-T$ આલેખમાં:
$AB$: દબાણ $P$ અચળ છે અને તાપમાન $T$ ઘટે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,જો $P$ અચળ હોય અને $T$ ઘટે,તો કદ $V$ ઘટવું જોઈએ. આમ,$AB$ એ સમદાબી સંકોચન (isobaric compression) છે.
$BC$: આ પ્રક્રિયા એક ઉભી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે. જેમ $P$ ઘટે છે,તેમ $PV$ ને અચળ રાખવા માટે $V$ વધવું જોઈએ. આમ,$BC$ એ સમતાપી વિસ્તરણ (isothermal expansion) છે.
$CA$: આ પ્રક્રિયા $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T$. $PV = nRT$ હોવાથી,$P/T = nR/V$,તેથી $V$ અચળ હોવું જોઈએ. આમ,$CA$ એ સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો $P-V$ આલેખ વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(B) સ્થિત તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \left( \frac{\pi x}{3} \right) \cos(40 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{3} \ cm^{-1}$ મેળવીએ છીએ.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$,જે આપણને $\lambda = 6 \ cm$ આપે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{6 \ cm}{2} = 3 \ cm$ થાય.

(A, B, D) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.02 \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2}) \cos(10 \pi x)$ છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં અવકાશી ભાગ $\cos(10 \pi x) = 0$ થાય.
$10 \pi x = (n + \frac{1}{2}) \pi \implies x = \frac{n + 0.5}{10} = 0.05, 0.15, 0.25, \dots \ m$. તેથી,$x = 0.15 \ m$ પર નિસ્પંદ બિંદુ મળે છે.
પ્રસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $|\cos(10 \pi x)| = 1$ થાય.
$10 \pi x = n \pi \implies x = \frac{n}{10} = 0, 0.1, 0.2, 0.3, \dots \ m$. તેથી,$x = 0.3 \ m$ પર પ્રસ્પંદ બિંદુ મળે છે.
સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(\omega t + \phi) \cos(kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 10 \pi$ અને $\omega = 50 \pi$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{10 \pi} = 5 \ m/s$.

(C) આપેલ વેગ-સમયના આલેખ પરથી,$t = 0 \ s$ સમયે પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ m/s$ છે. $t = 10 \ s$ સમયે વેગ $0 \ m/s$ થાય છે.
પ્રવેગ $a$ એ આલેખનો ઢાળ છે: $a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 50}{10 - 0} = -5 \ m/s^2$.
$t = 2 \ s$ સમયે વેગ $v = u + at = 50 + (-5)(2) = 40 \ m/s$ મળે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10 \ kg \times ((40 \ m/s)^2 - (50 \ m/s)^2)$
$W = 5 \times (1600 - 2500) = 5 \times (-900) = -4500 \ J$.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 \ V$ આપેલ છે।
પીક વોલ્ટેજ $V_0$ એ $V_{rms}$ સાથે $V_0 = V_{rms} \sqrt{2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે।
તેથી, $V_0 = 220 \sqrt{2} \ V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f = 50 \ \text{Hz}$ છે।
આમ, $\omega = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ \text{rad/s}$.
તત્કાલિન પોટેન્શિયલ તફાવત $V(t) = V_0 \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને $V(t) = 220 \sqrt{2} \cos(100 \pi t)$ મળે છે।

(A) લાયમન શ્રેણી માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$
$1$. લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\min})$ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$
આપેલ છે કે $\lambda_{\min} = P$,તેથી $P = \frac{1}{R}$.
$2$. મહત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\max})$ $n = 2$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$3$. $R = \frac{1}{P}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = \frac{1}{P} \cdot \frac{3}{4}$
$\lambda_{\max} = \frac{4 P}{3}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = -3.4 + 13.6 = 10.2 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $K_{max} = eV_s$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
$10.2 \ eV = 4.2 \ eV + eV_s$.
$eV_s = 10.2 \ eV - 4.2 \ eV = 6.0 \ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 6 \ V$ થાય.

(B) સ્થાયી સ્થિતિમાં, કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, પ્રવાહ $(I)$ ફક્ત $1 \text{ k}\Omega$ અવરોધ અને $2 \text{ k}\Omega$ અવરોધમાંથી શ્રેણીમાં વહે છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega = 3 \text{ k}\Omega = 3000 \Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \text{ V}}{3000 \Omega} = 2 \times 10^{-3} \text{ A} = 2 \text{ mA}$ છે.
$2 \text{ k}\Omega$ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R = (2 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (2000 \Omega) = 4 \text{ V}$ છે.
કેપેસિટર $2 \text{ k}\Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતર હોવાથી, બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $4 \text{ V}$ છે.
$1 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 \times V = (1 \mu F) \times (4 \text{ V}) = 4 \mu C$ છે.
$2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 \times V = (2 \mu F) \times (4 \text{ V}) = 8 \mu C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $X = \varepsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E \cdot A$,જ્યાં $E = \frac{V}{L}$ અને $A = L^2$ છે.
તેથી,$\phi_E = \frac{V}{L} \cdot L^2 = V \cdot L$ થાય.
આ કિંમત $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $X = \varepsilon_0 \frac{\Delta \phi_E}{\Delta t}$ મળે છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) $i_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,રાશિ $X$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ દર્શાવે છે.
તેથી,$X$ નું પારિમાણિક સૂત્ર વિદ્યુતપ્રવાહના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ધારો કે દળ $m$,ઝડપ $v$ અને ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
કેટલાક મુસાફરો ઉતરી ગયા પછી,ધારો કે નવું દળ $m'$,નવી ઝડપ $v' = 2v$ અને નવી ગતિઊર્જા $E' = 2E$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E' = \frac{1}{2}m'(v')^2$.
કિંમતો મૂકતા: $2E = \frac{1}{2}m'(2v)^2 = \frac{1}{2}m'(4v^2) = 2m'v^2$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $2(\frac{1}{2}mv^2) = 2m'v^2$,જેનો અર્થ છે કે $m' = \frac{m}{2}$.
હવે,નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ છે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}} = \frac{h}{\sqrt{2(\frac{m}{2})(2E)}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \lambda$.
તેથી,નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ જ રહે છે.

(A) લેમ્પનો પાવર $P$ એ દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા છે,જે દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $N$ અને એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: $N = 10^{20} \ s^{-1}$,$\lambda = 660 \ nm = 660 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$P = N \times \frac{hc}{\lambda}$
$P = 10^{20} \times \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}}$
$P = 10^{20} \times \frac{19.8 \times 10^{-26}}{660 \times 10^{-9}}$
$P = 10^{20} \times 0.03 \times 10^{-17}$
$P = 30 \ W$.

(B) કણ પર લાગતું બળ $F = qE = qE_0 \sin(\omega t)$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = qE_0 \sin(\omega t)$,તેથી $a = \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t)$.
વેગ $v(t)$ એ પ્રવેગનું સંકલન છે: $v(t) = \int a \, dt = \int \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t) \, dt = -\frac{qE_0}{m\omega} \cos(\omega t) + C$.
કણ $t = 0$ સમયે સ્થિર હોવાથી,$v(0) = 0$,જે આપણને $C = \frac{qE_0}{m\omega}$ આપે છે.
આમ,$v(t) = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - \cos(\omega t))$.
મહત્તમ ઝડપ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos(\omega t) = -1$ હોય,તેથી $v_{\max} = \frac{2qE_0}{m\omega}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = 1 \text{ C}$,$E_0 = 2 \text{ N/C}$,$m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$,અને $\omega = 1000 \text{ rad/s}$.
$v_{\max} = \frac{2 \times 1 \times 2}{10^{-3} \times 1000} = \frac{4}{1} = 4 \text{ m/s}$.

(A) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $Q$ ને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે।
કાર્ય $W = Q(V_{\text{અંતિમ}} - V_{\text{પ્રારંભિક}})$.
અહીં, પ્રારંભિક બિંદુ $C$ છે અને અંતિમ બિંદુ $D$ છે।
અંતર $AC = L$, $CB = L$, $BD = L$.
$C$ આગળ સ્થિતિમાન $(V_C)$: $V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AC} + \frac{-q}{CB}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{L} - \frac{q}{L}] = 0$.
$D$ આગળ સ્થિતિમાન $(V_D)$: $V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{3L} - \frac{q}{L}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q - 3q}{3L}] = \frac{-2q}{12 \pi \epsilon_0 L} = \frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L}$.
સ્થિત વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી, $C$ થી $D$ સુધીના કોઈપણ પથ પર કરવું પડતું કાર્ય સમાન હોય છે:
$W_1 = W_2 = Q(V_D - V_C) = Q(\frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L} - 0) = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$.
આમ, $W_1 = W_2 = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
તેથી,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
આ ગુણોત્તરને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે અને તે માત્ર કણના વિદ્યુતભાર '$q$' અને દળ '$m$' પર આધાર રાખે છે.

(A, C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ દળ ક્રમાંક છે.
અહીં $A_A = 64$ અને $A_B = 125$ હોવાથી,$r_A = R_0 (64)^{1/3} = 4R_0$ અને $r_B = R_0 (125)^{1/3} = 5R_0$ મળે.
આમ,$r_A < r_B$ થાય છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_{bn})$ માટે,હલકા ન્યુક્લિયસ માટે $E_{bn}$ દળ ક્રમાંક સાથે વધે છે અને $A = 56$ (આયર્ન) ની નજીક મહત્તમ બને છે. $A > 60$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,$E_{bn}$ ધીમે ધીમે ઘટે છે.
$A_A = 64$ એ $A_B = 125$ કરતા $56$ ની વધુ નજીક હોવાથી,ન્યુક્લિયસ $A$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ન્યુક્લિયસ $B$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $E_{bnA} > E_{bnB}$.
તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક્ટિવિટી $A$ ને ન્યુક્લિયસના ક્ષયના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $A = -\frac{dN}{dt}$ છે.
$N$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$.
તેથી,એક્ટિવિટીનું મૂલ્ય $A = |-\frac{dN}{dt}| = \lambda N$ થાય છે.
આ સમીકરણ $A = \lambda N$ એ $N$ અને $A$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
જેમ કે $A$ એ $N$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(A \propto N)$,તેથી $N$ વિરુદ્ધ $A$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_Z X^A$ છે.
$1$. $\alpha$-ક્ષય દળ ક્રમાંકમાં $4$ નો ઘટાડો અને પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો ઘટાડો કરે છે.
$2$. $\beta$-ક્ષય પરમાણુ ક્રમાંકમાં $1$ નો વધારો કરે છે અને દળ ક્રમાંક અપરિવર્તિત રહે છે.
$3$. $\gamma$-ક્ષય દળ ક્રમાંક કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર કરતું નથી.
આપેલ ક્ષય શ્રેણી:
$X(Z, A) \xrightarrow{\alpha} X_1(Z-2, A-4) \xrightarrow{\beta} X_2(Z-1, A-4) \xrightarrow{\alpha} X_3(Z-3, A-8) \xrightarrow{\gamma} X_4(Z-3, A-8)$
$X_4$ માટે પરમાણુ ક્રમાંક $69$ અને દળ ક્રમાંક $172$ આપેલ છે:
$Z - 3 = 69 \implies Z = 72$
$A - 8 = 172 \implies A = 180$
આમ,$X$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $72$ અને દળ ક્રમાંક $180$ છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = i + e - A$ છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે,$e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\delta = 30^{\circ}$ વિચલન માટે,આપાતકોણના બે શક્ય મૂલ્યો છે: $i_1 = 15^{\circ}$ અને $i_2 = 60^{\circ}$.
પ્રકાશના પ્રતિવર્તીપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $i = 15^{\circ}$ હોય,તો $e = 60^{\circ}$ થાય,અને જો $i = 60^{\circ}$ હોય,તો $e = 15^{\circ}$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $A = i + e - \delta$.
$A = 15^{\circ} + 60^{\circ} - 30^{\circ}$.
$A = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$.
તેથી,પ્રિઝમનો કોણ $45^{\circ}$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં,ડાયોડ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં છે.
જ્યારે $V < 0$ (રિવર્સ બાયસ) હોય,ત્યારે ડાયોડ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ડાયોડ ધારીએ તો),તેથી પ્રવાહ ફક્ત અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = V/R$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ત્રીજા ચરણમાં ઋણ ઢાળ ધરાવે છે.
જ્યારે $V > 0$ (ફોરવર્ડ બાયસ) હોય,ત્યારે ની વોલ્ટેજ પછી ડાયોડ વહન કરે છે. ની વોલ્ટેજ પહેલાં,પ્રવાહ અવરોધકમાંથી વહે છે. ની વોલ્ટેજ પછી,ડાયોડ ખૂબ ઓછો અવરોધ આપે છે,તેથી કુલ પ્રવાહ ઝડપથી વધે છે.
આ બંનેને જોડતા,આલેખ $V < 0$ માટે રેખીય સંબંધ અને $V > 0$ માટે અરેખીય,ઝડપથી વધતો પ્રવાહ દર્શાવે છે. વિકલ્પ $A$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) આપેલ છે:
ઝેનર વોલ્ટેજ $V_z = 5.6 \, V$
મહત્તમ પાવર ડિસીપેશન $P_{z \max} = \frac{1}{4} \, W = 0.25 \, W$
ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in} = 10 \, V$
ઝેનર ડાયોડ સહન કરી શકે તેવો મહત્તમ પ્રવાહ $I_z$ નીચે મુજબ છે:
$P_{z \max} = V_z \times I_z$
$0.25 = 5.6 \times I_z$
$I_z = \frac{0.25}{5.6} \, A$
સર્કિટમાં, શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_s = I_z$ છે. અવરોધ $R_s$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ:
$V_{R_s} = V_{in} - V_z = 10 \, V - 5.6 \, V = 4.4 \, V$
અવરોધ $R_s$ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$R_s = \frac{V_{R_s}}{I_s} = \frac{4.4}{I_z} = \frac{4.4}{(0.25 / 5.6)}$
$R_s = \frac{4.4 \times 5.6}{0.25} = 4.4 \times 5.6 \times 4 = 98.56 \, \Omega$
આમ, અવરોધ $R_s$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $98.56 \, \Omega$ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
$1$. બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$3$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$5$. પદ $A \cdot B$ એ $AND$ ગેટની કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ એ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ કરતા ઓછી હોવાથી,વિવર્તન શલાકાઓની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.
તેથી,શલાકાઓ સાંકડી અને એકબીજાની નજીક આવશે.