WBJEE 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) पिंड को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_{1} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_{2} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों बलों का अनुपात लेने पर:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}{mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = \frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$.
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{\tan \theta + \mu}{\tan \theta - \mu}$.
दिया गया है कि $\tan \theta = 2\mu$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{2\mu + \mu}{2\mu - \mu} = \frac{3\mu}{\mu} = 3$.

(D) छड़ का घनत्व $\rho = \rho_0 \frac{x^2}{L^2}$ के अनुसार बदलता है।
सिरे $x=0$ से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई की एक छोटी डिस्क (elemental disc) पर विचार करें।
इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot dV = \rho \cdot (\alpha dx) = \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \right) \alpha dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{cm} = \frac{\int_0^L x \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}{\int_0^L \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^3 dx}{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^2 dx}$
$X_{cm} = \frac{[x^4/4]_0^L}{[x^3/3]_0^L} = \frac{L^4/4}{L^3/3} = \frac{3}{4} L$.

(A) गेंद $h$ ऊँचाई से गिरती है और फर्श से टकराती है। पहली टक्कर से ठीक पहले वेग $v_0 = \sqrt{2gh}$ है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = e v_0$ हो जाता है। गेंद $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 h$ ऊँचाई तक ऊपर उठती है।
इसके बाद यह $h_1$ ऊँचाई से नीचे गिरती है और फिर से फर्श से टकराती है। पहले उछाल में तय की गई दूरी (ऊपर और नीचे) $2h_1 = 2e^2 h$ है।
दूसरी टक्कर के बाद,यह $h_2 = e^2 h_1 = e^4 h$ ऊँचाई तक ऊपर उठती है। दूसरे उछाल में तय की गई दूरी $2h_2 = 2e^4 h$ है।
कुल दूरी $D$ प्रारंभिक पतन और उसके बाद के सभी उछालों का योग है:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2e^2 h + 2e^4 h + 2e^6 h + ...$
$D = h + 2e^2 h (1 + e^2 + e^4 + ...)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=e^2$:
$D = h + 2e^2 h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(C) मान लीजिए $S_2$ का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_2 = v \hat{i}$ है और $S_1$ का वेग $\vec{u}_1 = 0$ है। टक्कर के बाद,$S_2$ वेग $\vec{v}_2 = \frac{v}{2} \hat{j}$ के साथ गति करता है (मानते हुए कि यह धनात्मक $y$-दिशा में गति करता है)। मान लीजिए $S_1$ का वेग $\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y} \hat{j}$ है।
$x$-अक्ष पर रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_2 v = m_1 v_{1x} + m_2(0) \implies v_{1x} = \frac{m_2}{m_1} v$
$y$-अक्ष पर रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$0 = m_1 v_{1y} + m_2 \left(\frac{v}{2}\right) \implies v_{1y} = -\frac{m_2 v}{2m_1}$
$S_1$ के वेग का परिमाण $v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} = \sqrt{\left(\frac{m_2 v}{m_1}\right)^2 + \left(-\frac{m_2 v}{2m_1}\right)^2} = \frac{m_2 v}{m_1} \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{m_2 v}{m_1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
$x$-अक्ष के साथ $S_1$ की दिशा $\theta$ को $\tan \theta = \frac{v_{1y}}{v_{1x}} = \frac{-m_2 v / 2m_1}{m_2 v / m_1} = -\frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $S_2$ ऋणात्मक $y$-दिशा में गति करता,तो $\tan \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ या $\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ होगा।

(C, D) चाल के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$\overline{V} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$V_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $V_{p} < \overline{V} < V_{\text{rms}}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा के लिए:
$K.E. = \frac{1}{2} m V_{\text{rms}}^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{3RT}{M} \right)$.
चूंकि $V_{p}^{2} = \frac{2RT}{M}$,इसलिए $\frac{RT}{M} = \frac{V_{p}^{2}}{2}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2} m \cdot 3 \cdot \left( \frac{V_{p}^{2}}{2} \right) = \frac{3}{4} m V_{p}^{2}$.
अतः,विकल्प $D$ भी सही है।

(A) दिया गया बल $\vec{F} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a}_{acc} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{a}{m} \hat{i} + \frac{b}{m} \hat{j} + \frac{c}{m} \hat{k}$ है।
चूंकि पिंड मूल बिंदु पर स्थिर अवस्था से शुरू होता है,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$ और प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_0 = 0$ है।
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ का उपयोग करने पर,$\vec{r} = \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ प्राप्त होता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{1}{2} (\frac{a}{m}) t^2 = \frac{at^2}{2m}$
$y = \frac{1}{2} (\frac{b}{m}) t^2 = \frac{bt^2}{2m}$
$z = \frac{1}{2} (\frac{c}{m}) t^2 = \frac{ct^2}{2m}$
अतः,निर्देशांक $(\frac{at^2}{2m}, \frac{bt^2}{2m}, \frac{ct^2}{2m})$ होंगे।

(A) माना $V_1$ पानी में ग्रेनाइट का आयतन है और $V_2$ पारे में ग्रेनाइट का आयतन है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,ग्रेनाइट पर कार्य करने वाला कुल उत्प्लावन बल उसके भार के बराबर होना चाहिए।
पानी द्वारा लगाया गया उत्प्लावन बल $F_{B1} = V_1 \rho_1 g$ है।
पारे द्वारा लगाया गया उत्प्लावन बल $F_{B2} = V_2 \rho_2 g$ है।
ग्रेनाइट का भार $W = (V_1 + V_2) \rho g$ है।
बलों को बराबर करने पर: $V_1 \rho_1 g + V_2 \rho_2 g = (V_1 + V_2) \rho g$।
$g$ से विभाजित करने पर: $V_1 \rho_1 + V_2 \rho_2 = V_1 \rho + V_2 \rho$।
$V_1$ और $V_2$ के पदों को व्यवस्थित करने पर: $V_1 \rho_1 - V_1 \rho = V_2 \rho - V_2 \rho_2$।
$V_1(\rho_1 - \rho) = V_2(\rho - \rho_2)$।
अतः,पानी में ग्रेनाइट के आयतन $(V_1)$ और पारे में ग्रेनाइट के आयतन $(V_2)$ का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho} = \frac{\rho_2 - \rho}{\rho - \rho_1}$।

(C) बाईं भुजा में $\rho_3$ घनत्व वाले तरल के निचले स्तर पर क्षैतिज सतह पर विचार करें। दोनों भुजाओं में इस स्तर पर दबाव समान होना चाहिए।
बाईं भुजा में,दबाव $\rho_1$ घनत्व वाले तरल (ऊंचाई $h$) और $\rho_3$ घनत्व वाले तरल (ऊंचाई $h/2$) के कारण है।
$P_{left} = P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2)$
दाहिनी भुजा में,उसी क्षैतिज स्तर पर दबाव $\rho_2$ घनत्व वाले तरल (ऊंचाई $h$) के कारण है।
$P_{right} = P_{atm} + \rho_2 gh$
दबाव को बराबर करने पर: $P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2) = P_{atm} + \rho_2 gh$
$gh$ से विभाजित करने पर: $\rho_1 + \frac{\rho_3}{2} = \rho_2$
$\rho_3$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{\rho_3}{2} = \rho_2 - \rho_1 \implies \rho_3 = 2(\rho_2 - \rho_1)$

(B) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो तार में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $a = 2 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $T = 10(10 + 2) = 120 \ N$ होगा।
अनुदैर्ध्य विकृति को $\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{L} = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{T}{AY}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ और यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{Strain} = \frac{120}{(2 \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})} = \frac{120}{4 \times 10^7} = 30 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-6}$।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ द्वारा दिया जाता है।
$h = R$ ऊँचाई पर (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है),गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ होता है।
पृथ्वी की सतह पर $g = \pi^2 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $h$ ऊँचाई पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ होगा।
आवर्तकाल के सूत्र में $\ell = 4.0 \ m$ और $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ का मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{\pi^2 / 4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{4}{\pi} = 8 \ s$.

(D) $SHM$ के लिए दिया गया विस्थापन समीकरण $y = 2 \sin \left(\frac{\pi t}{2} + \phi\right) \text{ cm}$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आयाम $A = 2 \text{ cm}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{2} \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
$SHM$ में अधिकतम त्वरण का सूत्र $a_{\max} = \omega^2 A$ है।
मान रखने पर,$a_{\max} = \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \times 2$.
$a_{\max} = \frac{\pi^2}{4} \times 2 = \frac{\pi^2}{2} \text{ cm/s}^2$.

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर $R$,पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते अंतर छोटा हो।
गणितीय रूप से,$R = -\frac{d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = R$,$x = \theta$,$m = k$ (ढाल),और $c = -k\theta_0$ (y-अंतःखंड) है।
चूँकि $k > 0$ है,इसलिए ढाल धनात्मक है।
जब $\theta = \theta_0$ होता है,तो $R = 0$ होता है।
इसलिए,ग्राफ $(\theta_0, 0)$ बिंदु से गुजरने वाली एक धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए आकार से मेल खाती है।

(B) माना $\gamma_L$ द्रव का वास्तविक आयतन प्रसार गुणांक है।
माना $\gamma_C$ और $\gamma_S$ क्रमशः तांबे और चांदी के आयतन प्रसार गुणांक हैं।
हम जानते हैं कि आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 3 \times \text{रेखीय प्रसार गुणांक } \alpha$ होता है।
दिया गया है कि $\gamma_C = 3A$ है।
आभासी प्रसार गुणांक का सूत्र $\gamma_{app} = \gamma_L - \gamma_{vessel}$ है।
तांबे के लिए: $C = \gamma_L - 3A \implies \gamma_L = C + 3A$।
चांदी के लिए: $S = \gamma_L - \gamma_S \implies \gamma_S = \gamma_L - S$।
चांदी के समीकरण में $\gamma_L = C + 3A$ रखने पर: $\gamma_S = C + 3A - S$।
चूंकि $\gamma_S = 3 \alpha_S$,जहां $\alpha_S$ चांदी का रेखीय प्रसार गुणांक है:
$3 \alpha_S = C + 3A - S \implies \alpha_S = \frac{C + 3A - S}{3}$।

(D) दिए गए $P-T$ आरेख में:
$AB$: दाब $P$ स्थिर है और तापमान $T$ घट रहा है। चूँकि $PV = nRT$,यदि $P$ स्थिर है और $T$ घटता है,तो आयतन $V$ को घटना चाहिए। अतः,$AB$ एक समदाबीय संपीड़न (isobaric compression) है।
$BC$: यह प्रक्रम एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। जैसे-जैसे $P$ घटता है,$PV$ को स्थिर रखने के लिए $V$ को बढ़ना चाहिए। अतः,$BC$ एक समतापीय प्रसार (isothermal expansion) है।
$CA$: यह प्रक्रम $P-T$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T$। चूँकि $PV = nRT$,इसलिए $P/T = nR/V$,अतः $V$ स्थिर होना चाहिए। अतः,$CA$ एक समआयतनिक प्रक्रम (isochoric process) है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही $P-V$ आरेख विकल्प $D$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin \left( \frac{\pi x}{3} \right) \cos(40 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{3} \ cm^{-1}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$,जिससे $\lambda = 6 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{6 \ cm}{2} = 3 \ cm$ है।

(A, B, D) दिया गया समीकरण $y(x, t) = 0.02 \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2}) \cos(10 \pi x)$ है।
निस्पंद (nodes) वहाँ होते हैं जहाँ स्थानिक भाग $\cos(10 \pi x) = 0$ होता है।
$10 \pi x = (n + \frac{1}{2}) \pi \implies x = \frac{n + 0.5}{10} = 0.05, 0.15, 0.25, \dots \ m$। अतः,$x = 0.15 \ m$ पर एक निस्पंद होता है।
प्रस्पंद (antinodes) वहाँ होते हैं जहाँ $|\cos(10 \pi x)| = 1$ होता है।
$10 \pi x = n \pi \implies x = \frac{n}{10} = 0, 0.1, 0.2, 0.3, \dots \ m$। अतः,$x = 0.3 \ m$ पर एक प्रस्पंद होता है।
स्थिर तरंग के मानक समीकरण $y = A \cos(\omega t + \phi) \cos(kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 10 \pi$ और $\omega = 50 \pi$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{10 \pi} = 5 \ m/s$।

(C) दिए गए वेग-समय ग्राफ से,$t = 0 \ s$ पर प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m/s$ है। $t = 10 \ s$ पर वेग $0 \ m/s$ हो जाता है।
त्वरण $a$ ग्राफ का ढाल है: $a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 50}{10 - 0} = -5 \ m/s^2$।
$t = 2 \ s$ पर वेग $v = u + at = 50 + (-5)(2) = 40 \ m/s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 10 \ kg \times ((40 \ m/s)^2 - (50 \ m/s)^2)$
$W = 5 \times (1600 - 2500) = 5 \times (-900) = -4500 \ J$।

(A) रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $V_{rms} = 220 \ V$ दिया गया है।
पीक वोल्टेज $V_0$, $V_{rms}$ से $V_0 = V_{rms} \sqrt{2}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इसलिए, $V_0 = 220 \sqrt{2} \ V$।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f = 50 \ \text{Hz}$ है।
अतः, $\omega = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ \text{rad/s}$।
तात्कालिक विभवांतर $V(t) = V_0 \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $V(t) = 220 \sqrt{2} \cos(100 \pi t)$ प्राप्त होता है।

(A) लायमन श्रेणी के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$
$1$. न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ $n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$
दिया गया है कि $\lambda_{\min} = P$,इसलिए $P = \frac{1}{R}$।
$2$. अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ $n = 2$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$
$3$. $R = \frac{1}{P}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = \frac{1}{P} \cdot \frac{3}{4}$
$\lambda_{\max} = \frac{4 P}{3}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु से उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = -3.4 + 13.6 = 10.2 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए:
$E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $K_{max} = eV_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
$10.2 \ eV = 4.2 \ eV + eV_s$.
$eV_s = 10.2 \ eV - 4.2 \ eV = 6.0 \ eV$.
अतः,निरोधी विभव $V_s = 6 \ V$ है।

(B) स्थिर अवस्था में, संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं, इसलिए संधारित्र वाली शाखाओं में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, धारा $(I)$ केवल $1 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक और $2 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक से श्रेणीक्रम में प्रवाहित होती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega = 3 \text{ k}\Omega = 3000 \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \text{ V}}{3000 \Omega} = 2 \times 10^{-3} \text{ A} = 2 \text{ mA}$ है।
$2 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = I \times R = (2 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (2000 \Omega) = 4 \text{ V}$ है।
चूंकि संधारित्र $2 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में हैं, इसलिए दोनों संधारित्रों पर विभवांतर $4 \text{ V}$ है।
$1 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = C_1 \times V = (1 \mu F) \times (4 \text{ V}) = 4 \mu C$ है।
$2 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = C_2 \times V = (2 \mu F) \times (4 \text{ V}) = 8 \mu C$ है।

(D) दिया गया व्यंजक $X = \varepsilon_0 L \frac{\Delta V}{\Delta t}$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E \cdot A$ होता है,जहाँ $E = \frac{V}{L}$ और $A = L^2$ है।
अतः,$\phi_E = \frac{V}{L} \cdot L^2 = V \cdot L$ होगा।
इस मान को $X$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $X = \varepsilon_0 \frac{\Delta \phi_E}{\Delta t}$ प्राप्त होता है।
विस्थापन धारा (displacement current) $i_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ की परिभाषा के अनुसार,राशि $X$ विस्थापन धारा को दर्शाती है।
इसलिए,$X$ की विमा विद्युत धारा की विमा के समान है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,मान लीजिए द्रव्यमान $m$,चाल $v$ और गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
कुछ यात्रियों के उतरने के बाद,मान लीजिए नया द्रव्यमान $m'$,नई चाल $v' = 2v$ और नई गतिज ऊर्जा $E' = 2E$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करने पर: $E' = \frac{1}{2}m'(v')^2$।
मान रखने पर: $2E = \frac{1}{2}m'(2v)^2 = \frac{1}{2}m'(4v^2) = 2m'v^2$।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $2(\frac{1}{2}mv^2) = 2m'v^2$,जिसका अर्थ है $m' = \frac{m}{2}$।
अब,नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}} = \frac{h}{\sqrt{2(\frac{m}{2})(2E)}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \lambda$।
अतः,नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ही रहती है।

(A) लैंप की शक्ति $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल ऊर्जा के बराबर होती है,जो प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $N$ और एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ का गुणनफल है।
दिया गया है: $N = 10^{20} \ s^{-1}$,$\lambda = 660 \ nm = 660 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$P = N \times \frac{hc}{\lambda}$
$P = 10^{20} \times \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{660 \times 10^{-9}}$
$P = 10^{20} \times \frac{19.8 \times 10^{-26}}{660 \times 10^{-9}}$
$P = 10^{20} \times 0.03 \times 10^{-17}$
$P = 30 \ W$.

(B) कण पर लगने वाला बल $F = qE = qE_0 \sin(\omega t)$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$ma = qE_0 \sin(\omega t)$,इसलिए $a = \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t)$।
वेग $v(t)$ त्वरण का समाकलन है: $v(t) = \int a \, dt = \int \frac{qE_0}{m} \sin(\omega t) \, dt = -\frac{qE_0}{m\omega} \cos(\omega t) + C$।
चूंकि कण $t = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,$v(0) = 0$,जिससे $C = \frac{qE_0}{m\omega}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v(t) = \frac{qE_0}{m\omega} (1 - \cos(\omega t))$।
अधिकतम चाल तब प्राप्त होती है जब $\cos(\omega t) = -1$ हो,इसलिए $v_{\max} = \frac{2qE_0}{m\omega}$।
मान रखने पर: $q = 1 \text{ C}$,$E_0 = 2 \text{ N/C}$,$m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$,और $\omega = 1000 \text{ rad/s}$।
$v_{\max} = \frac{2 \times 1 \times 2}{10^{-3} \times 1000} = \frac{4}{1} = 4 \text{ m/s}$।

(A) स्थिर वैद्युत क्षेत्र में आवेश $Q$ को ले जाने में किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
किया गया कार्य $W = Q(V_{\text{अंतिम}} - V_{\text{प्रारंभिक}})$।
यहाँ, प्रारंभिक बिंदु $C$ है और अंतिम बिंदु $D$ है।
दूरी $AC = L$, $CB = L$, $BD = L$ है।
$C$ पर विभव $(V_C)$: $V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AC} + \frac{-q}{CB}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{L} - \frac{q}{L}] = 0$।
$D$ पर विभव $(V_D)$: $V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{3L} - \frac{q}{L}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q - 3q}{3L}] = \frac{-2q}{12 \pi \epsilon_0 L} = \frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L}$।
चूंकि स्थिर वैद्युत बल संरक्षी होता है, इसलिए $C$ से $D$ तक किसी भी पथ पर किया गया कार्य समान होता है:
$W_1 = W_2 = Q(V_D - V_C) = Q(\frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L} - 0) = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$।
अतः, $W_1 = W_2 = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$।

(C) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान $q$ आवेश वाले कण का चुंबकीय आघूर्ण $M = IA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$.
अतः,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
कण का कोणीय संवेग $L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$.
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
इस अनुपात को गाइरोमैग्नेटिक अनुपात कहा जाता है और यह केवल कण के आवेश '$q$' और द्रव्यमान '$m$' पर निर्भर करता है।

(A, C) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $r = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
यहाँ $A_A = 64$ और $A_B = 125$ है,इसलिए $r_A = R_0 (64)^{1/3} = 4R_0$ और $r_B = R_0 (125)^{1/3} = 5R_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_A < r_B$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_{bn})$ के लिए,हल्के नाभिकों के लिए $E_{bn}$ द्रव्यमान संख्या के साथ बढ़ता है और $A = 56$ (आयरन) के पास अधिकतम होता है। $A > 60$ वाले नाभिकों के लिए,$E_{bn}$ धीरे-धीरे घटता है।
चूंकि $A_A = 64$,$A_B = 125$ की तुलना में $56$ के अधिक करीब है,इसलिए नाभिक $A$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिक $B$ से अधिक है,अर्थात $E_{bnA} > E_{bnB}$।
इसलिए,विकल्प $A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
सक्रियता $A$ को नाभिकों के क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $A = -\frac{dN}{dt}$ है।
$t$ के सापेक्ष $N$ का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$.
इसलिए,सक्रियता का परिमाण $A = |-\frac{dN}{dt}| = \lambda N$ है।
यह समीकरण $A = \lambda N$ $N$ और $A$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
चूंकि $A$,$N$ के सीधे आनुपातिक है $(A \propto N)$,इसलिए $N$ बनाम $A$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना प्रारंभिक नाभिक $_Z X^A$ है।
$1$. $\alpha$-क्षय द्रव्यमान संख्या में $4$ की कमी और परमाणु क्रमांक में $2$ की कमी करता है।
$2$. $\beta$-क्षय परमाणु क्रमांक में $1$ की वृद्धि करता है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
$3$. $\gamma$-क्षय द्रव्यमान संख्या या परमाणु क्रमांक में कोई परिवर्तन नहीं करता है।
दी गई क्षय श्रृंखला:
$X(Z, A) \xrightarrow{\alpha} X_1(Z-2, A-4) \xrightarrow{\beta} X_2(Z-1, A-4) \xrightarrow{\alpha} X_3(Z-3, A-8) \xrightarrow{\gamma} X_4(Z-3, A-8)$
$X_4$ के लिए परमाणु क्रमांक $69$ और द्रव्यमान संख्या $172$ दी गई है:
$Z - 3 = 69 \implies Z = 72$
$A - 8 = 172 \implies A = 180$
अतः,$X$ का परमाणु क्रमांक $72$ और द्रव्यमान संख्या $180$ है।

(B) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = i + e - A$,जहाँ $i$ आपतन कोण है,$e$ निर्गत कोण है और $A$ प्रिज्म कोण है।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि $\delta = 30^{\circ}$ विचलन के लिए,आपतन कोण के दो संभावित मान हैं: $i_1 = 15^{\circ}$ और $i_2 = 60^{\circ}$।
प्रकाश के उत्क्रमणीयता के सिद्धांत के अनुसार,यदि $i = 15^{\circ}$ है,तो $e = 60^{\circ}$ होगा,और यदि $i = 60^{\circ}$ है,तो $e = 15^{\circ}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $A = i + e - \delta$।
$A = 15^{\circ} + 60^{\circ} - 30^{\circ}$।
$A = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$।
अतः,प्रिज्म कोण $45^{\circ}$ है।

(A) परिपथ में,डायोड प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर में है।
$V < 0$ (रिवर्स बायस) के लिए,डायोड एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है (आदर्श डायोड मानते हुए),इसलिए धारा केवल प्रतिरोध $R$ से होकर बहती है। ओम के नियम के अनुसार,$I = V/R$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध है और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक ढाल रखता है।
$V > 0$ (फॉरवर्ड बायस) के लिए,नी वोल्टेज के बाद डायोड चालन करता है। नी वोल्टेज से पहले,धारा प्रतिरोधक से होकर बहती है। नी वोल्टेज के बाद,डायोड बहुत कम प्रतिरोध प्रदान करता है,इसलिए कुल धारा तेजी से बढ़ती है।
इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ $V < 0$ के लिए एक रैखिक संबंध और $V > 0$ के लिए एक गैर-रैखिक,तेजी से बढ़ती धारा को दर्शाता है। विकल्प $A$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(A) दिया गया है:
ज़ेनर वोल्टेज $V_z = 5.6 \, V$
अधिकतम शक्ति अपव्यय $P_{z \max} = \frac{1}{4} \, W = 0.25 \, W$
इनपुट वोल्टेज $V_{in} = 10 \, V$
ज़ेनर डायोड द्वारा सहन की जा सकने वाली अधिकतम धारा $I_z$ है:
$P_{z \max} = V_z \times I_z$
$0.25 = 5.6 \times I_z$
$I_z = \frac{0.25}{5.6} \, A$
परिपथ में, श्रेणी प्रतिरोध $R_s$ से होकर बहने वाली धारा $I_s = I_z$ है। प्रतिरोध $R_s$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{R_s} = V_{in} - V_z = 10 \, V - 5.6 \, V = 4.4 \, V$
प्रतिरोध $R_s$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$R_s = \frac{V_{R_s}}{I_s} = \frac{4.4}{I_z} = \frac{4.4}{(0.25 / 5.6)}$
$R_s = \frac{4.4 \times 5.6}{0.25} = 4.4 \times 5.6 \times 4 = 98.56 \, \Omega$
अतः, प्रतिरोध $R_s$ का न्यूनतम मान $98.56 \, \Omega$ है।

(B) दी गई सर्किट में $A$ और $B$ इनपुट से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NOR$ गेट है।
$1$. दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. इन्हें $NOR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$3$. $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
$5$. व्यंजक $A \cdot B$ एक $AND$ गेट के संचालन को दर्शाता है।
अतः,यह संयोजन एक $AND$ गेट को दर्शाता है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ से कम होती है,इसलिए विवर्तन फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई कम हो जाती है।
अतः,फ्रिंज संकरी और एक-दूसरे के करीब हो जाएंगी।