એક વિધેય f: R rightarrow R એ બધા x, y in R મા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ છે.$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$

Vedclass · Accepted Answer

સુરેખ (linear)

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x+y}{3}ight) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ છે.$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ મળે છે,જે હંમેશા સત્ય છે.ધારો કે $f(0) = c$. તો $f\left(\frac{x+y}{3}ight) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$.$y=0$ મૂકતા,આપણને $f\left(\frac{x}{3}ight) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ મળે છે.આનો અર્થ એ છે કે $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}ight) - 2c$.કારણ કે $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,ધારો કે $f'(0) = a$.વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને,$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.વિધેય સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f(x)$ એ $f(x) = ax+c$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય હોવું જોઈએ.$f(x) = ax+c$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $a\left(\frac{x+y}{3}ight)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}ight)+c$.આ બધા $x, y$ માટે સાચું છે. તેથી,$f(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે.

એક વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ બધા $x, y \in R$ માટે $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ નું પાલન કરે છે. જો વિધેય $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $f$ એ:

Similar Questions

ધારો કે $f: N \rightarrow N$ એક વિધેય છે જે દરેક $x, y \in N$ માટે $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy$ નું પાલન કરે છે. જો $f(1)=2$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{10} f(k)=$

જો $f(x+2y, x-2y) = xy$ હોય,તો $f(x, y)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય હોય જે $f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$ નું સમાધાન કરે છે અને $f(4) = 65$ હોય,તો $f(6)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module