ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે. જો $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\vec{a}$ શું થાય?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{c}=7$,$2 \vec{b} \cdot \vec{c}+43=0$,અને $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ છે. તો $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ અથવા $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ હોય,તો $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ થાય. શું તેનું પ્રતિપ વિધાન સત્ય છે? ઉદાહરણ આપીને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

$A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ બિંદુઓ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ કયો છે?

જો $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = 7\hat{i} + 9\hat{j} + 11\hat{k}$ હોય,તો $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ વિકર્ણો ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો શૂન્યેતર સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો સમીકરણ $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b}$ નો ઉકેલ શોધો.