TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $\angle B = \theta$ है। तब $\angle A = 3\theta$ है। चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,$\angle C = 180^{\circ} - (A + B) = 180^{\circ} - 4\theta$ होगा।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{AB}{\sin(180^{\circ} - 4\theta)} = \frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$।
$\frac{16}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$ से,हमें $16 \sin \theta = 9 \sin 3\theta = 9(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ से भाग देने पर (चूंकि $\sin \theta \neq 0$),$16 = 27 - 36 \sin^2 \theta$,जिससे $36 \sin^2 \theta = 11$,अतः $\sin^2 \theta = \frac{11}{36}$ प्राप्त होता है।
तब $\cos^2 \theta = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$,अतः $\cos \theta = \frac{5}{6}$ है।
अब,$\sin 4\theta = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 4 \times \frac{\sqrt{11}}{6} \times \frac{5}{6} \times (1 - 2 \times \frac{11}{36}) = \frac{35\sqrt{11}}{162}$।
अंत में,$AB = \frac{9 \sin 4\theta}{\sin \theta} = 9 \times \frac{35\sqrt{11}}{162} \times \frac{6}{\sqrt{11}} = \frac{35}{3}$।

(B) $\triangle ABC$ में,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को $(b^2-c^2) \cot A + (c^2-a^2) \cot B$ में रखने पर:
$= 4R^2(\sin^2 B - \sin^2 C) \cot A + 4R^2(\sin^2 C - \sin^2 A) \cot B$
$= 4R^2[\sin(B+C)\sin(B-C) \frac{\cos A}{\sin A} + \sin(C+A)\sin(C-A) \frac{\cos B}{\sin B}]$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$ और $\sin(C+A) = \sin B$ होता है।
$= 4R^2[\sin A \sin(B-C) \frac{\cos A}{\sin A} + \sin B \sin(C-A) \frac{\cos B}{\sin B}]$
$= 4R^2[\sin(B-C)\cos A + \sin(C-A)\cos B]$
$= 4R^2[\sin(B-C)(-\cos(B+C)) + \sin(C-A)(-\cos(C+A))]$
$= 2R^2[-(2\sin(B-C)\cos(B+C)) - (2\sin(C-A)\cos(C+A))]$
$= 2R^2[-(\sin 2B - \sin 2C) - (\sin 2C - \sin 2A)]$
$= 2R^2[\sin 2A - \sin 2B]$

(C) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ हैं और क्षेत्रफल $\Delta$ है।
हम जानते हैं कि क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$ है।
कोसाइन नियम से,$a^2 = b^2+c^2-2bc \cos A$,$b^2 = a^2+c^2-2ac \cos B$,और $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos C$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर $a^2+b^2+c^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{प्राप्त होता है}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^2+b^2+c^2 = 2(bc \cos A + ac \cos B + ab \cos C) \text{मिलता है}$.
चूंकि $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$,इसलिए $bc = \frac{2\Delta}{\sin A}$ है। इसी प्रकार,$ac = \frac{2\Delta}{\sin B}$ और $ab = \frac{2\Delta}{\sin C}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$a^2+b^2+c^2 = 2 \left( \frac{2\Delta}{\sin A} \cos A + \frac{2\Delta}{\sin B} \cos B + \frac{2\Delta}{\sin C} \cos C \right)$
$a^2+b^2+c^2 = 4\Delta (\cot A + \cot B + \cot C)$
अतः,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$।

(C) दिया गया है,$\frac{a^3+b^3+c^3}{\sin^3 A+\sin^3 B+\sin^3 C}=8$ $(i)$
त्रिभुज $ABC$ के लिए ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2R \sin A)^3 + (2R \sin B)^3 + (2R \sin C)^3}{\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C} = 8$
$\frac{(2R)^3 (\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)}{\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C} = 8$
$(2R)^3 = 8 \implies 2R = 2 \implies R = 1$ है।
चूंकि $c = 2R \sin C = 2 \sin C$,और $\sin C$ का अधिकतम मान $1$ है (क्योंकि $C < 180^\circ$),इसलिए $c$ का अधिकतम मान $2 \times 1 = 2$ है।

(C) दिया गया है: $a^2-c^2=b^2-bc \Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$.
साइन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = 2R$ $\Rightarrow \frac{a}{\sin 60^{\circ}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow a = 1$.
दिए गए $\sqrt{2}a = 2b-c$ में $a=1$ रखने पर: $\sqrt{2} = 2b-c \Rightarrow c = 2b-\sqrt{2}$.
$c$ का मान $a^2-c^2=b^2-bc$ में रखने पर: $1^2 - (2b-\sqrt{2})^2 = b^2 - b(2b-\sqrt{2})$.
सरल करने पर $3b^2 - 3\sqrt{2}b + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$b = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}}$.

(D) दिया गया है,$\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$।
हम जानते हैं कि यदि $\tan A : \tan B : \tan C = l : m : n$ है,तो भुजाओं का अनुपात $a : b : c = \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} : \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{l}} : \sqrt{\frac{1}{l} + \frac{1}{m}}$ होता है।
यहाँ $l=1, m=2, n=3$ रखने पर:
$a : b : c = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} : \sqrt{\frac{1}{3} + 1} : \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{6}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$।
चूंकि $\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$,इसलिए $k = 3$ प्राप्त होता है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = \sqrt{3}k$,$b = \sqrt{5}k$,और $c = \sqrt{8+\sqrt{15}}k$ हैं।
चूँकि $c$ सबसे बड़ी भुजा है,सबसे बड़ा कोण $\theta$ भुजा $c$ के सम्मुख है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{(\sqrt{3}k)^2 + (\sqrt{5}k)^2 - (\sqrt{8+\sqrt{15}}k)^2}{2(\sqrt{3}k)(\sqrt{5}k)}$.
$\cos \theta = \frac{3k^2 + 5k^2 - (8+\sqrt{15})k^2}{2\sqrt{15}k^2}$.
$\cos \theta = \frac{8k^2 - 8k^2 - \sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = \frac{-\sqrt{15}k^2}{2\sqrt{15}k^2} = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।

(A) $\triangle ABC$ का परिमाप $a+b+c$ है। इसके कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया है: $a+b+c = 6 \times \left(\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}\right) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ रखने पर:
$2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
इससे $2R = 2$,अर्थात $R = 1$ प्राप्त होता है।
दिया है $BC = a = 1$,अतः $a = 2R \sin A$ का उपयोग करने पर:
$1 = 2(1) \sin A \implies \sin A = \frac{1}{2}$.
चूंकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,इसलिए $A = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$।

(A) बहिर्वृत्तों के व्यास $d_1 = \frac{2\Delta}{s-a}$,$d_2 = \frac{2\Delta}{s-b}$,और $d_3 = \frac{2\Delta}{s-c}$ द्वारा दिए जाते हैं।
हमें $d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1 = \frac{4\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{4\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{4\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$ की गणना करनी है।
$4\Delta^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $4\Delta^2 \left[ \frac{(s-c) + (s-a) + (s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)} \right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,अंश $3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ बन जाता है।
हेरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{\Delta^2 / s} = 4s^2 = (2s)^2 = (a+b+c)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = 15$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{a(1+\cos C)}{2} + \frac{c(1+\cos A)}{2} = 15$.
$\Rightarrow (a+c) + (a \cos C + c \cos A) = 30$.
चूँकि $a \cos C + c \cos A = b$,इसलिए $a+c+b = 30$.
$b=10$ दिया गया है,अतः $a+c = 20$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 15\sqrt{3}$.
$15\sqrt{3} = \sqrt{15(15-a)(15-10)(15-c)} = \sqrt{75(15-a)(15-c)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $225 \times 3 = 75(15-a)(15-c) \Rightarrow 9 = (15-a)(15-c) = 225 - 15(a+c) + ac$.
$9 = 225 - 15(20) + ac$ $\Rightarrow 9 = 225 - 300 + ac$ $\Rightarrow ac = 84$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}(84) \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow 42 \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sin B = \frac{5\sqrt{3}}{14}$.
तब $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \frac{75}{196} = \frac{121}{196} \Rightarrow \cos B = \frac{11}{14}$.
अंत में,$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{1-\cos B}} = \sqrt{\frac{1 + 11/14}{1 - 11/14}} = \sqrt{\frac{25/14}{3/14}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(D) हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} = \frac{1+\cos A}{2} + \frac{1+\cos B}{2} + \frac{1+\cos C}{2}$.
$= \frac{1}{2} \{3 + (\cos A + \cos B + \cos C)\}$.
सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है और $R$ त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है:
$= \frac{1}{2} \{3 + 1 + \frac{r}{R}\}$.
$= \frac{1}{2} \{4 + \frac{r}{R}\}$.
$= 2 + \frac{r}{2R}$.

(C) . $\because \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
साथ ही,$\frac{r}{s-a} = \frac{\Delta}{s(s-a)} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
$\therefore \tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$. अतः,$A-V$.
$B$. आकृति से,$r = IF = (AI) \sin \frac{A}{2} = (AI) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$. अतः,$B-I$.
$C$. $SI$ परिकेंद्र और अंतःकेंद्र के बीच की दूरी है,जो $SI = \sqrt{R^2 - 2rR}$ द्वारा दी जाती है।
वर्ग करने पर $(SI)^2 = R^2 - 2rR$ प्राप्त होता है,इसलिए $(SI)^2 + 2Rr = R^2$. अतः,$C-II$.
$D$. हम जानते हैं कि $r_1 + r_2 + r_3 = 4R + r$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2(r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1)$.
$r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = s^2$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2s^2 = (4R + r + \sqrt{2}s)(4R + r - \sqrt{2}s)$ प्राप्त होता है। अतः,$D-III$.

(A) त्रिभुज $ABC$ के लिए दिया गया है: $c=9, s=10, \Delta=10\sqrt{2}$.
नेपियर सादृश्य का उपयोग करते हुए: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}\cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s(s-c)}{\Delta} = \frac{10(10-9)}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b}$.
अब,इस मान को $b\left[1+\sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= b\left[1 + \frac{a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{a+b+a-b}{a+b}\right] = b\left[\frac{2a}{a+b}\right]$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a\left[\frac{2b}{a+b}\right] = a\left[\frac{(a+b)-(a-b)}{a+b}\right] = a\left[1 - \frac{a-b}{a+b}\right]$.
$\frac{a-b}{a+b} = \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$ को वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= a\left[1 - \sqrt{2}\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$.

(C) माना $O$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। माध्यिकाएँ $AD$ और $BE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हम जानते हैं कि केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिया गया है $AD = \frac{7}{2}$,इसलिए $AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{3}$.
$\triangle AOB$ में,$\angle OAB = \frac{\pi}{8}$ और $\angle OBA = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\angle AOB = \pi - (\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{3\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$.
$\triangle AOB$ में ज्या नियम (Sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{AO}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{BO}{\sin(\frac{\pi}{8})}$.
$BO = \frac{AO \sin(\frac{\pi}{8})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{7/3 \times \sin(\frac{\pi}{8})}{1/\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{3} \sin(\frac{\pi}{8})$.
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AO \times BO \times \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{3} \times \frac{7\sqrt{2}}{3} \sin(\frac{\pi}{8}) \times \sin(\frac{5\pi}{8})$.
चूँकि $\sin(\frac{5\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$,$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $\frac{49\sqrt{2}}{18} \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{49\sqrt{2}}{18} \times \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{49\sqrt{2}}{36} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{49}{36}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $3 \times \triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $3 \times \frac{49}{36} = \frac{49}{12}$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $x-1, x, x+1$ हैं जहाँ $x > 2$ है। सबसे छोटी भुजा $x-1$ है और सबसे बड़ी भुजा $x+1$ है। माना सबसे छोटा कोण $\theta$ (भुजा $x-1$ के सम्मुख) है और सबसे बड़ा कोण $2\theta$ (भुजा $x+1$ के सम्मुख) है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:
$\cos(2\theta) = \frac{x^2 + (x-1)^2 - (x+1)^2}{2x(x-1)} = \frac{x^2 + x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{2x(x-1)} = \frac{x^2 - 4x}{2x(x-1)} = \frac{x-4}{2(x-1)}$
ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए:
$\frac{x+1}{\sin(2\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \frac{x+1}{2\sin(\theta)\cos(\theta)} = \frac{x-1}{\sin(\theta)} \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{x+1}{2(x-1)}$
चूँकि $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{x-4}{2(x-1)} = 2\left(\frac{x+1}{2(x-1)}\right)^2 - 1 = \frac{(x+1)^2}{2(x-1)^2} - 1 = \frac{x^2+2x+1 - 2(x^2-2x+1)}{2(x-1)^2} = \frac{-x^2+6x-1}{2(x-1)^2}$
$\frac{x-4}{x-1} = \frac{-x^2+6x-1}{(x-1)^2}$ को हल करने पर $x=5$ प्राप्त होता है।
भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2}$ है।
क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

(A) दिया गया है $a=4k, b=5k, c=6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4k \times 5k \times 6k}{4 \times \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{120k^3}{15k^2\sqrt{7}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{k\sqrt{7}} = \frac{16}{7}$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ के लिए,
$r_1+r_2 = 2R(1+\cos C)$।
अतः,$\frac{1+\cos C}{r_1+r_2} = \frac{1}{2R}$।
इसी प्रकार,$\frac{1+\cos A}{r_2+r_3} = \frac{1}{2R}$ और $\frac{1+\cos B}{r_1+r_3} = \frac{1}{2R}$।
इन तीनों को जोड़ने पर,$\frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
हमें $r + r_3 + r_2 - r_1$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r + r_3 + r_2 - r_1 = \frac{\Delta}{s} + \frac{\Delta}{s-c} + \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}$
$= \Delta \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s-a} \right) + \Delta \left( \frac{1}{s-c} + \frac{1}{s-b} \right)$
$= \Delta \left( \frac{s-a-s}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{s-b+s-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} \right) + \Delta \left( \frac{2s-b-c}{(s-c)(s-b)} \right)$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-b-c = a$ है।
$= \Delta \left( \frac{-a}{s(s-a)} + \frac{a}{(s-c)(s-b)} \right)$
$= \Delta a \left( \frac{-(s-c)(s-b) + s(s-a)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} \right)$
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\Delta a}{\Delta^2} (-(s^2 - (b+c)s + bc) + (s^2 - as)) = 0$
अतः,सही विकल्प $\cos A$ है।

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\Delta^2}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{(s-a)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-b)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-c)^2}{\Delta^2}+\frac{s^2}{\Delta^2}\right)$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2+s^2\right]$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c-b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2\right]$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2} \cdot \frac{1}{4} \left[(b+c-a)^2 + (a+c-b)^2 + (a+b-c)^2 + (a+b+c)^2\right]$
वर्गों का विस्तार करने पर,सभी अतिरिक्त पद कट जाएंगे:
$= \frac{1}{4(a^2+b^2+c^2)} \left[4(a^2+b^2+c^2)\right] = 1$.

(A) दिया गया है कि $r = r_1 - r_2 - r_3$।
मानक सूत्रों $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s} = \frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} = \frac{1}{s-a} - \frac{1}{s}$
$\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} = \frac{s-(s-a)}{s(s-a)}$
$\frac{2s-b-c}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-b-c = a$:
$\frac{a}{(s-b)(s-c)} = \frac{a}{s(s-a)}$
$s(s-a) = (s-b)(s-c)$
$s^2 - sa = s^2 - s(b+c) + bc$
$s(b+c-a) = bc$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर:
$\frac{a+b+c}{2} \times (b+c-a) = bc$
$(b+c)^2 - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = 2bc$
$b^2 + c^2 = a^2$
यह दर्शाता है कि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{a}{2}$,इसलिए $2R = a$।

(D) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
दिया गया है $rr_1 = 42$,अतः $\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = 42$. $(i)$
दिया गया है $r_1 - r = 6.5$,अतः $\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s} = 6.5$.
$\frac{\Delta(s - (s-a))}{s(s-a)} = 6.5 \Rightarrow \frac{\Delta a}{s(s-a)} = 6.5$. (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,$\frac{\Delta}{a} = \frac{42}{6.5} = \frac{84}{13}$.
गणना करने पर $s(s-a) = 168$ प्राप्त होता है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 5k, b = 5k, c = 6k$ हैं।
अंतःत्रिज्या के सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करते हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{5k + 5k + 6k}{2} = 8k$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{8k(3k)(3k)(2k)} = \sqrt{144k^4} = 12k^2$ है।
दिया है $r = 6$,अतः $6 = \frac{12k^2}{8k}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow k = 4$ है।
भुजाएँ $20, 20, 24$ हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज में,आधार $6k$ पर डाला गया शीर्षलंब इसे $3k$ आधार और $5k$ कर्ण वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
शीर्षलंब की लंबाई $\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$ है।
माना शीर्ष कोण $2\theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$ है।
शीर्ष कोण $2\theta$ है,जहाँ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3/4)}{1 - (9/16)} = \frac{24}{7}$ है।
अतः,सबसे बड़ा कोण $\tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right)$ है।

(D) शर्त $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ तीन रेखाओं $a_i x + b_i y + c_i = 0$ $(i = 1, 2, 3)$ के संगामी होने के लिए आवश्यक शर्त है।
यदि रेखाएँ समांतर नहीं हैं (अर्थात,$i \neq j$ के लिए $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j}$),तो सारणिक का मान शून्य होने का अर्थ है कि तीनों रेखाएँ एक सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,यदि $i \neq j$ के लिए $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j} \neq \frac{c_i}{c_j}$ है,तो रेखाएँ संगामी हैं।

(A) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं:
$\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$
$\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$
$\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
$x = -2$ रखने पर:
$\sinh^{-1}(-2) = \log(-2 + \sqrt{5})$
$\operatorname{cosech}^{-1}(-2) = \log\left(-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1}\right) = \log\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$
$\coth^{-1}(-2) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{-1}{-3}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1}{3}\right) = \log\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
इनका योग करने पर:
$\log(-2 + \sqrt{5}) + \log\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \log\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \log\left[(-2 + \sqrt{5}) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$
$= \log\left[\frac{-2\sqrt{5} + 2 + 5 - \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right] = \log\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right)$

(C) हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \right)$.
दिया गया समीकरण: $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=\log _e k$.
सबसे पहले,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2} \right) = \log_e \left( 2(1+\sqrt{3/4}) \right) = \log_e (2+\sqrt{3})$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}+1} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{25}{9}} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right) = \log_e(3)$ ज्ञात करें।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\log_e(2+\sqrt{3}) - \log_e(3) = \log_e k$.
$\log_e \left( \frac{2+\sqrt{3}}{3} \right) = \log_e k$.
अतः,$k = \frac{2+\sqrt{3}}{3}$,जिसका अर्थ है $3k - 2 = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3k-2)^2 = 3$.
$9k^2 - 12k + 4 = 3$.
$9k^2 - 12k + 1 = 0$.

(D) दी गई असमिका $\sqrt{x+2} > \sqrt{8-x^2}$ है।
सबसे पहले,फलन का प्रांत निर्धारित करते हैं:
$x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ $(i)$
$8-x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 8$ $\Rightarrow x \in [-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}]$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को मिलाने पर,प्रांत $x \in [-2, 2\sqrt{2}]$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x+2 > 8-x^2$
$x^2 + x - 6 > 0$
$(x+3)(x-2) > 0$
यह असमिका $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$ $(iii)$ के लिए सत्य है।
प्रांत $[-2, 2\sqrt{2}]$ और हल $(iii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in (2, 2\sqrt{2}]$.
इस अंतराल में $x$ का अधिकतम मान $2\sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos(3x + 5) + 7$ है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos(ax + b) + c$ का आवर्तकाल ज्ञात करने का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{|a|}$ है।
यहाँ दिए गए व्यंजक में,$a = 3$ है।
अतः,आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{|3|} = \frac{2 \pi}{3}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_n$ समीकरण $x^n-2=0$ के $n$ भिन्न मूल हैं।
अतः,हम बहुपद को $x^n-2 = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)$ के रूप में लिख सकते हैं।
समीकरण में $x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1^n - 2 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
$-1 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 + (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,यदि $\alpha_i$,$f(x)=0$ के मूल हैं,तो $f(\alpha_i)=0$ होगा। यदि हम $f(g(x))=0$ पर विचार करें,तो $g(x)$ को मूलों $\alpha_i$ में से एक के बराबर होना चाहिए। अतः,$x = g^{-1}(\alpha_i)$।
इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है और $(A)$ की सही व्याख्या करता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}=f(x)+\frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+1)(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$H(x)=(x-1)(x+1)(x-2)f(x)+g(x)$
अब,$x=-1, 2, 1$ पर $H(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x=-1$ के लिए: $H(-1)=( -1-1)( -1+1)( -1-2)f(-1)+g(-1) = 0+g(-1) = g(-1)$
$x=2$ के लिए: $H(2)=(2-1)(2+1)(2-2)f(2)+g(2) = 0+g(2) = g(2)$
$x=1$ के लिए: $H(1)=(1-1)(1+1)(1-2)f(1)+g(1) = 0+g(1) = g(1)$
इन मानों को $H(-1)+2H(2)-3H(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$H(-1)+2H(2)-3H(1) = g(-1)+2g(2)-3g(1)$

(C) दिया गया है $f(1)=3$ और $f(n+1)-f(n)=3(4^n-1)$।
हम इस पुनरावृत्ति को टेलीस्कोपिंग योग के रूप में लिख सकते हैं:
$f(n) = f(1) + \sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k))$
$f(n) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 3(4^k-1)$
$f(n) = 3 + 3 \left( \sum_{k=1}^{n-1} 4^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 \right)$
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1} = \frac{4^n-4}{3}$ का उपयोग करते हुए:
$f(n) = 3 + 3 \left( \frac{4^n-4}{3} - (n-1) \right)$
$f(n) = 3 + (4^n-4) - 3(n-1)$
$f(n) = 3 + 4^n - 4 - 3n + 3$
$f(n) = 4^n - 3n + 2$

(D) दिया गया है $f(n) = A(-2)^n + B(-3)^n$.
समीकरण $f(n) + a f(n-1) + b f(n-2) = 0$ में $f(n)$ का मान रखने पर:
$A(-2)^n + B(-3)^n + a(A(-2)^{n-1} + B(-3)^{n-1}) + b(A(-2)^{n-2} + B(-3)^{n-2}) = 0$.
$A$ और $B$ वाले पदों को समूहबद्ध करने पर:
$A(-2)^{n-2} [(-2)^2 + a(-2) + b] + B(-3)^{n-2} [(-3)^2 + a(-3) + b] = 0$.
$A(-2)^{n-2} [4 - 2a + b] + B(-3)^{n-2} [9 - 3a + b] = 0$.
चूंकि यह सभी $A, B$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4 - 2a + b = 0 \implies b - 2a = -4$.
$9 - 3a + b = 0 \implies b - 3a = -9$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(b - 2a) - (b - 3a) = -4 - (-9) \implies a = 5$.
$a=5$ को $b - 2a = -4$ में रखने पर:
$b - 10 = -4 \implies b = 6$.
अंत में,$(a+b)(b-a) = (5+6)(6-5) = 11 \times 1 = 11$.

(C) दिया गया समीकरण $x^4-8x^3+11x^2+32x-60=0$ है।
गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके मूल ज्ञात करने पर,हमें $x = -2, 2, 3, 5$ प्राप्त होते हैं।
बहुपद का गुणनखंड करने पर,$(x+2)(x-2)(x-3)(x-5)=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ है,इसलिए $\alpha = -2, \beta = 2, \gamma = 3, \delta = 5$ है।
अब,$4\alpha+3\beta+2\gamma+\delta$ का मान ज्ञात करने पर:
$4(-2) + 3(2) + 2(3) + 5 = -8 + 6 + 6 + 5 = 9$.

(A) $\frac{x^5-5}{x^3+x^2}$ का बहुपद विभाजन करने पर:
$\frac{x^5-5}{x^3+x^2} = x^2 - x + 1 + \frac{-x^2-5}{x^3+x^2}$
अतः,$f(x) = x^2 - x + 1$ और $\frac{-x^2-5}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$.
$x^2(x+1)$ से गुणा करने पर:
$-x^2-5 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$
$-x^2-5 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$B = -5$,$A+B = 0 \Rightarrow A = 5$,$A+C = -1 \Rightarrow C = -6$.
दिया है $f(K) + A + B + C = 1$:
$(K^2 - K + 1) + 5 - 5 - 6 = 1$
$K^2 - K - 6 = 0$
$(K-3)(K+2) = 0$
$K = 3$ या $K = -2$.
$K$ का बड़ा मान $3$ है।

(B) कथन $I$ के लिए: $x_1+x_2+x_3+x_4=n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n=10$ और $r=4$ है,इसलिए हलों की संख्या $\binom{10-1}{4-1} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ है।
चूंकि $84 \neq 286$,कथन $I$ गलत है।
कथन $II$ के लिए: $m!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र $\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{m}{p^k}]$ द्वारा दिया जाता है।
$25!$ में $5$ का घातांक $[\frac{25}{5}] + [\frac{25}{25}] = 5 + 1 = 6$ है।
$25!$ में $2$ का घातांक $[\frac{25}{2}] + [\frac{25}{4}] + [\frac{25}{8}] + [\frac{25}{16}] = 12 + 6 + 3 + 1 = 22$ है।
चूंकि $5$ का घातांक $6$ है और $2$ का घातांक $22$ है,$25!$ को विभाजित करने वाली $10$ की अधिकतम घात $10^6$ है।
अतः,$25! = 10^6 \times k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है जो $10$ से विभाज्य नहीं है।
इसलिए,कथन $II$ सही है।

(A) दिया है: $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,और $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$.
सबसे पहले,$P(A)$ ज्ञात करें:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हमें $P(\bar{A} \cap B)$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+ax-b=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = -b$ है।
वक्र $(\frac{x}{\alpha})^n + (\frac{y}{\beta})^n = 2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{\alpha}(\frac{x}{\alpha})^{n-1} + \frac{n}{\beta}(\frac{y}{\beta})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{\beta}{\alpha}$ है।
रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = c$ की ढाल $-\cot \theta$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\cot \theta = -\frac{\beta}{\alpha} \implies \cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$।
चूंकि रेखा बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है,इसलिए $\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = c$।
$\cot \theta = \frac{\beta}{\alpha}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ और $\sin \theta = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\alpha(\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) + \beta(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) = c \implies \frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$।
हमें $(\frac{a}{b})^2 + \frac{2}{b} = (\frac{-(\alpha+\beta)}{-\alpha\beta})^2 + \frac{2}{-\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha\beta)^2} - \frac{2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$ से,$\alpha^2+\beta^2 = \frac{4\alpha^2\beta^2}{c^2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{4\alpha^2\beta^2/c^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{4}{c^2}$।

(A) माना वक्र $ax^2+by^2=1$ $(i)$ और $cx^2+dy^2=1$ (ii) हैं।
$(i)$ में से (ii) घटाने पर,हमें $(a-c)x^2 + (b-d)y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = -\frac{b-d}{a-c} y^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$.
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2ax + 2byy' = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y'_1 = -\frac{ax}{by}$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2cx + 2dyy' = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y'_2 = -\frac{cx}{dy}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ पर उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$y'_1 \cdot y'_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{ax}{by}\right) \left(-\frac{cx}{dy}\right) = -1 \Rightarrow \frac{acx^2}{bdy^2} = -1$.
$x^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{ac}{bd} \left(\frac{d-b}{a-c}\right) = -1 \Rightarrow ac(d-b) = -bd(a-c) \Rightarrow acd - abc = -abd + bcd$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $abd - abc = bcd - acd \Rightarrow ab(d-c) = cd(b-a)$.
अतः,$\frac{b-a}{d-c} = \frac{ab}{cd}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^4+3 x+1}{(x+1)^2(x-1)}=A x+B+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{x-1}$.
सबसे पहले,$x^4+3x+1$ को $(x+1)^2(x-1) = x^3+x^2-x-1$ से विभाजित करने पर,भागफल $(x-1)$ और शेषफल $3x^2+3x$ प्राप्त होता है। अतः,$Ax+B = x-1$,जिसका अर्थ है $A=1$ और $B=-1$.
अब,$\frac{3x^2+3x}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2} + \frac{E}{x-1}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)^2(x-1)$ से गुणा करने पर: $3x^2+3x = C(x+1)(x-1) + D(x-1) + E(x+1)^2$.
$x=1$ रखने पर: $3(1)^2+3(1) = E(1+1)^2 \Rightarrow 6 = 4E \Rightarrow E = 3/2$.
$x=-1$ रखने पर: $3(-1)^2+3(-1) = D(-1-1) \Rightarrow 0 = -2D \Rightarrow D = 0$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3 = C + E \Rightarrow 3 = C + 3/2 \Rightarrow C = 3/2$.
इस प्रकार,$A=1, B=-1, C=3/2, D=0, E=3/2$.
अतः,$A+B+C+D+E = 1 - 1 + 3/2 + 0 + 3/2 = 6/2 = 3$.

(A) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{5x^4+4x^2+7}{(x^2+1)(x^4+x^2+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx^3+Dx^2+Ex+F}{x^4+x^2+1}$
दोनों पक्षों को हर $(x^2+1)(x^4+x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x^4+4x^2+7 = (Ax+B)(x^4+x^2+1) + (Cx^3+Dx^2+Ex+F)(x^2+1)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$5x^4+4x^2+7 = Ax^5+Ax^3+Ax + Bx^4+Bx^2+B + Cx^5+Cx^3+Dx^4+Dx^2+Ex^3+Ex+Fx^2+F$
$x$ की समान घातों के गुणांकों को समूहित करने पर:
$5x^4+4x^2+7 = (A+C)x^5 + (B+D)x^4 + (A+C+E)x^3 + (B+D+F)x^2 + (A+E)x + (B+F)$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 0$
$2) B+D = 5$
$3) A+C+E = 0$
$4) B+D+F = 4$
$5) A+E = 0$
$6) B+F = 7$
$(1)$ और $(3)$ से,चूंकि $A+C=0$,हमें $E=0$ प्राप्त होता है।
$(5)$ से,$A+E=0 \implies A=0$,जिसका अर्थ है कि $C=0$।
$(2)$ से,$B+D=5$। $(4)$ से,$(B+D)+F=4 \implies 5+F=4 \implies F=-1$।
$(6)$ से,$B+F=7 \implies B-1=7 \implies B=8$।
अतः $D = 5-B = 5-8 = -3$।
इस प्रकार,$A=0, B=8, C=0, D=-3, E=0, F=-1$।
व्यंजक की गणना करने पर:
$B+2(D+F+E)-C \cdot A = 8 + 2(-3-1+0) - 0 \cdot 0 = 8 + 2(-4) - 0 = 8-8 = 0$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x+1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+1)$ से गुणा करने पर:
$2x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$2x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$2x+1 = x^3(A+C) + x^2(-A+B-2C+D) + x(A+C-2D) + (-A+B+D)$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 0$
$2) -A+B-2C+D = 0$
$3) A+C-2D = 2$
$4) -A+B+D = 1$
$(1)$ से,$C = -A$. $(3)$ में रखने पर: $A-A-2D = 2 \Rightarrow -2D = 2 \Rightarrow D = -1$.
$D = -1$ को $(4)$ में रखने पर: $-A+B-1 = 1 \Rightarrow -A+B = 2 \Rightarrow B = A+2$.
$C = -A, D = -1, B = A+2$ को $(2)$ में रखने पर: $-A+(A+2)-2(-A)+(-1) = 0 \Rightarrow 2A+1 = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$.
अतः $B = -\frac{1}{2}+2 = \frac{3}{2}$ और $C = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$A+B+C+D = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(B) हमारे पास असमिका है: $9 x-2 < (x+2)^2 < 12 x-3$
इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
भाग $I$: $9 x-2 < (x+2)^2$
$9 x-2 < x^2+4 x+4$
$x^2-5 x+6 > 0$
$(x-3)(x-2) > 0$
अतः,$x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ ... $(i)$
भाग $II$: $(x+2)^2 < 12 x-3$
$x^2+4 x+4 < 12 x-3$
$x^2-8 x+7 < 0$
$(x-7)(x-1) < 0$
अतः,$x \in (1, 7)$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \in (1, 2) \cup (3, 7)$
इस अंतराल में $x$ के पूर्णांक मान $\{4, 5, 6\}$ हैं।
अतः,पूर्णांक मानों की संख्या $3$ है.

(C) दिए गए शीर्ष $A(4,7,8)$,$B(2,3,4)$ और $C(2,5,7)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (7-5)^2 + (8-7)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण $A$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB:AC = 6:3 = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $D$,$BC$ पर एक बिंदु है जो इसे $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{13}{3}, \frac{18}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
आंतरिक समद्विभाजक की लंबाई दूरी $AD$ है:
$AD = \sqrt{(4-2)^2 + (7 - \frac{13}{3})^2 + (8-6)^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 34}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{34}$.

(B) दिया गया है कि बिंदु $A(-1,0,7), B(3,2, t)$ और $C(5, k,-2)$ संरेख हैं,इसलिए $AB$ और $BC$ के दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
$\frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{2-0}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$\frac{4}{2} = \frac{2}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$2 = \frac{2}{k-2} \Rightarrow k-2 = 1 \Rightarrow k = 3$
$2 = \frac{t-7}{-2-t} \Rightarrow -4-2t = t-7 \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$
अतः,बिंदु $B(3,2,1)$ और $C(5,3,-2)$ हैं।
बिंदु $P$ का मान $P(t, k-2t, t+k) = P(1, 3-2(1), 1+3) = P(1, 1, 4)$ है।
मान लीजिए कि $P$ रेखाखंड $BC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$x$-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$1 = \frac{\lambda(5) + 1(3)}{\lambda + 1}$
$\lambda + 1 = 5\lambda + 3$
$-2 = 4\lambda$
$\lambda = -\frac{1}{2}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $-1: 2$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(4,3,2), B(5,4,6)$ और $C(-1,-1,5)$ हैं।
सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(5-4)^2 + (4-3)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-3)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण $A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को उन भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जो कोण बनाती हैं,जो $AB : AC = 3\sqrt{2} : 5\sqrt{2} = 3 : 5$ है।
मान लीजिए $D$ भुजा $BC$ पर वह बिंदु है जहाँ समद्विभाजक मिलता है। $D$,$BC$ को $3:5$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र $D = \left(\frac{mx_C + nx_B}{m+n}, \frac{my_C + ny_B}{m+n}, \frac{mz_C + nz_B}{m+n}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$x_D = \frac{3(-1) + 5(5)}{3+5} = \frac{22}{8}$.
$y_D = \frac{3(-1) + 5(4)}{3+5} = \frac{17}{8}$.
$z_D = \frac{3(5) + 5(6)}{3+5} = \frac{45}{8}$.
अतः,बिंदु $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{22}{8}, \frac{17}{8}, \frac{45}{8}\right)$ हैं।

(C) मान लीजिए कि शीर्ष $A(1,2,5), B(-1,6,1), C(3,4,-3)$ और $D(5,0,1)$ हैं।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (6-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$BC = \sqrt{(3-(-1))^2 + (4-6)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$CD = \sqrt{(5-3)^2 + (0-4)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$DA = \sqrt{(1-5)^2 + (2-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 6)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
अब,हम विकर्णों की जांच करते हैं:
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(5-(-1))^2 + (0-6)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
चूंकि विकर्ण भी समान हैं $(AC = BD = 6\sqrt{2})$,इसलिए यह चतुर्भुज एक वर्ग है।

(B) बोनफेरोनी की असमानता के अनुसार,किसी भी घटनाओं $A_1, A_2, \ldots, A_n$ के लिए,हमारे पास है:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{n} P(A_i) - (n-1)$.
$n = 15$ के लिए,असमानता इस प्रकार हो जाती है:
$P\left(\bigcap_{i=1}^{15} A_i\right) \geq \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - (15-1) = \sum_{i=1}^{15} P(A_i) - 14$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(B) समीकरण $2x^2+x-1=0$ के लिए,$2x^2+2x-x-1=0 \Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0$,अतः $x = \frac{1}{2}, -1$। चूँकि प्रायिकता $P \in [0, 1]$,हम $P_1 = \frac{1}{2}$ लेते हैं।
समीकरण $3x^2-10x+3=0$ के लिए,$3x^2-9x-x+3=0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3)=0$,अतः $x = \frac{1}{3}, 3$। चूँकि प्रायिकता $P \in [0, 1]$,हम $P_2 = \frac{1}{3}$ लेते हैं।
समीकरण $6x^2+11x-2=0$ के लिए,$6x^2+12x-x-2=0 \Rightarrow 6x(x+2)-1(x+2)=0$,अतः $x = \frac{1}{6}, -2$। चूँकि प्रायिकता $P \in [0, 1]$,हम $P_3 = \frac{1}{6}$ लेते हैं।
प्रायिकताओं का योग $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$।
चूँकि घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ है,इसलिए घटनाएँ निःशेष हैं।

(D) अंकों ${4, 5, 6, 7, 8, 9}$ का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ बनाई जा सकने वाली $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $6^4 = 1296$ है।
संख्या $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ के लिए,अंकों का योग $S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4$ है।
एक संख्या $3$ से तभी विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
प्रत्येक शेषफल $0, 1, 2$ के लिए दो अंक उपलब्ध हैं।
किसी भी $d_1, d_2, d_3$ के लिए,$d_4$ का चयन इस प्रकार करना होगा कि योग $3$ से विभाज्य हो।
कुल $6$ विकल्पों में से $2$ विकल्प अनुकूल हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के वास्तविक मूल होते हैं यदि विविक्तकर $D = a^2 - 4b \geq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \geq 4b$.
चूंकि $a \in \{3, 4, 5\}$ और $b \in \{1, 2, 3, 4\}$,कुल संभावित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
प्रत्येक युग्म के लिए शर्त $a^2 \geq 4b$ की जाँच करने पर:
यदि $a=3$,$a^2=9$: $9 \geq 4b \implies b \leq 2.25$. $b$ के संभावित मान $1, 2$ हैं ($2$ युग्म)।
यदि $a=4$,$a^2=16$: $16 \geq 4b \implies b \leq 4$. $b$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4$ हैं ($4$ युग्म)।
यदि $a=5$,$a^2=25$: $25 \geq 4b \implies b \leq 6.25$. $b$ के संभावित मान $1, 2, 3, 4$ हैं ($4$ युग्म)।
कुल अनुकूल परिणाम = $2 + 4 + 4 = 10$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ है।

(A) माना $P(B)=x$. तब,$P(A)=\frac{2}{3} x$ और $P(C)=\frac{1}{2} x$.
यदि $A, B, C$ निशेष और परस्पर अपवर्जी हैं,तो $P(A \cup B \cup C)=1$.
चूंकि वे परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
मान रखने पर: $\frac{2}{3} x + x + \frac{1}{2} x = 1$.
$\frac{4x + 6x + 3x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{13x}{6} = 1 \Rightarrow x = \frac{6}{13}$.
अतः,$P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{13}$,$P(B) = \frac{6}{13}$,और $P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{13} = \frac{3}{13}$.
अब,$P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है.

(B) दिया गया है कि एक सप्ताह में औसत जन्म $35$ है।
चूंकि एक सप्ताह में $7$ दिन होते हैं,इसलिए एक दिन में औसत जन्म $\lambda = \frac{35}{7} = 5$ है।
हम पॉइसन वितरण सूत्र $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ का उपयोग करेंगे।
हमें एक दिन में $3$ से कम जन्म होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ है।
$P(X = 0) = \frac{5^0 e^{-5}}{0!} = e^{-5}$.
$P(X = 1) = \frac{5^1 e^{-5}}{1!} = 5e^{-5}$.
$P(X = 2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X < 3) = e^{-5} + 5e^{-5} + \frac{25}{2}e^{-5} = e^{-5}(1 + 5 + 12.5) = 18.5e^{-5} = \frac{37}{2e^5}$.

(B) दिया गया प्रायिकता फलन $P(X=r) = r/k$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, 4, 5$ है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए:
$\sum_{r=1}^{5} P(X=r) = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} = 1$
$\frac{1+2+3+4+5}{k} = 1 \Rightarrow \frac{15}{k} = 1 \Rightarrow k = 15$।
हमें $P(X=2 \text{ या } X=k/3)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $k=15$ है,इसलिए $k/3 = 15/3 = 5$।
अतः,$P(X=2 \text{ या } X=5) = P(X=2) + P(X=5) = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7}{15}$।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $B$: $P(X=4 \text{ या } X=k/5) = P(X=4 \text{ या } X=15/5) = P(X=4 \text{ या } X=3) = \frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$।
इस प्रकार,$P(X=2 \text{ या } X=k/3) = P(X=4 \text{ या } X=k/5)$।