WBJEE 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) प्रथम वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ के लिए,केंद्र $c_{1} = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
द्वितीय वृत्त ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ के लिए,केंद्र $c_{2} = (-3, -9)$ और त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 - 26} = \sqrt{9 + 81 - 26} = \sqrt{64} = 8$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $c_{1}c_{2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
चूंकि $c_{1}c_{2} = r_{1} + r_{2} = 5 + 8 = 13$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(D) माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिए गए समीकरण $x^2-(a-2)x-(a-1)=0$ से,$\alpha+\beta = a-2$ और $\alpha\beta = 1-a$ प्राप्त होता है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ है।
मान रखने पर,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(1-a)$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$\alpha^2+\beta^2 = a^2-4a+4-2+2a = a^2-2a+2$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$\alpha^2+\beta^2 = (a-1)^2+1$ प्राप्त होता है।
योग को न्यूनतम होने के लिए,$(a-1)^2 = 0$ होना चाहिए,जो $a=1$ पर होता है।

(C) माना समीकरण $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से,$\alpha+\beta = a-2$ और $\alpha\beta = -(a+1)$ प्राप्त होता है।
मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$।
इसका विस्तार करने पर,$S = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $S = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$।
चूंकि $(a-1)^2 \ge 0$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $(a-1)^2 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $a = 1$।

(A) दिया गया है कि $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है।
माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
चूंकि $\phi(x)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,इसलिए $\phi(\omega) = 0$ होगा।
$\phi(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$।
इसी प्रकार,$\phi(\omega^2) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\omega - \omega^2) g(1) = 0$।
चूंकि $\omega \neq \omega^2$,इसलिए $g(1) = 0$ होगा।
$f(1) + \omega g(1) = 0$ में $g(1) = 0$ रखने पर,$f(1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(1) = 0$ और $g(1) = 0$ होने के कारण,$f(x)$ और $g(x)$ दोनों $(x-1)$ से विभाज्य हैं।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2b = a+c$।
समीकरणों $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ और $2(c+a)x^2 + (b+c)x = 0$ के लिए,यदि $x=1$ एक उभयनिष्ठ मूल है,तो यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $a^2, c^2, b^2$ $A$.$P$. में हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{2 z_1}{3 z_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है,इसलिए किसी वास्तविक संख्या $k \neq 0$ के लिए $\frac{z_1}{z_2} = i k$ है।
हमें $\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर को $z_2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\frac{\frac{z_1}{z_2}-1}{\frac{z_1}{z_2}+1}\right| = \left|\frac{i k-1}{i k+1}\right|$.
चूँकि भागफल का मापांक मापांकों का भागफल होता है,इसलिए:
$\frac{|i k-1|}{|i k+1|} = \frac{\sqrt{(-1)^2 + k^2}}{\sqrt{1^2 + k^2}} = \frac{\sqrt{1+k^2}}{\sqrt{1+k^2}} = 1$.

(C) हम जानते हैं कि $|a+b\omega+c\omega^2|^2 = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$.
इसे $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c$ भिन्न शून्येतर पूर्णांक हैं,न्यूनतम मान के लिए हम $\{1, 2, 3\}$ का चयन करते हैं।
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{2}(1+1+4) = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $|Z_1|=|Z_2|=|Z_3|=1$,अतः बिंदु $Z_1, Z_2, Z_3$ आर्गंड समतल में इकाई वृत्त पर स्थित हैं।
चूँकि $Z_1+Z_2+Z_3=0$ है,$Z_1, Z_2, Z_3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
इकाई वृत्त पर स्थित बिंदुओं के लिए,मूल बिंदु से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $R=1$ (परित्रिज्या) है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s = R\sqrt{3}$ होती है।
यहाँ,$s = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ है।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(C) हम जानते हैं कि ${}^nP_r + r \cdot {}^nP_{r-1} = {}^{n+1}P_r$।
मानों की गणना करने पर:
${}^9P_5 + 5 \cdot {}^9P_4 = \frac{9!}{4!} + 5 \cdot \frac{9!}{5!} = \frac{9!}{4!} + \frac{9!}{4!} = 2 \cdot \frac{9!}{4!}$
$= \frac{10!}{5!} = {}^{10}P_5$।
अतः,$r = 5$।

(C) हम सर्वसमिका ${ }^{n} C_{r} + { }^{n} C_{r-1} = { }^{n+1} C_{r}$ का उपयोग करते हैं।
योग को विस्तारित करने पर,व्यंजक है:
${ }^{47} C_4 + { }^{51} C_3 + { }^{50} C_3 + { }^{49} C_3 + { }^{48} C_3 + { }^{47} C_3$
सर्वसमिका ${ }^{47} C_4 + { }^{47} C_3 = { }^{48} C_4$ का उपयोग करने पर,व्यंजक बनता है:
${ }^{48} C_4 + { }^{48} C_3 + { }^{49} C_3 + { }^{50} C_3 + { }^{51} C_3$
सर्वसमिका को बार-बार लागू करने पर:
${ }^{48} C_4 + { }^{48} C_3 = { }^{49} C_4$
${ }^{49} C_4 + { }^{49} C_3 = { }^{50} C_4$
${ }^{50} C_4 + { }^{50} C_3 = { }^{51} C_4$
${ }^{51} C_4 + { }^{51} C_3 = { }^{52} C_4$
अतः,अंतिम मान ${ }^{52} C_4$ है।

(B) माना समांतर श्रेणी $a, a+d, a+2d, \dots, a+(n-1)d$ है।
दिया है कि प्रथम पद $a = 11$ है।
पहले चार पदों का योग $4a + 6d = 56$ है।
$a = 11$ रखने पर: $4(11) + 6d = 56$ $\Rightarrow 44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
अंतिम चार पदों का योग $t_{n-3} + t_{n-2} + t_{n-1} + t_n = 112$ है।
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग समान होता है: $t_1 + t_n = t_2 + t_{n-1} = t_3 + t_{n-2} = t_4 + t_{n-3} = k$.
अतः,$4k = 56 + 112 = 168 \Rightarrow k = 42$.
इस प्रकार,$t_1 + t_n = 42$.
$t_1 = 11$ रखने पर: $11 + t_n = 42 \Rightarrow t_n = 31$.
सूत्र $t_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर: $31 = 11 + (n-1)2$.
$20 = (n-1)2$ $\Rightarrow n-1 = 10$ $\Rightarrow n = 11$.

(B) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ है।
प्रथम पद $a = t_1 = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 8$ है।
दो पदों का योग $S_2 = 3(2)^2 + 5(2) = 12 + 10 = 22$ है।
दूसरा पद $t_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14$ है।
सार्व अंतर $d = t_2 - t_1 = 14 - 8 = 6$ है।
$m$वाँ पद $t_m = a + (m - 1)d = 164$ है।
मान रखने पर: $8 + (m - 1)6 = 164$।
$6(m - 1) = 156$।
$m - 1 = 26$।
$m = 27$।

(A) $\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{3n}C_r (x)^{3n-r} \left(\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right)^r = {}^{3n}C_r (x)^{3n-3r} (\sin(1/n))^r$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $3n - 3r = 0$,जिसका अर्थ है $r = n$।
अतः,$a_n = {}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n$।
हमें $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि ${}^{3n}P_n = \frac{(3n)!}{(2n)!}$,इसलिए $\frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n} = \frac{{}^{3n}C_n (\sin(1/n))^n \cdot n! \cdot (2n)!}{(3n)!} = (\sin(1/n))^n$।
जब $n \to \infty$,तब $\sin(1/n) \approx 1/n$।
अतः,$\lim_{n \to \infty} (\sin(1/n))^n = \lim_{n \to \infty} (1/n)^n = 0$।

(B) दिया गया विस्तार: $(1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{12}x^{12}$
माना $f(x) = (1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{12}x^{12}$ है।
$x=1$ रखने पर:
$f(1) = (1+1-2)^6 = 0^6 = 0$।
अतः,$0 = 1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}$ $(i)$
$x=-1$ रखने पर:
$f(-1) = (1-1-2(-1)^2)^6 = (-2)^6 = 64$।
अतः,$64 = 1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12}$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$0+64 = (1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}) + (1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12})$
$64 = 2 + 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$62 = 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12} = 31$।

(D) हम जानते हैं कि $(1 + \sec \theta) = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta}$ होता है।
साथ ही,$\tan \frac{\theta}{2} (1 + \sec \theta) = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ होता है।
इसे बार-बार लागू करने पर,$f_n(x) = \tan \frac{x}{2} (1 + \sec x) (1 + \sec 2x) \dots (1 + \sec 2^n x) = \tan 2^n x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{16}$ के लिए:
$f_2\left(\frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(2^2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है $\cos (\theta+\phi) = \frac{3}{5}$,जहाँ $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan (\theta+\phi) = \frac{4}{3}$.
दिया गया है $\sin (\theta-\phi) = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan (\theta-\phi) = \frac{5}{12}$.
हम जानते हैं कि $2\theta = (\theta+\phi) + (\theta-\phi)$.
अतः,$\tan (2\theta) = \tan ((\theta+\phi) + (\theta-\phi)) = \frac{\tan (\theta+\phi) + \tan (\theta-\phi)}{1 - \tan (\theta+\phi) \tan (\theta-\phi)}$.
मान रखने पर: $\tan (2\theta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{16+5}{12}}{1 - \frac{20}{36}} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{16}{36}} = \frac{21}{12} \times \frac{36}{16} = \frac{21 \times 3}{16} = \frac{63}{16}$.
अतः,$\cot (2\theta) = \frac{1}{\tan (2\theta)} = \frac{16}{63}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2+4+3 \cos (ax+b)=2x$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x^2-2x+1) + 3 + 3 \cos (ax+b) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(x-1)^2 + 3(1 + \cos (ax+b)) = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $(x-1)^2 \geq 0$ और $1 + \cos (ax+b) \geq 0$ है,इसलिए दोनों पदों को शून्य होना चाहिए।
अतः,$x = 1$ और $\cos (ax+b) = -1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $ax+b = (2n+1)\pi$।
$x=1$ रखने पर,$a+b = (2n+1)\pi$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \leq a, b \leq 3$,इसलिए $0 \leq a+b \leq 6$ है।
अतः,$a+b = \pi$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan (\pi \tan x) = \cot (\pi \cot x)$
सर्वसमिका $\cot \theta = \tan (\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\tan (\pi \tan x) = \tan (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$
इसका अर्थ है $\pi \tan x = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
मुख्य स्थिति $n=0$ लेने पर:
$\pi \tan x = \frac{\pi}{2} - \pi \cot x$
$\tan x + \cot x = \frac{1}{2}$
$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{\sin 2x} = \frac{1}{2}$
$\sin 2x = 4$
चूँकि $\sin 2x$ का मान $[-1, 1]$ के बीच होता है,इसलिए $\sin 2x = 4$ संभव नहीं है।
अतः,हल समुच्चय $\phi$ है।

(A) माना $t = \sin^2 x$ है। चूँकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $t \in [0, 1]$ है।
समीकरण $t^2 - (p+2)t - (p+3) = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$t^2 - (p+2)t - (p+3) = (t - (p+3))(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $t = p+3$ या $t = -1$ हैं।
चूँकि $t = \sin^2 x$ को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए,हम $t = -1$ को छोड़ देते हैं।
इसलिए,$0 \leq p+3 \leq 1$ होना चाहिए।
सभी भागों से $3$ घटाने पर,हमें $-3 \leq p \leq -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p \in [-3, -2]$ है।

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के निकाय का समीकरण $(ax + 2by + 3b) + \lambda(bx - 2ay - 3a) = 0$ है।
चूँकि रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसकी ढाल $0$ होनी चाहिए।
समीकरण को $(a + \lambda b)x + (2b - 2a\lambda)y + (3b - 3a\lambda) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,अतः $a + \lambda b = 0$,जिससे $\lambda = -\frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -\frac{a}{b}$ को समीकरण में रखने पर:
$(ax + 2by + 3b) - \frac{a}{b}(bx - 2ay - 3a) = 0$
$ax + 2by + 3b - ax + \frac{2a^2}{b}y + \frac{3a^2}{b} = 0$
$(2b + \frac{2a^2}{b})y = -(\frac{3a^2}{b} + 3b)$
$2(a^2 + b^2)y = -3(a^2 + b^2)$
चूँकि $(a, b) \neq (0, 0)$,इसलिए $a^2 + b^2 \neq 0$,अतः $y = -\frac{3}{2}$।
यह $x$-अक्ष के नीचे $\frac{3}{2}$ दूरी पर स्थित $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा को दर्शाता है।

(B) दो व्यास $x-y=0$ और $x+y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x-y) + (x+y) = 0 + 1$ $\Rightarrow 2x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ को $x-y=0$ में रखने पर,हमें $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए त्रिज्या $R$ केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और मूल बिंदु $(0, 0)$ के बीच की दूरी है।
$R = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) रेखा का समीकरण $y = \sqrt{3}x - 3$ है। ढाल $m = \sqrt{3}$ है,इसलिए $\theta = 60^\circ$।
बिंदु $X(\sqrt{3}, 0)$ से $r$ दूरी पर रेखा पर कोई भी बिंदु $x = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$ और $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ है।
इन मानों को परवलय $y^2 = x + 2$ में रखने पर:
$(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 = (\sqrt{3} + \frac{r}{2}) + 2$
$3r^2 - 2r - 4(\sqrt{3} + 2) = 0$।
समीकरण के मूल $r_1$ और $r_2$,$XP$ और $XQ$ को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $r_1 r_2 = \frac{-4(\sqrt{3} + 2)}{3}$।
अतः,$XP \cdot XQ = |r_1 r_2| = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{3}$।

(C) परवलयों के समीकरण $y^2=4ax$ और $x^2=4by$ हैं।
$y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ है।
$x^2=4by$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx+2b+\frac{b}{m^2}$ है।
उभयनिष्ठ अभिलंब के लिए,समीकरण समान होने चाहिए,इसलिए $-2am-am^3 = 2b+\frac{b}{m^2}$।
$m^2$ से गुणा करने पर,हमें $-2am^3-am^5 = 2bm^2+b$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$am^5+2am^3+2bm^2+b=0$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह $m$ में $5$ घात का बहुपद समीकरण है,इसलिए $m$ के अधिकतम $5$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ अभिलंबों की अधिकतम संख्या $5$ है।

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ([- \pi^2] x^2) - x^2 \tan ([- \pi^2])}{\sin ^2 x}$.
चूंकि $\pi^2 \approx 9.87$,इसलिए महत्तम पूर्णांक मान $[-\pi^2] = [-9.87] = -10$ है।
यह मान रखने पर,व्यंजक बनता है: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (-10 x^2) - x^2 \tan (-10)}{\sin ^2 x}$.
$\tan (- \theta) = - \tan \theta$ का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\tan (10 x^2) + x^2 \tan 10}{\sin ^2 x}$.
सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (kx^2)}{x^2} = k$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{x^2} = 1$ का उपयोग करते हुए,अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{\tan (10 x^2)}{x^2} + \tan 10}{\frac{\sin ^2 x}{x^2}}$.
$= \frac{-10 + \tan 10}{1} = \tan 10 - 10$.

(B) एक गैर-लीप वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन के बराबर है।
इस अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ \text{रविवार}, \text{सोमवार}, \text{मंगलवार}, \text{बुधवार}, \text{गुरुवार}, \text{शुक्रवार}, \text{शनिवार} \}$ है।
इस अतिरिक्त दिन के लिए $7$ संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए $A$ $53$ रविवार होने की घटना है और $B$ $53$ शनिवार होने की घटना है।
यदि अतिरिक्त दिन रविवार है तो वर्ष में $53$ रविवार होंगे,इसलिए $P(A) = \frac{1}{7}$।
यदि अतिरिक्त दिन शनिवार है तो वर्ष में $53$ शनिवार होंगे,इसलिए $P(B) = \frac{1}{7}$।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $53$ रविवार या $53$ शनिवार होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(C) कुल चयन के तरीके $^{10}C_3 = 120$ हैं।
घटना $A$: न्यूनतम संख्या $3$ है। इसके लिए $3$ और $\{4, 5, \ldots, 10\}$ में से दो संख्याएँ चुननी होंगी,जो $^7C_2 = 21$ तरीके हैं।
घटना $B$: अधिकतम संख्या $7$ है। इसके लिए $7$ और $\{1, 2, \ldots, 6\}$ में से दो संख्याएँ चुननी होंगी,जो $^6C_2 = 15$ तरीके हैं।
घटना $A \cap B$: न्यूनतम $3$ और अधिकतम $7$ है। इसके लिए $3, 7$ और $\{4, 5, 6\}$ में से एक संख्या चुननी होगी,जो $^3C_1 = 3$ तरीके हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $21 + 15 - 3 = 33$ है।
प्रायिकता $\frac{33}{120} = \frac{11}{40}$ है।

(B) हमारे पास व्यंजक $2^{4n} - 15n - 1$ है।
चूंकि $2^4 = 16$,हम $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 15)^n = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(15) + {}^{n}C_{2}(15)^2 + \dots + {}^{n}C_{n}(15)^n$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$2^{4n} - 15n - 1 = (1 + 15n + {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n) - 15n - 1$।
पदों को सरल करने पर,$1$ और $15n$ कट जाएंगे:
$2^{4n} - 15n - 1 = {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + {}^{n}C_{3} \cdot 15^3 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n$।
$15^2 = 225$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$2^{4n} - 15n - 1 = 225 \cdot ({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3} \cdot 15 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^{n-2})$।
अतः,यह व्यंजक $n \ge 2$ के लिए $225$ से विभाज्य है। $n=1$ के लिए,व्यंजक $2^4 - 15(1) - 1 = 0$ है,जो $225$ से विभाज्य है।

(C) चूंकि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] \neq 0$ है।
सदिश $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ और $(2\lambda - 1)c$ असमतलीय होंगे यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य न हो:
$[(a + 2b + 3c), (\lambda b + 4c), (2\lambda - 1)c] \neq 0$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए:
$(a + 2b + 3c) \cdot [(\lambda b + 4c) \times (2\lambda - 1)c] \neq 0$
$(a + 2b + 3c) \cdot [\lambda(2\lambda - 1)(b \times c)] \neq 0$
चूंकि $a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$,$b \cdot (b \times c) = 0$,और $c \cdot (b \times c) = 0$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\lambda(2\lambda - 1)[a, b, c] \neq 0$.
दिया गया है कि $[a, b, c] \neq 0$,इसलिए असमतलीयता के लिए शर्त $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \neq 0$ और $\lambda \neq \frac{1}{2}$।
अतः,सदिश $\lambda = 0$ और $\lambda = \frac{1}{2}$ को छोड़कर $\lambda$ के सभी मानों के लिए असमतलीय हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450 = \frac{p(t) - 900}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $\ln |850 - 900| = \frac{1}{2}(0) + C \implies C = \ln 50$.
अतः,समीकरण है: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
जब $p(t) = 0$ हो,तब $t$ ज्ञात करने के लिए: $\ln |0 - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
$\ln 900 - \ln 50 = \frac{1}{2} t$.
$\ln \left( \frac{900}{50} \right) = \frac{1}{2} t$.
$\ln 18 = \frac{1}{2} t$.
$t = 2 \ln 18$.

(C) दिया गया है $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.
अवकलन करने पर $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=-1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए $f^{\prime}(-1)=0$ और $f^{\prime}(2)=0$ होगा।
$x=-1$ के लिए: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$।
$\beta=-\frac{1}{2}$ का मान $(i)$ में रखने पर: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$।
अतः,$\alpha=2$ और $\beta=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) यह जाँचने के लिए कि बिंदु $P(\cos \alpha, \sin \beta)$,$Q(\sin \alpha, \cos \beta)$ और $R(0,0)$ संरेख हैं या नहीं,हम सारणिक विधि का उपयोग करके उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} \cos \alpha & \sin \beta & 1 \\ \sin \alpha & \cos \beta & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right|$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} [1 \cdot (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)]$
$\Delta = \frac{1}{2} \cos(\alpha + \beta)$
दिया गया है कि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$.
चूँकि $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cos(\alpha + \beta) \neq 0$,इसलिए क्षेत्रफल $\Delta \neq 0$.
अतः,बिंदु $P, Q, R$ असंरेख हैं।

(D) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
$(a, a)$ रूप के $n$ अवयव संबंध में अनिवार्य रूप से होने चाहिए।
कार्तीय गुणन $A \times A$ में कुल $n^2$ क्रमित युग्म होते हैं।
चूंकि $n$ विकर्ण अवयव $(a, a)$ निश्चित हैं,हमारे पास चुनने के लिए $n^2 - n$ युग्म शेष बचते हैं।
इनमें से प्रत्येक $n^2 - n$ युग्म के लिए हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो संबंध में शामिल करें या न करें)।
अतः,स्वतुल्य संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2 - n}$ है।

(A) एक आव्यूह $A = [a_{ij}]$ के विषम-सममित होने के लिए,इसे सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} = -a_{ji}$ और सभी $i$ के लिए $a_{ii} = 0$ की शर्त को पूरा करना होगा।
$1$. विकर्ण के अवयव $a_{ii}$ शून्य होने चाहिए। $n$ विकर्ण अवयवों के लिए केवल $1$ विकल्प है।
$2$. विकर्ण के बाहर के अवयवों के लिए,हमें केवल उन अवयवों $a_{ij}$ को चुनना है जहाँ $i < j$ है। एक बार इन्हें चुन लेने के बाद,$a_{ji}$ अवयव स्वतः ही $a_{ji} = -a_{ij}$ के रूप में निर्धारित हो जाते हैं।
$3$. ऐसी जोड़ियों $(i, j)$ की संख्या जहाँ $i < j$ है,वह $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
$4$. इन $\frac{n(n-1)}{2}$ स्थानों में से प्रत्येक को $3$ मानों: $\{0, 1, -1\}$ में से किसी एक से भरा जा सकता है।
$5$. अतः,ऐसे विषम-सममित आव्यूहों की कुल संख्या $3^{\frac{n(n-1)}{2}}$ है।

(B) एक आव्यूह $A$ के लांबिक होने के लिए,इसकी पंक्तियाँ परस्पर लांबिक इकाई सदिश होनी चाहिए। मान लीजिए पंक्तियाँ $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3$ हैं।
$1$. $\vec{r}_1 = (0, a, a)$ के लिए,$|\vec{r}_1|^2 = 0^2 + a^2 + a^2 = 2a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$. $\vec{r}_2 = (2b, b, -b)$ के लिए,$|\vec{r}_2|^2 = (2b)^2 + b^2 + (-b)^2 = 4b^2 + b^2 + b^2 = 6b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
$3$. $\vec{r}_3 = (c, -c, c)$ के लिए,$|\vec{r}_3|^2 = c^2 + (-c)^2 + c^2 = 3c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
लांबिकता की जाँच करने पर: $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0(2b) + a(b) + a(-b) = ab - ab = 0$.
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_3 = 0(c) + a(-c) + a(c) = -ac + ac = 0$.
$\vec{r}_2 \cdot \vec{r}_3 = 2b(c) + b(-c) + (-b)(c) = 2bc - bc - bc = 0$.
अतः,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $\text{adj } A \cdot A = |A| I$ सत्य है,और $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $|A| = 6$ और $n = 3$ दिया गया है,इसलिए $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$ होगा।
अब,$\text{adj } A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|\text{adj } A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \\ -1 & k & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - k) - (-2)(0 - (-1)) + 4(4k - (-1))$
$= 1(-k) + 2(1) + 4(4k + 1)$
$= -k + 2 + 16k + 4$
$= 15k + 6$.
दोनों मानों की तुलना करने पर:
$15k + 6 = 36$
$15k = 30$
$k = 2$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$\operatorname{adj}(M) = |M| M^{-1}$ होता है।
माना $M = Q^{-1} B P^{-1}$ है।
तब $\operatorname{adj}(M) = |Q^{-1} B P^{-1}| (Q^{-1} B P^{-1})^{-1}$ होगा।
सारणिक के गुणों $|XY| = |X||Y|$ और $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$ का उपयोग करने पर,हमें $|Q^{-1} B P^{-1}| = |Q^{-1}| |B| |P^{-1}| = \frac{1}{|Q|} |B| \frac{1}{|P|}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|P| = 1$ और $|Q| = 1$ है,इसलिए $|Q^{-1} B P^{-1}| = |B|$ होगा।
अब,व्युत्क्रम की गणना करने पर: $(Q^{-1} B P^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} B^{-1} (Q^{-1})^{-1} = P B^{-1} Q$ प्राप्त होता है।
इन मानों को एड्जॉइंट के सूत्र में रखने पर:
$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = |B| P B^{-1} Q$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{adj} B = |B| B^{-1} = A$ है,इसलिए हम $|B| B^{-1}$ के स्थान पर $A$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = P A Q$ होगा।

(B) मान लीजिए $X$,$5 \times 1$ कोटि का एक स्तंभ सदिश है जहाँ सभी तत्व $1$ हैं,अर्थात $X = [1, 1, 1, 1, 1]^T$।
यह दिया गया है कि $P$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग $1$ है,जिसे हम $PX = X$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $P^{-1}$ का अस्तित्व है।
दोनों पक्षों को $P^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $P^{-1}(PX) = P^{-1}X$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(P^{-1}P)X = P^{-1}X$ हो जाता है,जो $IX = P^{-1}X$ है।
अतः,$P^{-1}X = X$।
यह दर्शाता है कि $P^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग भी $1$ है।

(B) माना मूल $\alpha = a-d, \beta = a, \gamma = a+d$ हैं। मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = 3a = 0$ है,जिससे $a = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $\beta = 0$।
$\beta = 0$ को समीकरण में रखने पर $r=0$ प्राप्त होता है,लेकिन दिया गया है कि $r \neq 0$।
दिए गए आव्यूह का सारणिक शून्य है। $\beta=0$ और $\alpha+\gamma=0$ रखने पर,आव्यूह $\begin{bmatrix} \alpha & 0 & -\alpha \\ 0 & -\alpha & \alpha \\ -\alpha & \alpha & 0 \end{bmatrix}$ बन जाता है।
इस आव्यूह की कोटि (rank) $2$ है।

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह (upper triangular matrix) है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके मुख्य विकर्ण के अवयवों का गुणनफल होता है।
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$.
हमें दिया गया है कि $|A|^2 = 25$,इसलिए:
$(25\alpha)^2 = 25$.
$625\alpha^2 = 25$.
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _a b & \log _a c \\ \log _b a & 1 & \log _b c \\ \log _c a & \log _c b & 1\end{array}\right|$ है।
$\log _x y = \frac{\ln y}{\ln x}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम तत्वों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _a b = \frac{\ln b}{\ln a}$,$\log _a c = \frac{\ln c}{\ln a}$,$\log _b a = \frac{\ln a}{\ln b}$,$\log _b c = \frac{\ln c}{\ln b}$,$\log _c a = \frac{\ln a}{\ln c}$,$\log _c b = \frac{\ln b}{\ln c}$.
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{\ln b}{\ln a} & \frac{\ln c}{\ln a} \\ \frac{\ln a}{\ln b} & 1 & \frac{\ln c}{\ln b} \\ \frac{\ln a}{\ln c} & \frac{\ln b}{\ln c} & 1\end{array}\right|$.
$R_1$ से $\frac{1}{\ln a}$,$R_2$ से $\frac{1}{\ln b}$,और $R_3$ से $\frac{1}{\ln c}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{\ln a \ln b \ln c} \left|\begin{array}{ccc}\ln a & \ln b & \ln c \\ \ln a & \ln b & \ln c \\ \ln a & \ln b & \ln c\end{array}\right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) $f(\theta)$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$f(\theta) = 1(1 + \sin \theta \cos \theta) - \cos \theta(-\sin \theta - \cos \theta) - 1(-\sin^2 \theta + 1)$
$f(\theta) = 1 + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 1$
$f(\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \sin 2\theta + 1$
चूंकि $-1 \le \sin 2\theta \le 1$,इसलिए $f(\theta)$ का परिसर $[1-1, 1+1] = [0, 2]$ है।
अतः,अधिकतम मान $A = 2$ और न्यूनतम मान $B = 0$ है।
इसलिए,$(A, B) = (2, 0)$.

(C) दिया गया है कि $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि तीन मानों का योग $3 \pi$ है और प्रत्येक का अधिकतम मान $\pi$ हो सकता है,इसलिए प्रत्येक पद $\pi$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\cos ^{-1} \alpha = \pi$,$\cos ^{-1} \beta = \pi$,और $\cos ^{-1} \gamma = \pi$।
इसका अर्थ है कि $\alpha = \cos(\pi) = -1$,$\beta = \cos(\pi) = -1$,और $\gamma = \cos(\pi) = -1$।
अब,हम व्यंजक $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ की गणना करते हैं।
$\alpha = -1$,$\beta = -1$,और $\gamma = -1$ रखने पर:
$(-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) = (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2) = 2 + 2 + 2 = 6$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$.
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर:
$\sin(\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x)) = \sin(\cos ^{-1} x)$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x \sqrt{1-(1-x)^2} + (1-x) \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.
$x \sqrt{2x-x^2} + (1-x) \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.
$x \sqrt{x(2-x)} = \sqrt{1-x^2} - (1-x) \sqrt{1-x^2} = x \sqrt{1-x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2(2x-x^2) = x^2(1-x^2)$.
$2x^3 - x^4 = x^2 - x^4$.
$2x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(2x-1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 1/2$.
$x=0$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. $\cos^{-1}(0) = \pi/2$. (सत्य)
$x=1/2$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1/2) + \sin^{-1}(1/2) = \pi/6 + \pi/6 = \pi/3$. $\cos^{-1}(1/2) = \pi/3$. (सत्य)
इस प्रकार,कुल $2$ हल हैं।

(A) दिया गया है कि $g(f(x)) = |\sin x|$ और $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$.
आइए विकल्प $A$ का परीक्षण करें: $f(x) = \sin ^2 x$ और $g(x) = \sqrt{x}$.
तब $g(f(x)) = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$। यह पहली शर्त से मेल खाता है।
इसके बाद,$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$। यह दूसरी शर्त से भी मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$।
सबसे पहले,$f(f(x))$ ज्ञात करें:
$f(f(x)) = f\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) = \frac{3\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 4}{2\left(\frac{3x - 4}{2x - 3}\right) - 3}$
$= \frac{3(3x - 4) - 4(2x - 3)}{2(3x - 4) - 3(2x - 3)} = \frac{9x - 12 - 8x + 12}{6x - 8 - 6x + 9} = \frac{x}{1} = x$।
अब,$f(f(f(x)))$ ज्ञात करें:
$f(f(f(x))) = f(f(f(x))) = f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 3}$।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+f(0)}{3}$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = \frac{f(0)+f(0)+f(0)}{3} = f(0)$ प्राप्त होता है,जो हमेशा सत्य है।
मान लीजिए $f(0) = c$ है। तब $f\left(\frac{x+y}{3}\right) = \frac{f(x)+f(y)+c}{3}$ होगा।
$y=0$ रखने पर,हमें $f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{f(x)+f(0)+c}{3} = \frac{f(x)+2c}{3}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $f(x) = 3f\left(\frac{x}{3}\right) - 2c$ है।
चूंकि $f$,$x=0$ पर अवकलनीय है,मान लीजिए $f'(0) = a$ है।
अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ है।
फलन समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हम पाते हैं कि $f(x)$ को $f(x) = ax+c$ के रूप का एक रैखिक फलन होना चाहिए।
$f(x) = ax+c$ को मूल समीकरण में रखने पर: $a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c = \frac{(ax+c)+(ay+c)+c}{3} = \frac{a(x+y)+3c}{3} = a\left(\frac{x+y}{3}\right)+c$ प्राप्त होता है।
यह सभी $x, y$ के लिए सत्य है। अतः,$f(x)$ एक रैखिक फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = u x^2 + v x + w$.
चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y) + x y$,हम $f$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं:
$u(x+y)^2 + v(x+y) + w = (u x^2 + v x + w) + (u y^2 + v y + w) + x y$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$u(x^2 + 2 x y + y^2) + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
$u x^2 + 2 u x y + u y^2 + v x + v y + w = u x^2 + u y^2 + v x + v y + 2 w + x y$.
दोनों पक्षों में $x y$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $2 u = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $u = \frac{1}{2}$.
अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $w = 2 w$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $w = 0$.
दिया गया है $u + v + w = 3$,इसलिए $u = \frac{1}{2}$ और $w = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{2} + v + 0 = 3 \implies v = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} x$.
$f(1)$ की गणना करने पर:
$f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(D) फलन $f(x) = x - [x]$ को भिन्नात्मक भाग फलन के रूप में जाना जाता है,जिसे $\{x\}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी भी पूर्णांक $n \in Z$ के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x - [x]) = n - (n - 1) = 1$.
$\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x - [x]) = n - n = 0$.
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n$ पर बाएँ पक्ष की सीमा दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर नहीं है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर असंतत है।
अतः,असंतत बिंदुओं का समुच्चय $Z$ है।

(A) मापांक फलन को टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
$f(x)= \begin{cases} 1-2x, & \text{यदि } x \leq \frac{1}{2} \\ 2x-1, & \text{यदि } x > \frac{1}{2} \end{cases}$
$x=\frac{1}{2}$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बायां सीमा: $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (1-2x) = 1-2(\frac{1}{2}) = 0$.
दायां सीमा: $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} (2x-1) = 2(\frac{1}{2})-1 = 0$.
फलन का मान: $f(\frac{1}{2}) = |1-2(\frac{1}{2})| = 0$.
चूंकि बायां सीमा,दायां सीमा और फलन का मान समान हैं,इसलिए फलन $x=\frac{1}{2}$ पर सतत है।
$x=\frac{1}{2}$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायां अवकलज: $f'(x) = \frac{d}{dx}(1-2x) = -2$ जब $x < \frac{1}{2}$.
दायां अवकलज: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$ जब $x > \frac{1}{2}$.
चूंकि बायां अवकलज $(-2)$ और दायां अवकलज $(2)$ समान नहीं हैं,इसलिए फलन $x=\frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) $f(x)$ को $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$\text{LHL} = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 3x + a) = 1 + 3 + a = 4 + a$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 1^+} (bx + 2) = b + 2$.
चूंकि $\text{LHL} = \text{RHL}$,हमारे पास $4 + a = b + 2$ है,जिसका अर्थ है $b - a = 2$ (समीकरण $1$)।
अवकलनीयता के लिए,$x = 1$ पर $\text{LHD} = \text{RHD}$ होना चाहिए।
$\text{LHD} = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + a) = 2x + 3$. $x = 1$ पर,$\text{LHD} = 2(1) + 3 = 5$.
$\text{RHD} = \frac{d}{dx}(bx + 2) = b$.
अतः,$b = 5$.
समीकरण $1$ में $b = 5$ रखने पर: $5 - a = 2 \Rightarrow a = 3$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 1)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $\alpha = 1$ और $\beta = 2$ हैं।
इसलिए,$f(x) = |x - 1| + |x - 2|$।
अंतराल $x \in [1, 2]$ के लिए,$x - 1 \ge 0$ और $x - 2 \le 0$ होता है।
अतः,$f(x) = (x - 1) - (x - 2) = x - 1 - x + 2 = 1$।
चूँकि $f(x) = 1$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह अंतराल $[1, 2]$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है।
अतः,$[1, 2]$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,$0$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = 1$ यदि $x \in \mathbb{Q}$ और $f(x) = 0$ यदि $x \notin \mathbb{Q}$ है।
दिया गया है कि $g(x) = 0$ यदि $x \in \mathbb{Q}$ और $g(x) = 1$ यदि $x \notin \mathbb{Q}$ है।
फलन $h(x) = f(x) + g(x)$ पर विचार करें।
किसी भी $x \in [0,1]$ के लिए,यदि $x$ परिमेय है,तो $h(x) = f(x) + g(x) = 1 + 0 = 1$ है।
यदि $x$ अपरिमेय है,तो $h(x) = f(x) + g(x) = 0 + 1 = 1$ है।
अतः,$h(x) = 1$ सभी $x \in [0,1]$ के लिए एक अचर फलन है।
एक अचर फलन अपने डोमेन में हर जगह सतत और अवकलनीय होता है।
इसलिए,$f+g$ बिंदु $x = \frac{2}{3}$ पर सतत है।
चूंकि $f$ और $g$ डिरिचलेट-प्रकार के फलन हैं,वे $[0,1]$ के प्रत्येक बिंदु पर असतत हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है कि $f$,$g$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(x) = g^{-1}(x)$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिलोम फलन का अवकलज (derivative) इस सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $f^{\prime}(x) = \frac{1}{g^{\prime}(f(x))}$।
दिया गया है $g^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^n}$,इसलिए $g^{\prime}(x)$ के व्यंजक में $x$ के स्थान पर $f(x)$ रखने पर:
$g^{\prime}(f(x)) = \frac{1}{1+\{f(x)\}^n}$।
अब,इस मान को $f^{\prime}(x)$ के सूत्र में रखने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\frac{1}{1+\{f(x)\}^n}} = 1+\{f(x)\}^n$।

(B) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(2a - x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(2a - x)$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [0, a]$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
$x \in [0, a]$ के लिए,हमारे पास $x < 2a - x$ है।
चूंकि $f^{\prime}(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $x < 2a - x$ का अर्थ है $f^{\prime}(x) < f^{\prime}(2a - x)$।
अतः,सभी $x \in [0, a]$ के लिए $\phi^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - f^{\prime}(2a - x) < 0$ है।
चूंकि $[0, a]$ पर $\phi^{\prime}(x) < 0$ है,इसलिए $\phi(x)$ अंतराल $[0, a]$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(A) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = ax^2 + bx + c$ है,जहाँ $a \neq 0$ है।
दिया गया है कि $f(1) = f(-1)$,इसलिए $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c$,जिसे सरल करने पर $a + b + c = a - b + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2b = 0$,अतः $b = 0$।
इस प्रकार,$f(x) = ax^2 + c$ है।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 2ax$ है।
चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है।
दोनों पक्षों को $2a$ से गुणा करने पर,$2a(2q) = 2a(p + r)$,जिसका अर्थ है $2(2aq) = 2ap + 2ar$।
$f^{\prime}(x) = 2ax$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2f^{\prime}(q) = f^{\prime}(p) + f^{\prime}(r)$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C, D) अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर फलन $f(x) = x^3$ दिया गया है।
$1$. चरम मानों की जाँच: $f'(x) = 3x^2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है। अतः,$x = 0$ पर कोई स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम मान नहीं है। निरपेक्ष न्यूनतम मान $x = -1$ पर $(f(-1) = -1)$ और निरपेक्ष अधिकतम मान $x = 1$ पर $(f(1) = 1)$ प्राप्त होता है। इसलिए,विकल्प $A$ और $B$ गलत हैं।
$2$. सांतत्य: फलन $f(x) = x^3$ एक बहुपद फलन है,जो सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है,जिसमें $[-1, 1]$ अंतराल भी शामिल है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$3$. परिबद्धता: चूंकि फलन $f(x)$ संवृत अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,इसलिए 'एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम' के अनुसार यह परिबद्ध है। विशेष रूप से,सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $-1 \le f(x) \le 1$ होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
अतः,सही कथन $C$ और $D$ हैं।

(B) चूंकि $p(x)$ का $x=1$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,इसलिए इसके अवकलज $p^{\prime}(x)$ के मूल $x=1$ और $x=3$ होने चाहिए। अतः,$p^{\prime}(x) = a(x-1)(x-3)$ जहाँ $a \neq 0$ एक स्थिरांक है।
$p^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $p(x) = a(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + b$ प्राप्त होता है।
$p(1) = 6$ का उपयोग करने पर: $a(\frac{1}{3} - 2 + 3) + b = 6 \implies \frac{4a}{3} + b = 6 \implies 4a + 3b = 18$.
$p(3) = 2$ का उपयोग करने पर: $a(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + b = 2 \implies a(9 - 18 + 9) + b = 2 \implies b = 2$.
$b = 2$ को $4a + 3b = 18$ में रखने पर,हमें $4a + 6 = 18 \implies 4a = 12 \implies a = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करने पर,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$.

(C) स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 2)(x + 1) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
अब,हम द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 6$ ज्ञात करते हैं।
$x = -1$ के लिए,$f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 < 0$,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$x = 2$ के लिए,$f''(2) = 12(2) - 6 = 18 > 0$,इसलिए $x = 2$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
अतः,फलन के पास एक स्थानीय उच्चतम और एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 5]$ के लिए,एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।
दिया गया है कि $f(0) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ प्राप्त होता है।
निरपेक्ष मान लेने पर,$|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ होता है।
चूंकि $(0, 5)$ में सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ है,इसलिए $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ होगा।
अतः,$\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है कि $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$।
यहाँ $x \in [0, 5]$ है,इसलिए $\frac{x}{5}$ का अधिकतम मान $\frac{5}{5} = 1$ है।
अतः,$[0, 5]$ में सभी $x$ के लिए $|f(x)| \leq 1$ सत्य है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 + (x - 1)^{2/3}$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।
सबसे पहले,हम सांतत्य की जाँच करते हैं: फलन $(x - 1)^{2/3}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है,इसलिए $f(x)$,$[0, 2]$ पर संतत है।
आगे,हम अवकलनीयता की जाँच करते हैं: $f'(x) = \frac{2}{3}(x - 1)^{-1/3} = \frac{2}{3(x - 1)^{1/3}}$.
$x = 1$ पर,$f'(x)$ अपरिभाषित है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। अतः,$f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(0, 2)$ में स्थित है।
चूंकि $f$,$(0, 2)$ में अवकलनीय नहीं है,इसलिए रोल का प्रमेय $[0, 2]$ पर लागू नहीं होता है।
अंत बिंदुओं पर मानों की जाँच करने पर: $f(0) = 2 + (0 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$ और $f(2) = 2 + (2 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$. अतः,$f(0) = f(2)$.
इसलिए,कथन '$f$,$(0, 2)$ में अवकलनीय नहीं है' सत्य है,'$f$,$[0, 2]$ में संतत है' सत्य है,'$f(0) = f(2)$' सत्य है,और 'रोल का प्रमेय $[0, 2]$ पर लागू होता है' कथन गलत है।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक फलन $f$ के लिए जो $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है,कम से कम एक $c \in (2, 4)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ हो।
यह दिया गया है कि सभी $x \in [2, 4]$ के लिए $f^{\prime}(x) \geq 6$,इसलिए $f^{\prime}(c) \geq 6$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(4) - (-4)}{2} \geq 6$।
$f(4) + 4 \geq 12$।
$f(4) \geq 8$।

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin(\pi/2 - x)}{4+3 \cos(\pi/2 - x)}\right) d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left[ \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x} \right) d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log(1) d x = \int_0^{\pi / 2} 0 d x = 0$.
अतः,$I = 0$.

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3+|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3}{x^2+2|x|+1} dx + \int_{-1}^1 \frac{|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$.
माना $f(x) = \frac{x^3}{x^2+2|x|+1}$. चूंकि $f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2+2|-x|+1} = -\frac{x^3}{x^2+2|x|+1} = -f(x)$,यह फलन विषम (odd) है। इसलिए,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$.
अब,दूसरे भाग $I_2 = \int_{-1}^1 \frac{|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$ पर विचार करें। चूंकि समाकल्य एक सम (even) फलन है,$I_2 = 2 \int_0^1 \frac{x+1}{x^2+2x+1} dx$.
समाकल्य को सरल करने पर: $I_2 = 2 \int_0^1 \frac{x+1}{(x+1)^2} dx = 2 \int_0^1 \frac{1}{x+1} dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I_2 = 2 [\ln |x+1|]_0^1 = 2 (\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$.
अतः,$I = 0 + 2 \ln 2 = 2 \ln 2$.

(B) हमें समाकलन $I = \int_0^{1.5} [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है,जहाँ $[x^2]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।
अंतराल $[0, 1.5]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करें जहाँ $[x^2]$ का मान बदलता है:
$I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} [x^2] dx$
$1$. $0 \le x < 1$ के लिए,$0 \le x^2 < 1$,इसलिए $[x^2] = 0$ है।
$\int_0^1 0 dx = 0$
$2$. $1 \le x < \sqrt{2}$ के लिए,$1 \le x^2 < 2$,इसलिए $[x^2] = 1$ है।
$\int_1^{\sqrt{2}} 1 dx = [x]_1^{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$
$3$. $\sqrt{2} \le x < 1.5$ के लिए,$2 \le x^2 < 2.25$,इसलिए $[x^2] = 2$ है।
$\int_{\sqrt{2}}^{1.5} 2 dx = 2[x]_{\sqrt{2}}^{1.5} = 2(1.5 - \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}$
इन मानों को जोड़ने पर:
$I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + (3 - 2\sqrt{2})$
$I = 2 - \sqrt{2}$

(B) माना $I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$ $(1)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(9-x)}+\sqrt{9-x}} d x$
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$
$2I = \int_3^6 1 d x$
$2I = [x]_3^6 = 6-3 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(C) माना $f(x) = \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6}$.
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है:
$f(-x) = \frac{(-x)+(-x)^3+(-x)^5}{1+(-x)^2+(-x)^4+(-x)^6} = \frac{-x-x^3-x^5}{1+x^2+x^4+x^6} = -\left(\frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-100}^{100} \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6} dx = 0$।

(B) अवकलन के लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) = x \sin(2x)$
$g'(x) = \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = x \cdot (-2 \cos x \sin x) = -x \sin(2x)$
अतः,$f'(x) + g'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$.
चूंकि अवकलज शून्य है,इसलिए $f(x) + g(x) = C$ (एक स्थिरांक)।
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{4}$ रखें:
$f(\frac{\pi}{4}) + g(\frac{\pi}{4}) = \int_0^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt$
चूंकि $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \frac{\pi}{2}$ होता है:
$C = \int_0^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_0^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.
हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
$x \in [-3, 0)$ के लिए,$x + |x| = x - x = 0$. चूँकि $\{x\} \ge 0$,इसलिए $f(x) = \max \{0, \{x\}\} = \{x\}$.
$x \in [0, 3]$ के लिए,$x + |x| = x + x = 2x$. चूँकि $x \ge 0$ के लिए $2x \ge \{x\}$,इसलिए $f(x) = 2x$.
अब,समाकलन की गणना करें:
$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \int_{-3}^0 \{x\} \, dx + \int_0^3 2x \, dx$
$\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = \int_{-3}^0 (x - [x]) \, dx$. चूँकि $n$ लंबाई के अंतराल पर भिन्नात्मक भाग का समाकलन $\frac{n}{2}$ होता है,इसलिए $\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.
अतः,$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$.

(C) दिया गया है कि $x = \int_0^y \frac{1}{\sqrt{1 + 9t^2}} dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{1 + 9y^2}}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + 9y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot (18y) \cdot \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ का मान रखने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9y}{\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot \sqrt{1 + 9y^2} = 9y$ प्राप्त होता है।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ की तुलना $\frac{d^2y}{dx^2} = ay$ से करने पर,$a = 9$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = k^2 \cos \alpha$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = k^2 \cos \beta$,और $\vec{c} \cdot \vec{a} = k^2 \cos \gamma$ है।
सदिशों के योग का परिमाण लीजिए: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$।
इसका विस्तार करने पर: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \geq 0$।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$।
मान रखने पर: $3k^2 + 2k^2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$।
$2k^2$ से भाग देने पर (चूंकि $k > 0$): $\frac{3}{2} + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$।
अतः,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geq -\frac{3}{2}$।

(D) चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,सदिश $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$\vec{a}$ को सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{a} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,$|\vec{a}| = 1$ है।
दोनों तरफ परिमाण लेने पर: $|\vec{a}| = |\lambda| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
अतः,$1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $|\lambda| = 2$,इसलिए $\lambda = \pm 2$.
अतः,$\vec{a} = \pm 2(\vec{b} \times \vec{c})$.

(D) आसन्न भुजाओं $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 |\vec{\beta}|^2 - (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})^2$ होता है।
सबसे पहले,$|\vec{\alpha}|^2$ की गणना करें:
$|\vec{\alpha}|^2 = 3^2 + 0^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$।
दिया गया है कि $|\vec{\beta}| = \sqrt{5}$,इसलिए $|\vec{\beta}|^2 = 5$।
दिया गया है कि $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3$,इसलिए $(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})^2 = 3^2 = 9$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|^2 = (10)(5) - 9 = 50 - 9 = 41$।
अतः,क्षेत्रफल $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}| = \sqrt{41}$ है।

(D) हमें संबंध $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = k^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ दिया गया है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$k^2 = (|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta)^2 + (|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^2$
$k^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $k^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ होता है।
$|\vec{a}|=7$ और $|\vec{b}|=1$ दिए गए हैं,इसलिए $k^2 = (7)^2 \times (1)^2 = 49$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 7$।
चूंकि यह समीकरण किसी भी $\theta$ के लिए सत्य है,इसलिए $\theta$ कोई भी मान हो सकता है।

(D) दी गई सरल रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{0}$ है।
इस रेखा के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (3, 1, 0)$ हैं।
$z$-अक्ष के समांतर एक रेखा के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (0, 0, 1)$ होते हैं।
दो रेखाएं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे लंबवत होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दी गई रेखा और $z$-अक्ष के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करने पर:
$(3 \times 0) + (1 \times 0) + (0 \times 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए दी गई रेखा $z$-अक्ष के लंबवत है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$ होगा।
सूत्र $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ का उपयोग करने पर:
$0.5 = 0.3 + P(F) - 0.3 \cdot P(F)$
$0.2 = 0.7 \cdot P(F)$
$P(F) = \frac{0.2}{0.7} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होता है।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(E|F) = P(E)$ और $P(F|E) = P(F)$ होता है।
अतः,$P(E|F) - P(F|E) = P(E) - P(F) = 0.3 - \frac{2}{7} = \frac{3}{10} - \frac{2}{7} = \frac{21 - 20}{70} = \frac{1}{70}$।