यदि प्रथम चतुर्थांश में स्थित और वृत्त x^2+y^ | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $x^2+y^2-4x=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4$ और $y^2=x$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण में $y^2=x$ प्रतिस्थापित क

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$4\pi$

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(D) दिए गए वक्र $x^2+y^2-4x=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4$ और $y^2=x$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण में $y^2=x$ प्रतिस्थापित करें: $x^2+x-4x=0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0$. अतः,$x=0$ या $x=3$ है।$x=0$ के लिए,$y=0$ है। $x=3$ के लिए,$y^2=3 \Rightarrow y=\sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=3$ तक परवलय द्वारा और $x=3$ से $x=4$ तक वृत्त द्वारा घिरा है।$A = \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^4 \sqrt{4-(x-2)^2} \, dx$$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{x-2}{2} \sqrt{4-(x-2)^2} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{x-2}{2} \right) \right]_3^4$$A = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(1/2)) \right]$$A = 2\sqrt{3} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}$.अतः,$6A - 9\sqrt{3} = 6(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}) - 9\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 4\pi - 9\sqrt{3} = 4\pi$.

यदि प्रथम चतुर्थांश में स्थित और वृत्त $x^2+y^2-4x=0$,परवलय $y^2=x$ तथा $X$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ है,तो $6A-9\sqrt{3}=$

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