ધારો કે f(x) એ [0, 5] પર સતત છે અને (0, 5) પર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x \in (0, 5]$ માટે,એક એવો $c \in (0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) -

Vedclass · Accepted Answer

$|f(x)| \leq 1$

Vedclass · Answer

(A) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x \in (0, 5]$ માટે,એક એવો $c \in (0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ થાય.આપેલ છે કે $f(0) = 0$,તેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ મળે.માનાંક લેતા,$|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ થાય.કારણ કે $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ છે,તેથી $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ થાય.આમ,$\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$.અહીં $x \in [0, 5]$ હોવાથી,$\frac{x}{5}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{5}{5} = 1$ છે.તેથી,$[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે $|f(x)| \leq 1$ થાય છે.

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. જો $\alpha = $ હોય,તો $x \in [0, 1]$ માટે $f$ ને રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.

જો $x \in [3, 12]$ માટે $f(x) = \sqrt{x}$ અને $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ હોય,તો $c \in (3, 12)$ ની કિંમત શોધો જેના માટે $\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)}$ થાય.

ધારો કે $f(0) = -3$ અને તમામ $x$ માટે $f'(x) \le 5$ છે. તો $f(2)$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?

નીચેનામાંથી કયા વિધેય માટે આપેલ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે?

કઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $K$ માટે સમીકરણ $2x^3 + 3x + K = 0$ ના બે વાસ્તવિક બીજ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module