TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $(1+3x-2x^2)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है।
दिया गया है $P(1) = (1+3(1)-2(1)^2)^n = 128$.
$(1+3-2)^n = 128$ $\Rightarrow 2^n = 2^7$ $\Rightarrow n=7$.
हमें योग $S = \sum_{r=1}^{2n} r \frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^{2n}C_r}{^{2n}C_{r-1}} = \frac{2n-r+1}{r}$.
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{2n} r \left( \frac{2n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{2n} (2n-r+1)$.
यह $2n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
$S = (2n) + (2n-1) + \ldots + 1 = \frac{(2n)(2n+1)}{2} = n(2n+1)$.
$n=7$ के लिए,$S = 7(2(7)+1) = 7 \times 15 = 105$.

(B) दी गई व्यंजक: $f(x) = \sqrt{3+x} + \sqrt{5+x}$.
$3 < x < 5$ के लिए, हम पदों का विस्तार इस प्रकार करते हैं:
$f(x) = x^{1/2}(1 + 3/x)^{1/2} + \sqrt{5}(1 + x/5)^{1/2}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
पद $1$: $x^{1/2} [1 + \frac{1}{2}(\frac{3}{x}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(\frac{3}{x})^2 + \dots] = x^{1/2} + \frac{3}{2}x^{-1/2} - \frac{9}{8}x^{-3/2} + \dots$
$x^{-3/2}$ का गुणांक $-\frac{9}{8}$ है।
पद $2$: $\sqrt{5} [1 + \frac{1}{2}(\frac{x}{5}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(\frac{x}{5})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{6}(\frac{x}{5})^3 + \dots]$
$x^3$ का गुणांक $\sqrt{5} \times \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{6} \times \frac{1}{5^3} = \frac{1}{16 \times 5^{5/2}}$ है।
गुणांकों का योग: $-\frac{9}{8} + \frac{3 \times 5^{-5/2}}{8} = \frac{3 \times 5^{-5/2} - 18}{8}$.
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया है $n=10$,हमें $S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-4)$ का मूल्यांकन करना है।
पद का विस्तार करने पर: $r(r-4) = r(r-1) - 3r$.
अतः,$S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-1) - 3 \sum_{r=1}^{10} r {}^n C_r$.
सर्वसमिकाओं $r(r-1) {}^n C_r = n(n-1) {}^{n-2} C_{r-2}$ और $r {}^n C_r = n {}^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = n(n-1) \sum_{r=2}^{10} {}^{n-2} C_{r-2} - 3n \sum_{r=1}^{10} {}^{n-1} C_{r-1}$.
चूंकि $\sum_{k=0}^{m} {}^m C_k = 2^m$,इसलिए:
$S = n(n-1) 2^{n-2} - 3n 2^{n-1}$.
$n=10$ रखने पर:
$S = 10(9) 2^8 - 3(10) 2^9 = 90 \cdot 2^8 - 60 \cdot 2^8 = 30 \cdot 2^8$.
$S = 30 \times 256 = 7680$.

(A) द्विपद विस्तार $(1+y)^n$ के लिए जहाँ $|y| < 1$ हो,वह $1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \ldots$ होता है।
यहाँ,$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}$ का विस्तार सीधे द्विपद प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है,जो विकल्प $A$ में दिया गया है।

(B) दी गई श्रेणी $1 - \frac{3}{16} + \frac{1 \cdot 4}{2!} \left(\frac{3}{16}\right)^2 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3!} \left(\frac{3}{16}\right)^3 + \ldots$ है।
द्विपद प्रसार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ के साथ तुलना करने पर,
हमें $nx = -\frac{3}{16}$ और $\frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{2!} \left(\frac{3}{16}\right)^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $n(n-1)x^2 = 4 \left(\frac{3}{16}\right)^2$।
चूंकि $nx = -\frac{3}{16}$,इसलिए $x = -\frac{3}{16n}$ है।
$n(n-1)x^2 = 4(nx)^2$ में $x$ का मान रखने पर,$n(n-1) \left(-\frac{3}{16n}\right)^2 = 4 \left(-\frac{3}{16}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{n-1}{n} = 4$ $\Rightarrow n-1 = 4n$ $\Rightarrow 3n = -1$ $\Rightarrow n = -\frac{1}{3}$।
अतः $x = -\frac{3}{16(-1/3)} = \frac{9}{16}$।
इस प्रकार,योग $(1+x)^n = (1 + \frac{9}{16})^{-1/3} = (\frac{25}{16})^{-1/3} = (\frac{16}{25})^{1/3} = (\frac{4}{5})^{2/3}$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $(7+3x)^{-2/5} = 7^{-2/5}(1+\frac{3}{7}x)^{-2/5}$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = -2/5$ और $z = \frac{3x}{7}$ है।
$4^{th}$ पद $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} z^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$T_4 = 7^{-2/5} \times \frac{(-2/5)(-7/5)(-12/5)}{6} \times \frac{27x^3}{343}$
गणना करने पर $T_4 = -\frac{108}{125} \times 7^{-12/5} x^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -\frac{108}{125} \times 7^{-12/5}$।
इसलिए,$7^{12/5}k = -\frac{108}{125}$।

(C) दिया गया है,$A = \sin \theta |\sin \theta|$,$B = \cos \theta |\cos \theta|$ और $\frac{99 \pi}{2} \leq \theta \leq \frac{100 \pi}{2}$.
चूँकि $\frac{99 \pi}{2} = 49 \pi + \frac{\pi}{2}$ और $\frac{100 \pi}{2} = 50 \pi$,अतः कोण $\theta$ चौथे $(4^{\text{th}})$ चतुर्थांश में स्थित है।
चौथे चतुर्थांश में,$\sin \theta < 0$ और $\cos \theta > 0$ होता है।
इसलिए,$|\sin \theta| = -\sin \theta$ और $|\cos \theta| = \cos \theta$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$A = \sin \theta (-\sin \theta) = -\sin^2 \theta$ और $B = \cos \theta (\cos \theta) = \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$B - A = \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$।

(B) दिया गया है कि $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=2 \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x+\frac{1}{x}+2=4 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+\frac{1}{x}=2(2 \cos^2 \theta - 1) = 2 \cos 2 \theta$.
मान लीजिए $x = e^{i2\theta}$,तो $x^n + x^{-n} = 2 \cos(n \cdot 2\theta) = 2 \cos(2n\theta)$.
$n=6$ के लिए,$x^6 + x^{-6} = 2 \cos(2 \times 6 \theta) = 2 \cos 12 \theta$.

(D) दिया है,$\sin A = \frac{11}{61}$. चूंकि $A$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\sin A > 0$ है,इसलिए $A$ द्वितीय चतुर्थांश में है। अतः,$\cos A = -\frac{60}{61}$.
दिया है,$\cos B = \frac{-7}{25}$. चूंकि $B$ द्वितीय चतुर्थांश में नहीं है और $\cos B < 0$ है,इसलिए $B$ तृतीय चतुर्थांश में है। अतः,$\sin B = -\frac{24}{25}$.
$A-B$ के लिए:
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B = \frac{-1517}{1525} < 0$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B = \frac{156}{1525} > 0$.
अतः $A-B$ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
$A+B$ के लिए:
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{1363}{1525} > 0$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = \frac{684}{1525} > 0$.
अतः $A+B$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(C) $3 \cos \theta - 4 \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$ है। अतः,$a = 5$ है।
दिया गया है $\alpha = 5 \sin^2 \theta \cos^3 \theta$ और $\beta = 5 \sin^3 \theta \cos^2 \theta$।
तब $\alpha^2 + \beta^2 = 25 \sin^4 \theta \cos^6 \theta + 25 \sin^6 \theta \cos^4 \theta = 25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta$।
इसलिए,$(\alpha^2 + \beta^2)^5 = (25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta)^5 = 5^{10} \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta$।
साथ ही,$\alpha \beta = 25 \sin^5 \theta \cos^5 \theta$।
तब $(\alpha \beta)^4 = (25 \sin^5 \theta \cos^5 \theta)^4 = 5^8 \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta$।
अंत में,$\sqrt{\frac{(\alpha^2 + \beta^2)^5}{(\alpha \beta)^4}} = \sqrt{\frac{5^{10} \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta}{5^8 \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta}} = \sqrt{5^2} = 5$।

(D) माना $f(x) = \frac{\sin x}{\cos 3x} + \frac{\sin 3x}{\cos 9x} + \frac{\sin 9x}{\cos 27x} + \frac{\sin 27x}{\cos 81x}$.
सर्वसमिका $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{1}{2}(\tan 3x - \tan x)$.
इसी प्रकार,$\frac{\sin 3x}{\cos 9x} = \frac{1}{2}(\tan 9x - \tan 3x)$,
$\frac{\sin 9x}{\cos 27x} = \frac{1}{2}(\tan 27x - \tan 9x)$,
$\frac{\sin 27x}{\cos 81x} = \frac{1}{2}(\tan 81x - \tan 27x)$.
योग करने पर,$f(x) = \frac{1}{2}(\tan 81x - \tan x)$ प्राप्त होता है।
$\tan(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{|k|}$ होता है।
$\tan 81x$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{81}$ और $\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
अतः कुल आवर्तकाल $\text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{81}, \pi\right) = \pi$ होगा।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 5 \theta = \sin(3 \theta + 2 \theta) = \sin 3 \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \sin 2 \theta$.
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$,$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$,$\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$,और $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin 5 \theta = 5 \sin \theta \cos^4 \theta - 10 \sin^3 \theta \cos^2 \theta + \sin^5 \theta$.
इसे $a \cos^4 \theta \sin \theta + b \cos^2 \theta \sin^3 \theta + c \sin^5 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$b = -10$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$abc = 5 \times (-10) \times 1 = -50$.

(A) दिया गया है,$\frac{\cos (\theta_1+\theta_2)}{\cos (\theta_1-\theta_2)}+\frac{\cos (\theta_3-\theta_4)}{\cos (\theta_3+\theta_4)}=0$.
पहले पद के अंश और हर को $\cos \theta_1 \cos \theta_2$ से और दूसरे पद को $\cos \theta_3 \cos \theta_4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1-\tan \theta_1 \tan \theta_2}{1+\tan \theta_1 \tan \theta_2} + \frac{1-\tan \theta_3 \tan \theta_4}{1+\tan \theta_3 \tan \theta_4} = 0$.
मान लीजिए $x = \tan \theta_1 \tan \theta_2$ और $y = \tan \theta_3 \tan \theta_4$.
तब $\frac{1-x}{1+x} + \frac{1-y}{1+y} = 0$.
$(1-x)(1+y) + (1-y)(1+x) = 0$.
$1 + y - x - xy + 1 + x - y - xy = 0$.
$2 - 2xy = 0 \Rightarrow xy = 1$.
अतः,$(\tan \theta_1 \tan \theta_2)(\tan \theta_3 \tan \theta_4) = 1$.
इसलिए,$\cot \theta_1 \cot \theta_2 \cot \theta_3 \cot \theta_4 = \frac{1}{\tan \theta_1 \tan \theta_2 \tan \theta_3 \tan \theta_4} = \frac{1}{1} = 1$.

(C) दिया गया है,$x = \operatorname{sech}^{-1} \frac{1}{2} + \tanh^{-1} \frac{1}{2}$.
लघुगणकीय रूपों का उपयोग करने पर: $\operatorname{sech}^{-1} z = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1 - z^2}}{z} \right)$ और $\tanh^{-1} z = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + z}{1 - z} \right)$.
$z = \frac{1}{2}$ के लिए,$\operatorname{sech}^{-1} \frac{1}{2} = \ln (2 + \sqrt{3})$ और $\tanh^{-1} \frac{1}{2} = \ln \sqrt{3}$.
अतः,$x = \ln (2 + \sqrt{3}) + \ln \sqrt{3} = \ln (2\sqrt{3} + 3)$.
अब,$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
चूंकि $e^x = 2\sqrt{3} + 3$,तो $e^{-x} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}$.
इसलिए,$\cosh x = \frac{(2\sqrt{3} + 3) + \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3} + 6}{6} = \frac{4\sqrt{3} + 3}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण $25 \cos^2 \alpha + 5 \cos \alpha - 12 = 0$ है। मान लीजिए $x = \cos \alpha$। तब $25x^2 + 5x - 12 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$।
अतः,$x = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$ या $x = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5}$।
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,$\cos \alpha$ ऋणात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$।
अब,$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में $\sin \alpha > 0$ होता है)।
अंत में,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$।

(C) दिया गया है,$\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) - \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} = \frac{2+1}{2-1}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}} = \frac{3}{1}$.
$\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = 3$.
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan(x) \tan(x-50^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan(A+B)\tan(A-B) = \frac{\cos(2B)-\cos(2A)}{\cos(2B)+\cos(2A)}$ का उपयोग करने पर।
समीकरण को हल करने पर हमें $\sin(4x+100^{\circ}) = -\cos(50^{\circ})$ प्राप्त होता है।
$\sin(4x+100^{\circ}) = \sin(270^{\circ}-50^{\circ}) = \sin(220^{\circ})$.
$4x+100^{\circ} = 220^{\circ}$ $\Rightarrow 4x = 120^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.

(B) हमारे पास है,$\tan \alpha = 2 \sin \beta \sin \gamma \operatorname{cosec}(\beta + \gamma)$
$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2 \sin \beta \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$
$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2 \sin \beta \sin \gamma}{\sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma}$
अंश और हर को $\sin \beta \sin \gamma$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2}{\cot \gamma + \cot \beta}$
यह दर्शाता है कि $\cot \beta, \cot \alpha, \cot \gamma$ समांतर श्रेणी में हैं,जिसका अर्थ है कि उनके व्युत्क्रम $\tan \beta, \tan \alpha, \tan \gamma$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है,$f(n) = \cos(nx)(\sec x)^n$ और $g(n) = \sin(nx)(\sec x)^n$।
हमें $f(2020) - f(2019) + \tan x \cdot g(2019)$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(2020) - f(2019) + \tan x \cdot g(2019) = \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - \cos(2019x)(\sec x)^{2019} + \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \sin(2019x)(\sec x)^{2019}$।
अंतिम दो पदों से $(\sec x)^{2019}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \cos(2019x) - \frac{\sin x \sin(2019x)}{\cos x} \right]$।
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \frac{\cos x \cos(2019x) - \sin x \sin(2019x)}{\cos x} \right]$।
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \frac{\cos(2019x + x)}{\cos x} \right]$।
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - (\sec x)^{2019} \left[ \frac{\cos(2020x)}{\cos x} \right]$।
चूंकि $\frac{1}{\cos x} = \sec x$:
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - \cos(2020x)(\sec x)^{2019} \cdot \sec x$।
$= \cos(2020x)(\sec x)^{2020} - \cos(2020x)(\sec x)^{2020} = 0$।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \cos ^4 \frac{3 \pi}{8} - \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin ^4 \frac{5 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{7 \pi}{8} - \sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ और $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^4 \frac{5 \pi}{8} = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$
$\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$
$\sin^4 \frac{7 \pi}{8} = \sin^4 \frac{\pi}{8}$
मान रखने पर:
$E = \cos ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{\pi}{8}$
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{3}{4}$

(B) दिया गया है,$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x) = 4 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$.
मान लीजिए $t = \sin x$. चूँकि $0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$,$t$ का परिसर $[0, 1]$ है।
$f(t) = -3t^2 + 2t + 4$.
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = \frac{1}{3}$ पर है।
चूँकि $\frac{1}{3} \in [0, 1]$,अधिकतम मान $f(\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$ है।
अंतराल $[0, 1]$ में न्यूनतम मान अंतिम बिंदुओं $t = 0$ या $t = 1$ पर प्राप्त होता है।
$f(0) = 4$ और $f(1) = 3$.
अतः,न्यूनतम मान $3$ है।
अधिकतम और न्यूनतम का अनुपात $\frac{13/3}{3} = \frac{13}{9}$ अर्थात $13 : 9$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^{2020} x - \cos^{2020} x + 2019 = 2020$
$\Rightarrow \sin^{2020} x = 1 + \cos^{2020} x$
चूंकि $\sin^{2020} x$ का परिसर $[0, 1]$ है और $1 + \cos^{2020} x$ का परिसर $[1, 2]$ है,समानता केवल तब संभव है जब $\sin^{2020} x = 1$ और $\cos^{2020} x = 0$ हो।
इसका अर्थ है $\sin x = \pm 1$ और $\cos x = 0$।
अंतराल $\left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$ में $\cos x = 0$ के लिए $x$ के संभावित मान $x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ हैं।
इन मानों को $\sin^{2020} x = 1$ में जाँचने पर,तीनों मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,कुल $3$ वास्तविक मूल हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + 5 \cot \theta = \sec \theta$.
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ में बदलने पर:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{5 \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos \theta}$,जहाँ $\sin \theta \neq 0$ और $\cos \theta \neq 0$.
$\sin \theta \cos \theta$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \theta + 5 \cos^2 \theta = \sin \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta + 5(1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \sin^2 \theta + \sin \theta - 5 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(4 \sin \theta + 5)(\sin \theta - 1) = 0$.
इससे $\sin \theta = -\frac{5}{4}$ या $\sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,इसलिए $\sin \theta = -\frac{5}{4}$ को छोड़ देते हैं।
$\sin \theta = 1$ के लिए,$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
हालांकि,मूल समीकरण के लिए $\cos \theta \neq 0$ होना चाहिए। यदि $\sin \theta = 1$ है,तो $\cos \theta = 0$ हो जाता है,जो $\tan \theta$ और $\sec \theta$ के लिए अपरिभाषित है।
अतः,कोई हल नहीं है,और हल समुच्चय $\phi$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^4 x-(k+3) \sin ^2 x-k-4=0$.
यह $\sin ^2 x$ के रूप में एक द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin ^2 x = \frac{(k+3) \pm \sqrt{(k+3)^2 + 4(k+4)}}{2}$.
विविक्तकर (discriminant) को सरल करने पर: $(k+3)^2 + 4k + 16 = k^2 + 10k + 25 = (k+5)^2$.
अतः,$\sin ^2 x = \frac{(k+3) \pm (k+5)}{2}$.
इससे दो संभावित मान मिलते हैं: $\sin ^2 x = k+4$ या $\sin ^2 x = -1$.
चूंकि $\sin ^2 x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $\sin ^2 x = k+4$ होगा।
हम जानते हैं कि $0 \leq \sin ^2 x \leq 1$,इसलिए $0 \leq k+4 \leq 1$.
सभी पक्षों से $4$ घटाने पर,$-4 \leq k \leq -3$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin 2\theta + \sin 2\phi = \frac{1}{2}$ $(i)$
$\cos 2\theta + \cos 2\phi = \frac{3}{2}$ $(ii)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\sin 2\theta + \sin 2\phi)^2 = \frac{1}{4}$
$\sin^2 2\theta + \sin^2 2\phi + 2\sin 2\theta \sin 2\phi = \frac{1}{4}$ $(iii)$
$(\cos 2\theta + \cos 2\phi)^2 = \frac{9}{4}$
$\cos^2 2\theta + \cos^2 2\phi + 2\cos 2\theta \cos 2\phi = \frac{9}{4}$ $(iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) + (\sin^2 2\phi + \cos^2 2\phi) + 2(\cos 2\theta \cos 2\phi + \sin 2\theta \sin 2\phi) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$
$1 + 1 + 2\cos(2\theta - 2\phi) = \frac{10}{4}$
$2 + 2\cos 2(\theta - \phi) = \frac{5}{2}$
$2\cos 2(\theta - \phi) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$
$\cos 2(\theta - \phi) = \frac{1}{4}$
सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2(\theta - \phi) - 1 = \frac{1}{4}$
$2\cos^2(\theta - \phi) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$\cos^2(\theta - \phi) = \frac{5}{8}$

(A) तर्क: $\triangle PQR$ में,$P+Q+R=180^{\circ}$ होता है।
$\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} + \frac{R}{2} = 90^{\circ} \Rightarrow \frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = 90^{\circ} - \frac{R}{2}$.
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(90^{\circ} - \frac{R}{2}) = \cot \frac{R}{2}$.
$\frac{\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}}{1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{R}{2}}$.
$(\tan \frac{P}{2} + \tan \frac{Q}{2}) \tan \frac{R}{2} = 1 - \tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2}$.
$\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} + \tan \frac{Q}{2} \tan \frac{R}{2} + \tan \frac{R}{2} \tan \frac{P}{2} = 1$. अतः,$(R)$ सत्य है।
अभिकथन: दिया है $A=15^{\circ}, B=17^{\circ}, C=13^{\circ}$,तो $2A+2B+2C = 2(15^{\circ}+17^{\circ}+13^{\circ}) = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}$.
माना $P=4A, Q=4B, R=4C$. तब $P+Q+R = 4(15^{\circ}+17^{\circ}+13^{\circ}) = 180^{\circ}$.
$(R)$ से प्राप्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan 2A \tan 2B + \tan 2B \tan 2C + \tan 2C \tan 2A = 1$.
$\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{\cot 2A \cot 2B} + \frac{1}{\cot 2B \cot 2C} + \frac{1}{\cot 2C \cot 2A} = 1$.
$\frac{\cot 2C + \cot 2A + \cot 2B}{\cot 2A \cot 2B \cot 2C} = 1$.
$\cot 2A + \cot 2B + \cot 2C = \cot 2A \cot 2B \cot 2C$. अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ सही व्याख्या है।

(B) हमारे पास है,$\log (9+3 \sqrt{2}(2+\sqrt{5})+4 \sqrt{5})$
$= \log (9+6 \sqrt{2}+3 \sqrt{10}+4 \sqrt{5})$
$= \log ((3+\sqrt{10})(3+2 \sqrt{2}))$
$= \log (3+\sqrt{10}) + \log (3+\sqrt{8})$
$= \log (3+\sqrt{3^2+1}) + \log (3+\sqrt{3^2-1})$
सर्वसमिकाओं $\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ और $\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2-1})$ का उपयोग करने पर:
$= \sinh^{-1} 3 + \cosh^{-1} 3$

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः $\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{12})$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
समीकरण $\cos(\theta - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4})$ बन जाता है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$ है।

(D) दिया गया समीकरण है: $\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x = \cos x \sin 2 x \sec x+\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \cos 2 x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos 2 x \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right) \right] = \sin 2 x \sec x (\cos x - \sin x)$
सूत्र $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2 x \left[ 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin x \right] = \sin 2 x \sec x (\cos x - \sin x)$
चूंकि $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$:
$\cos 2 x \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \sin x \right) = (2 \sin x \cos x) \sec x (\cos x - \sin x)$
$\sqrt{2} \cos 2 x \sin x = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$
$\sin x \neq 0$ मानते हुए,$\sin x$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{2} (\cos^2 x - \sin^2 x) = 2 (\cos x - \sin x)$
$\sqrt{2} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 2 (\cos x - \sin x)$
यदि $\cos x - \sin x \neq 0$,तो $\sqrt{2} (\cos x + \sin x) = 2$,जिसका अर्थ है $\cos x + \sin x = \sqrt{2}$।
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = 1$,जो $\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$ है।
अतः,$x - \frac{\pi}{4} = 0$,इसलिए $x = \frac{\pi}{4}$।
अतः $\sec x = \sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$।

(A) दिया है $A+B+C=60^{\circ}$,अतः $\sin(A+B+C) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(30^{\circ})$.
माना $S = \cos(30^{\circ}-A)+\cos(30^{\circ}-B)+\cos(30^{\circ}-C)+\cos(30^{\circ})$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.
चूंकि $A+B = 60^{\circ}-C$,इसलिए $30^{\circ}-\frac{A+B}{2} = 30^{\circ}-\frac{60^{\circ}-C}{2} = \frac{C}{2}$.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{B-A}{2} + 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \frac{C}{2}$.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{B-A}{2} + \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \right]$.
$30^{\circ}-\frac{C}{2} = 30^{\circ}-\frac{60^{\circ}-A-B}{2} = \frac{A+B}{2}$ का उपयोग करने पर.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{B-A}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right] = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ 2 \cos \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \right]$.
$S = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

(B) दिया गया है,$\alpha = \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}$ और $\beta = \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x}$.
$\alpha \sin x + \beta \cos x + 3 = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} + 3$.
$= \frac{\sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$:
$= \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) + 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
$= \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
दिया गया है $\sin x + \cos x = k$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $1 + 2 \sin x \cos x = k^2$,इसलिए $\sin x \cos x = \frac{k^2 - 1}{2}$.
अतः,$\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{(\frac{k^2 - 1}{2})^2} = \frac{4}{(k^2 - 1)^2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 \cos ^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin ^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0$
$2 - 2 \sin ^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$
$2 \sin ^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$
अतः $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = 1$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$.
$\sin x = 1$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$.
त्रिभुज के दो कोण $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{2}$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $\pi$ होता है।
तीसरा कोण $= \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं: $\sin \theta \cosh \alpha = \tan x$ और $\cos \theta \sinh \alpha = \sec x$.
वर्ग करके घटाने पर: $\sec^2 x - \tan^2 x = (\cos \theta \sinh \alpha)^2 - (\sin \theta \cosh \alpha)^2$.
चूंकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,इसलिए: $\cos^2 \theta \sinh^2 \alpha - \sin^2 \theta \cosh^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ और $\sinh^2 \alpha = \cosh^2 \alpha - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta (\cosh^2 \alpha - 1) - (1 - \cos^2 \theta) \cosh^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \theta \cosh^2 \alpha - \cos^2 \theta - \cosh^2 \alpha + \cos^2 \theta \cosh^2 \alpha = 1$.
$2 \cos^2 \theta \cosh^2 \alpha - \cos^2 \theta - \cosh^2 \alpha = 1$.
सर्वसमिका $\cosh 2 \alpha = 2 \cosh^2 \alpha - 1$ और $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2 \theta \cosh 2 \alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $\cot \left(\frac{A}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} \cot \left(\frac{\theta}{2}\right)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\cot^2 \left(\frac{A}{2}\right) = \left(\frac{1+a}{1-a}\right) \cot^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$
$\cot^2 \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cos x}{1-\cos x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1+\cos A}{1-\cos A} = \left(\frac{1+a}{1-a}\right) \frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}$
$\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta} = \frac{(1+\cos A)(1-a)}{(1-\cos A)(1+a)} = \frac{1-a+\cos A-a \cos A}{1+a-\cos A-a \cos A}$
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का प्रयोग करने पर:
$\frac{(1+\cos \theta)+(1-\cos \theta)}{(1+\cos \theta)-(1-\cos \theta)} = \frac{(1-a+\cos A-a \cos A)+(1+a-\cos A-a \cos A)}{(1-a+\cos A-a \cos A)-(1+a-\cos A-a \cos A)}$
$\frac{2}{2 \cos \theta} = \frac{2-2a \cos A}{2 \cos A-2a}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{1-a \cos A}{\cos A-a}$
अतः,$\cos \theta = \frac{\cos A-a}{1-a \cos A}$

(A) . $\sin^2 x$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अतः,$A-V$.
$B$. $a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2+b^2}$ होता है। यहाँ,$\frac{\pi}{3} \sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2} = \frac{\pi}{3} \times 2 = \frac{2\pi}{3}$। अतः,$B-I$.
$C$. $\sin \frac{x}{3}$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है और $\cos \frac{x}{2}$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है। योग का आवर्तकाल $LCM(6\pi, 4\pi) = 12\pi$ है। अतः,$C-II$.
$D$. $y=|\sin x|$ और $y=1$ के लिए,$|\sin x|=1$,इसलिए $\sin x = \pm 1$। अंतराल $(0, \pi)$ में,$x = \frac{\pi}{2}$ पर $\sin x = 1$ होता है। अतः,$D-III$.
अतः,सही मिलान $A-V, B-I, C-II, D-III$ है।

(B) दिया गया है,$\cos x - \sin x = \sqrt{a} \sin x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos x = \sin x(\sqrt{a} + 1)$.
दोनों पक्षों को $(\sqrt{a} - 1)$ से गुणा करने पर:
$(\sqrt{a} - 1) \cos x = \sin x(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)$.
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sqrt{a} - 1) \cos x = \sin x(a - 1)$.
$\sqrt{a} \cos x - \cos x = a \sin x - \sin x$.
$a \sin x + \cos x - \sin x$ के लिए हल करने पर:
$a \sin x + \cos x - \sin x = \sqrt{a} \cos x$.

(B) दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{\cos \theta}{2} + \frac{\cos 2 \theta}{4} + \frac{\cos 3 \theta}{8} + \ldots$ है।
यह $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{2^n}$ के रूप की एक अनंत श्रेणी है।
$r = \frac{1}{2}$ के साथ सूत्र $\sum_{n=0}^{\infty} r^n \cos(n\theta) = \frac{1-r \cos \theta}{1-2r \cos \theta + r^2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1-\frac{1}{2} \cos \theta}{1-2(\frac{1}{2}) \cos \theta + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1-\frac{1}{2} \cos \theta}{1-\cos \theta + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{2-\cos \theta}{2}}{\frac{5-4 \cos \theta}{4}} = \frac{2(2-\cos \theta)}{5-4 \cos \theta} = \frac{4-2 \cos \theta}{5-4 \cos \theta}$.
इसे $\frac{a-2 \cos \theta}{5+b \cos \theta}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 4$ और $b = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a-b)^2 = (4 - (-4))^2 = (8)^2 = 64$.

(A) दी गई असमिका: $|\sin x-\cos ^2 x| \geq|3-3 \sin x+\sin ^2 x|+4|\sin x-1|$
$\cos ^2 x = 1-\sin ^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\sin ^2 x+\sin x-1| \geq|\sin ^2 x-3 \sin x+3|+|4 \sin x-4|$
माना $a = \sin ^2 x-3 \sin x+3$ और $b = 4 \sin x-4$ है। असमिका $|a+b| \geq |a|+|b|$ के रूप में है।
यह तभी संभव है जब $ab \geq 0$ हो।
यहाँ $a > 0$ है,इसलिए $b \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $\sin x \geq 1$।
चूँकि $\sin x$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\sin x = 1$।
अतः,$x = (4n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z$।

(C) दिया गया है $\theta = \tan^{-1}(2)$,इसलिए $\tan \theta = 2$.
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ और $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$.
इन्हें मूल समीकरण $3x^2 - 4xy = r^2$ में रखने पर:
गणना करने पर परिणाम $4Y^2 - X^2 = r^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = (0, 4)$ और $B = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$।
$P$,$AB$ को $2:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{2(2 \cos \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4 \cos \theta}{5} \Rightarrow \cos \theta = \frac{5x}{4}$
$y = \frac{2(2 \sin \theta) + 3(4)}{2 + 3} = \frac{4 \sin \theta + 12}{5} \Rightarrow \sin \theta = \frac{5y - 12}{4}$
चूँकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$\left(\frac{5x}{4}\right)^2 + \left(\frac{5y - 12}{4}\right)^2 = 1$
$25x^2 + (5y - 12)^2 = 16$
यह समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है।

(D) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$ और $D(x_4, y_4, z_4)$ हैं।
चूंकि प्रत्येक शीर्ष के निर्देशांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $y_i = x_i + d$ और $z_i = x_i + 2d$ है।
केंद्रक $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right) = (2, 3, k)$ है।
$x$-निर्देशांक से: $\frac{\sum x_i}{4} = 2 \implies \sum x_i = 8$.
$y$-निर्देशांक से: $\frac{\sum x_i + 4d}{4} = 3 \implies \frac{8 + 4d}{4} = 3 \implies d = 1$.
$z$-निर्देशांक से: $k = \frac{\sum x_i + 8d}{4} = \frac{8 + 8(1)}{4} = 4$.
अतः,$G = (2, 3, 4)$ है।
मूल बिंदु से दूरी $= \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$.

(B) शीर्ष $A(1,1), B(1,-1), C(-1,1)$ हैं।
$AB$ ऊर्ध्वाधर है और $AC$ क्षैतिज है,इसलिए $\triangle ABC$ बिंदु $A(1,1)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$1$. परिकेंद्र $S$: समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्यबिंदु होता है।
$S = (0,0)$.
$2$. लंबकेंद्र $O$: समकोण त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर होता है।
$O = A = (1,1)$.
$3$. अंतःकेंद्र $I$: भुजाओं की लंबाई $c=2, b=2, a=2\sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र $I = (\sqrt{2}-1, \sqrt{2}-1)$.
$OS = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$IS = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 2-\sqrt{2}$.
$IS + OS = (2-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 2$.

(A) भुजाओं के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं:
$AB: x-3y=0$
$AC: 3x-y=0$
$BC: x+y+4=0$
शीर्ष $B$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं $AB$ और $BC$ के समीकरणों को हल करते हैं:
$x-3y=0 \Rightarrow x=3y$
$x+y+4=0$ में $x=3y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3y+y+4=0$ $\Rightarrow 4y=-4$ $\Rightarrow y=-1$
तब $x=3(-1)=-3$.
अतः,शीर्ष $B$ $(-3, -1)$ है।
चूंकि रेखा $3x-y+k=0$,$B(-3, -1)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(-3)-(-1)+k=0$
$-9+1+k=0$
$-8+k=0 \Rightarrow k=8$.

(C) माना मूल बिंदु $(h, k) = (2, 3)$ पर स्थानांतरित होता है। रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta + 2$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta + 3$ हैं।
इन्हें $3x^2 + 2xy + 3y^2 - 18x - 22y + 50 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,रूपांतरित समीकरण $4X^2 + 2Y^2 - 1 = 0$ में $XY$ पद शून्य होना चाहिए।
सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ में $\theta$ कोण पर घूर्णन के बाद $XY$ का गुणांक $2h' = (b - a) \sin 2\theta + 2h \cos 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3, b = 3, h = 1$ है।
$2h' = 0$ रखने पर,हमें $(3 - 3) \sin 2\theta + 2(1) \cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2 \cos 2\theta = 0$,अतः $\cos 2\theta = 0$ है।
इस प्रकार,$2\theta = \frac{\pi}{2}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $32 x^2+8 x y+32 y^2-108 x-108 y+99=0$ में $x=X+\frac{3}{2}$ और $y=Y+\frac{3}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$32(X+\frac{3}{2})^2 + 8(X+\frac{3}{2})(Y+\frac{3}{2}) + 32(Y+\frac{3}{2})^2 - 108(X+\frac{3}{2}) - 108(Y+\frac{3}{2}) + 99 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$32(X^2 + 3X + \frac{9}{4}) + 8(XY + \frac{3}{2}X + \frac{3}{2}Y + \frac{9}{4}) + 32(Y^2 + 3Y + \frac{9}{4}) - 108X - 162 - 108Y - 162 + 99 = 0$
$32X^2 + 96X + 72 + 8XY + 12X + 12Y + 18 + 32Y^2 + 96Y + 72 - 108X - 108Y - 162 - 162 + 99 = 0$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$32X^2 + 32Y^2 + 8XY + (96+12-108)X + (96+12-108)Y + (72+18+72-162-162+99) = 0$
$32X^2 + 8XY + 32Y^2 - 63 = 0$

(D) वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x+4y+1=0$ के लिए,केंद्र $O_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $S_2: x^2+y^2+4x-6y+12=0$ के लिए,केंद्र $O_2 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
बाह्य समानता केंद्र $C_1$,$O_1O_2$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$C_1 = (-5, 8)$.
आंतरिक समानता केंद्र $C_2$,$O_1O_2$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक विभाजित करता है।
$C_2 = (-1, 4/3)$.
व्यास $C_1C_2 = \sqrt{(-4)^2 + (20/3)^2} = \frac{4\sqrt{34}}{3}$ है।
चूंकि $2r = \frac{4\sqrt{34}}{3}$,इसलिए $r = \frac{2\sqrt{34}}{3}$ है।
अतः,$\frac{9}{2}r = 3\sqrt{34}$।

(A) द्विघात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ है। $\ldots(i)$
अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर रूपांतरित समीकरण प्राप्त होता है:
$(\frac{a+b}{2}+h)X^2 + (b-a)XY + (\frac{a+b}{2}-h)Y^2 + \sqrt{2}(g+f)X + \sqrt{2}(f-g)Y + c = 0$.
$Y^2+XY-X=0$ के साथ तुलना करने पर:
$1) \frac{a+b}{2}+h = 0$
$2) b-a = 1$
$3) \frac{a+b}{2}-h = 1$
$4) \sqrt{2}(g+f) = -1$
$5) f-g = 0$
हल करने पर $a+b=1, h=-\frac{1}{2}, b=1, a=0$ और $f=g=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(h^2-ab)-2gf = (\frac{1}{4} - 0) - 2(\frac{1}{8}) = 0$.

(C) जब निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण पर वामावर्त दिशा में घुमाया जाता है,तो रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
इन्हें $x^2+y^2+2xy+2x+6y+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta) + 6(X \sin \theta + Y \cos \theta) + 1 = 0$
गुणांकों को सरल करने पर:
$X^2(1 + \sin 2\theta) + 2XY(\cos 2\theta) + Y^2(1 - \sin 2\theta) + X(2 \cos \theta + 6 \sin \theta) + Y(6 \cos \theta - 2 \sin \theta) + 1 = 0$
इसे $(2+\sqrt{3})X^2 + 2XY + (2-\sqrt{3})Y^2 + aX + bY + 2 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
नोट: दिए गए समीकरण में अचर पद $2$ है,इसलिए प्राप्त समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2(1 + \sin 2\theta) = 2 + \sqrt{3}$ $\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow 2\theta = 60^\circ$ $\Rightarrow \theta = 30^\circ$
अतः $a = 2(2 \cos 30^\circ + 6 \sin 30^\circ) = 2(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2}) = 2(\sqrt{3} + 3) = 6 + 2\sqrt{3}$
$b = 2(6 \cos 30^\circ - 2 \sin 30^\circ) = 2(6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}) = 2(3\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3} - 2$
$3a - b = 3(6 + 2\sqrt{3}) - (6\sqrt{3} - 2) = 18 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2 = 20$

(D) अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 4a^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + 2\sqrt{3}(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) - (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = 4a^2$.
पदों का विस्तार करने पर,समीकरण को $X^2 - Y^2 = 2a^2$ के रूप में आने के लिए $XY$ पद का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$XY$ पद का गुणांक $-2 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt{3}(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$ है।
इसका सरलीकरण $-4 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt{3} \cos 2\theta = 0$ अर्थात $-2 \sin 2\theta + 2\sqrt{3} \cos 2\theta = 0$ होता है।
अतः,$\tan 2\theta = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $2\theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $AB \parallel CD$,इसलिए $AE \parallel CD$ है।
$\triangle PAE$ और $\triangle PCD$ में,
$\angle PAE = \angle PCD$ (एकांतर अंतः कोण)
$\angle APE = \angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए,$AA$ समरूपता द्वारा $\triangle PAE \sim \triangle PCD$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,हमारे पास है:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PE}{PD} = \frac{AE}{CD}$.
चूंकि $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$AE = \frac{1}{2} AB$ है। साथ ही,समांतर चतुर्भुज में $AB = CD$ होता है,इसलिए $AE = \frac{1}{2} CD$ है।
अतः,$\frac{PA}{PC} = \frac{PE}{PD} = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है $\frac{PA}{PC} = \frac{1}{2}$ और $\frac{PD}{PE} = 2$।
इसलिए,$\frac{DP}{PE} + \frac{AP}{PC} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $a x^2+2 h x y+b y^2=0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 a x+2 h(y+x \frac{d y}{d x})+2 b y \frac{d y}{d x}=0$.
$2$ से विभाजित करने पर: $a x+h y+h x \frac{d y}{d x}+b y \frac{d y}{d x}=0$.
$\frac{d y}{d x}(h x+b y)=-(a x+h y) \implies \frac{d y}{d x}=-\frac{a x+h y}{h x+b y}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -\frac{(h x+b y)(a+h \frac{d y}{d x})-(a x+h y)(h+b \frac{d y}{d x})}{(h x+b y)^2}$.
$\frac{d y}{d x} = -\frac{a x+h y}{h x+b y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -\frac{(h x+b y)(a-h \frac{a x+h y}{h x+b y})-(a x+h y)(h-b \frac{a x+h y}{h x+b y})}{(h x+b y)^2}$.
अंश को सरल करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -\frac{(a h x+a b y-a h x-h^2 y)-(a h x+b h y-a b x-b h y)}{(h x+b y)^3} = -\frac{a b y-h^2 y-a h x+a b x}{(h x+b y)^3}$.
चूंकि $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं को दर्शाता है,इसलिए $\frac{d^2 y}{d x^2}=0$।

(B) माना बहुपद $p(x)$ की घात $n$ है।
तब $p'(x)$ की घात $n-1$ और $p''(x)$ की घात $n-2$ होगी।
समीकरण $p(2x) = p'(x) \cdot p''(x)$ के दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n = (n-1) + (n-2) \Rightarrow n = 3$।
माना $p(x) = ax^3$।
तब $p'(x) = 3ax^2$ और $p''(x) = 6ax$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$a(2x)^3 = (3ax^2) \cdot (6ax)$
$8ax^3 = 18a^2x^3$
चूंकि $p(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $a \neq 0$।
$8a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$।
अतः,$p(x) = \frac{4}{9}x^3$।
अब,हम योग की गणना करते हैं:
$\sum_{x=1}^5 p(x) = \frac{4}{9} \sum_{x=1}^5 x^3 = \frac{4}{9} \left( \frac{5(5+1)}{2} \right)^2$
$= \frac{4}{9} \left( \frac{30}{2} \right)^2 = \frac{4}{9} \cdot 15^2 = \frac{4}{9} \cdot 225 = 4 \cdot 25 = 100$।

(A) दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1} \dots (i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dx}{dy}\right)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dy}\right)$
श्रृंखला नियम (chain rule) $\frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dy}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dx}{dy}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{d^2x}{dy^2} \cdot \frac{dy}{dx}\right)$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1}$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \cdot \frac{d^2x}{dy^2} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 \cdot \frac{d^2x}{dy^2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
दिए गए व्यंजक $\frac{d^2x}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 0$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $e^{k f(x)} - k f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$e^{0 \cdot f(x)} - 0 \cdot f(x) = e^0 - 0 = 1 - 0 = 1$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{(x+1) \sinh x}{e^{2x} \tan x} = (x+1) \sinh x e^{-2x} \cot x$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln|f(x)| = \ln|x+1| + \ln|\sinh x| - 2x + \ln|\cot x|$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}(\ln|x+1|) + \frac{d}{dx}(\ln|\sinh x|) + \frac{d}{dx}(-2x) + \frac{d}{dx}(\ln|\cot x|)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+1} + \frac{\cosh x}{\sinh x} - 2 + \frac{-\operatorname{cosec}^2 x}{\cot x}$.
चूंकि $\frac{\cosh x}{\sinh x} = \operatorname{coth} x$ और $\frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\cot x} = \frac{1}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \operatorname{cosec} 2x$.
अतः,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+1} + \operatorname{coth} x - 2 - 2 \operatorname{cosec} 2x$.
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{x+1} + \operatorname{coth} x + g(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(x) = -2 - 2 \operatorname{cosec} 2x = -2(1 + \operatorname{cosec} 2x)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x)=\frac{x-1}{e^x} \dots (i)$
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{e^x(1) - (x-1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - x + 1)}{e^{2x}} = \frac{2-x}{e^x} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ में $x=0$ रखने पर:
$f'(0) = \frac{2-0}{e^0} = 2 \dots (iii)$
अब,समीकरण $(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f''(x) = \frac{e^x(-1) - (2-x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-1 - 2 + x)}{e^{2x}} = \frac{x-3}{e^x} \dots (iv)$
समीकरण $(iv)$ में $x=0$ रखने पर:
$f''(0) = \frac{0-3}{e^0} = -3 \dots (v)$
समीकरण $(iii)$ और $(v)$ को जोड़ने पर:
$f'(0) + f''(0) = 2 + (-3) = -1$

(D) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{x^3} \int_5^x (2u^2 - u f'(u)) du$
$x^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^3 f(x) = \int_5^x (2u^2 - u f'(u)) du$
लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x^3 f'(x) + 3x^2 f(x) = 2x^2 - x f'(x)$
$f'(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^3 f'(x) + x f'(x) = 2x^2 - 3x^2 f(x)$
$f'(x)(x^3 + x) = 2x^2 - 3x^2 f(x)$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 3x^2 f(x)}{x^3 + x}$
$x = 5$ पर,हम जानते हैं कि $f(5) = \frac{1}{5^3} \int_5^5 (2u^2 - u f'(u)) du = 0$।
$x = 5$ और $f(5) = 0$ को $f'(x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f'(5) = \frac{2(5)^2 - 3(5)^2(0)}{5^3 + 5} = \frac{50}{125 + 5} = \frac{50}{130} = \frac{5}{13}$

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ है।
यह जेन्सेन का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि $f(x)$ एक रैखिक फलन है जिसका रूप $f(x) = ax + b$ है।
हमें $f(0) = 1$ दिया गया है।
$f(x) = ax + b$ में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(0) = a(0) + b = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 1$ है।
अब,$f(x) = ax + 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = a$ प्राप्त होता है।
हमें $f^{\prime}(0) = -1$ दिया गया है।
चूंकि $f^{\prime}(x) = a$ एक स्थिरांक है,इसलिए $f^{\prime}(0) = a = -1$ है।
अतः,फलन $f(x) = -x + 1$ है।
$f(2)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = 2$ रखें:
$f(2) = -(2) + 1 = -1$.

(C) दिए गए वक्र के समीकरण: $x=a(\cos \theta+\theta \sin \theta)$ और $y=a(\sin \theta-\theta \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a \theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a \theta \sin \theta$.
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होगी।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ से गुणा करने पर:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \cos \theta + y \sin \theta - a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 0$.
$x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \cos \theta$,$B = \sin \theta$,और $C = -a$ है।
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{a}{1} = a$।

(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = \frac{x^n}{a^{n-1}}$.
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{n x^{n-1}}{a^{n-1}}$.
किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर अभिलंब की लंबाई का सूत्र: $L = |y \frac{dy}{dx}|$.
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर मान रखने पर:
$L = \beta \cdot \left( \frac{n \alpha^{n-1}}{a^{n-1}} \right) = \left( \frac{\alpha^n}{a^{n-1}} \right) \cdot \left( \frac{n \alpha^{n-1}}{a^{n-1}} \right) = \frac{n \alpha^{2n-1}}{a^{2n-2}}$.
यह दिया गया है कि अभिलंब की लंबाई $a^2$ के समानुपाती है। इस शर्त के अनुसार $n = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $x^2-a^2=\frac{x^2 y^2}{a^2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = \frac{1}{a^2} [x^2(2y) \frac{dy}{dx} + (2x)y^2]$.
$2x$ से भाग देने पर:
$1 = \frac{1}{a^2} [xy \frac{dy}{dx} + y^2]$.
$a^2 = xy \frac{dy}{dx} + y^2 \Rightarrow xy \frac{dy}{dx} = a^2 - y^2$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - y^2}{xy}$.
बिंदु $P(\alpha, y)$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - y^2}{\alpha y}$ है।
अभिलंब की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{a^2 - y^2}{\alpha y}| = |\frac{a^2 - y^2}{\alpha}|$ होती है।
चूंकि $P(\alpha, y)$ वक्र पर स्थित है,$\alpha^2 - a^2 = \frac{\alpha^2 y^2}{a^2} \Rightarrow y^2 = \frac{a^2}{\alpha^2}(\alpha^2 - a^2) = a^2 - \frac{a^4}{\alpha^2}$.
$y^2$ का मान अभिलंब की लंबाई के सूत्र में रखने पर:
लंबाई $= \frac{a^2 - (a^2 - \frac{a^4}{\alpha^2})}{\alpha} = \frac{a^4}{\alpha^3}$.
$\frac{k}{\alpha^3}$ से तुलना करने पर,हमें $k = a^4$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx}=4x^3-18x^2+26x-10$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $2$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx}=2$ रखने पर:
$4x^3-18x^2+26x-10=2$
$4x^3-18x^2+26x-12=0$
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^3-9x^2+13x-6=0$ प्राप्त होता है।
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर $(x-1)(2x^2-7x+6)=0$ प्राप्त होता है,जिसे $(x-1)(x-2)(2x-3)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल $x=1, 2, \frac{3}{2}$ हैं।
चूंकि $x_1, x_2 \in N$ दिया गया है,हम $x_1=1$ और $x_2=2$ चुनते हैं।
$x_1=1$ के लिए,$y_1=1^4-6(1)^3+13(1)^2-10(1)+5=3$।
$x_2=2$ के लिए,$y_2=2^4-6(2)^3+13(2)^2-10(2)+5=5$।
अतः,$x_1x_2+y_1y_2=(1 \times 2)+(3 \times 5)=2+15=17$।

(C) दिया गया वक्र $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \tan \frac{\theta}{2}$.
$P\left(\theta=\frac{\pi}{2}\right)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ और अभिलंब की ढाल $m_N = -1$ है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ और $y = a(1 - 0) = a$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - a = 1(x - a(\frac{\pi}{2} + 1))$। $y=0$ रखने पर,हमें $x = a(\frac{\pi}{2} + 1) - a = \frac{a\pi}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (\frac{a\pi}{2}, 0)$।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - a = -1(x - a(\frac{\pi}{2} + 1))$। $y=0$ रखने पर,हमें $-a = -x + a(\frac{\pi}{2} + 1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = a(\frac{\pi}{2} + 2)$। अतः,$B = (a(\frac{\pi}{2} + 2), 0)$।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times |x_B - x_A| \times y_P$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |a(\frac{\pi}{2} + 2) - \frac{a\pi}{2}| \times a = \frac{1}{2} \times |2a| \times a = a^2$.

(C) दिया गया वक्र: $(\frac{x}{3})^n + (\frac{y}{4})^n = 2$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{3} (\frac{x}{3})^{n-1} + \frac{n}{4} (\frac{y}{4})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(3,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{3} (\frac{3/3}{4/4})^{n-1} = -\frac{4}{3}$।
$(3,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 3) \Rightarrow 4x + 3y = 24$।
स्पर्श रेखा का $X$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $4x = 24 \Rightarrow x = 6$ है। अतः,बिंदु $C$ $(6,0)$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{3}{4}$ है।
$(3,4)$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 3x - 4y + 7 = 0$।
अभिलंब का $X$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $3x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$ है। अतः,बिंदु $B$ $(-\frac{7}{3}, 0)$ है।
त्रिभुज शीर्षों $A(3,4)$,$B(-\frac{7}{3}, 0)$,और $C(6,0)$ द्वारा निर्मित है।
आधार $BC = 6 - (-\frac{7}{3}) = 6 + \frac{7}{3} = \frac{25}{3}$।
त्रिभुज की ऊँचाई $A$ का $y$-निर्देशांक है,जो $4$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 4 = \frac{50}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है $y=f(x)$। बिंदु $P$ $(\alpha, 1)$ है।
$P(\alpha, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$ है।
$y=0$ रखने पर,$X$-अंतःखंड $A$,$\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ है। अतः $A = (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}, 0)$।
$P(\alpha, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-1=-\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}(x-\alpha)$ है।
$y=0$ रखने पर,$X$-अंतःखंड $B$,$\alpha + f^{\prime}(\alpha)$ है। अतः $B = (\alpha + f^{\prime}(\alpha), 0)$।
बिंदु $C$ $(\alpha, 0)$ है।
तब $AC = |\alpha - (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)})| = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ और $CB = |(\alpha + f^{\prime}(\alpha)) - \alpha| = f^{\prime}(\alpha)$।
हमें $AC+CB = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha)$ को न्यूनतम करना है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha) \geq 2 \sqrt{\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \cdot f^{\prime}(\alpha)} = 2$।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $f^{\prime}(\alpha) = 1$।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f^{\prime}(\alpha) = 1$ है।
स्पर्श रेखा के समानांतर रेखा की ढाल $1$ होनी चाहिए। रेखा $x-y=0$ की ढाल $1$ है।

(A) माना $r$ त्रिज्या है,$h$ ऊँचाई है और $l$ अर्ध-शीर्ष कोण $45^{\circ}$ वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।
तब $r = h \tan(45^{\circ}) = h$ और $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}$।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r l = \pi (h) (h\sqrt{2}) = \sqrt{2} \pi h^2$ द्वारा दिया जाता है।
माना $h = 20$ और $h + \Delta h = 20.025$,इसलिए $\Delta h = 0.025$।
$S$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन $\frac{dS}{dh} = 2\sqrt{2} \pi h$ है।
$h = 20$ पर,$\frac{dS}{dh} = 2\sqrt{2} \pi (20) = 40\sqrt{2} \pi$।
क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $\Delta S \approx \frac{dS}{dh} \Delta h = (40\sqrt{2} \pi) (0.025) = \sqrt{2} \pi$ है।
$h = 20$ पर प्रारंभिक क्षेत्रफल $S = \sqrt{2} \pi (20)^2 = 400\sqrt{2} \pi$ है।
अतः,अनुमानित क्षेत्रफल $S + \Delta S = 400\sqrt{2} \pi + \sqrt{2} \pi = 401\sqrt{2} \pi$ होगा।

(A) माना $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है और $P$ परिधि है। हमारे पास है,$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दी गई दर को प्रतिस्थापित करने पर: $2\pi r \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi r \sqrt{\pi}}$.
परिधि $P = 2\pi r$ है। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dP}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{dP}{dt} = 2\pi \times \frac{1}{2\pi r \sqrt{\pi}} = \frac{1}{r \sqrt{\pi}}$.
दिया गया है $P = \sqrt{\pi}$,इसलिए $2\pi r = \sqrt{\pi} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$.
$\frac{dP}{dt}$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर: $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}) \sqrt{\pi}} = \frac{1}{1/2} = 2$ इकाई/सेकंड।

(C) माना आयताकार समानांतर षट्फलक का आयतन $V = 27 \ m^3$ है।
माना $A$ आधार का क्षेत्रफल है और $h$ टंकी की ऊँचाई है।
अतः,$V = A \times h$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = A \frac{dh}{dt}$।
प्रश्न के अनुसार,पानी के स्तर में परिवर्तन की दर $\frac{dh}{dt}$,पानी की मात्रा में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$ की तीन गुनी है,अर्थात $\frac{dh}{dt} = 3 \frac{dV}{dt}$।
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dV}{dt} = A \times (3 \frac{dV}{dt})$।
इसका अर्थ है $1 = 3A$,इसलिए $A = \frac{1}{3} \ m^2$।
चूँकि $V = A \times h$,इसलिए $27 = \frac{1}{3} \times h$।
अतः,$h = 27 \times 3 = 81 \ m$।

(A) दिया गया है कि आयतन में वृद्धि की दर $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$ है।
गोले का आयतन $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
त्रिज्या $r$ ज्ञात करने के लिए दिए गए आयतन का मान रखने पर:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies 288 = \frac{4}{3} r^3 \implies r^3 = 216 \implies r = 6 \text{ cm}$.
आयतन के सूत्र का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
ज्ञात मान $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ और $r = 6$ रखने पर:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$.
$1 = 36 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$.

(B) दिया गया है कि,समय के किसी भी क्षण पर,आयतन में परिवर्तन की दर और पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर समान है,अर्थात $\frac{dV}{dt} = \frac{dS}{dt}$ $\ldots(i)$
$r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ $\ldots(ii)$
$r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ $\ldots(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$
यदि $\frac{dr}{dt} \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $4 \pi r \frac{dr}{dt}$ से विभाजित करने पर,हमें $r = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = 3 \sqrt[3]{x} + \sin(x^{\circ})$. हमें $f(126)$ का अनुमानित मान ज्ञात करना है जहाँ $x = 126$,$125$ के निकट है।
अवकलज का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
$A = 3 \sqrt[3]{126}$ के लिए,$g(x) = 3 x^{1/3}$ लें। तब $g'(x) = x^{-2/3}$.
$x = 125$ पर,$g(125) = 3 \sqrt[3]{125} = 15$.
$A = 3(126)^{1/3} = 3(125+1)^{1/3} = 15(1 + 1/375) = 15.04$.
$B = \sin 61^{\circ} = \sin(60^{\circ} + 1^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \cos 1^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 1^{\circ}$.
$1^{\circ} = 0.0174$ रेडियन दिया गया है,इसलिए $\sin 1^{\circ} \approx 0.0174$ और $\cos 1^{\circ} \approx 1$.
$B \approx (\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (\frac{1}{2})(0.0174) = 0.8660 + 0.0087 = 0.8747$.
योग $= 15.04 + 0.8747 = 15.9147$. दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $5.888$ है।

(B) मान लीजिए किसी समय $t$ पर पानी की ऊँचाई $h$,त्रिज्या $r$ और तिरछी ऊँचाई $l$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।
शंकु की ज्यामिति से,$r = h \tan 30^{\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{9}$.
चूँकि $V = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,$\frac{\pi h^3}{9} = \frac{8 \pi}{\sqrt{3}} \Rightarrow h^3 = \frac{72}{\sqrt{3}} = 24 \sqrt{3} = (2 \sqrt{3})^3$,इसलिए $h = 2 \sqrt{3} \ ft$.
तिरछी ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{h^2 + \frac{h^2}{3}} = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dl}{dt} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt}$.
$\frac{dl}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (घट रहा है) दिया गया है,इसलिए $-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2} \ ft/min$.
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\pi h^3}{9}\right) = \frac{\pi}{3} h^2 \frac{dh}{dt}$.
$h = 2 \sqrt{3}$ और $\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3} (2 \sqrt{3})^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} (12) \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \pi \ cu. \ ft/min$.
अतः,पानी का आयतन $2 \pi \ cu. \ ft/min$ की दर से घट रहा है।

(C) संबंध स्थापित करें:
$\triangle ABC$ में,हमें $\angle B=90^{\circ}$ दिया गया है,जो इसे एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ $b$ कर्ण है और $a, c$ भुजाएँ हैं। पाइथागोरस प्रमेय से,$c=\sqrt{b^2-a^2}$। हमें दिया गया है कि $a+b=k$ (एक स्थिरांक),इसलिए $b=k-a$। क्षेत्रफल $A$ है:
$A=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-a^2}$
क्षेत्रफल को एक चर के रूप में व्यक्त करें:
क्षेत्रफल समीकरण में $b=k-a$ प्रतिस्थापित करें:
$A=\frac{1}{2}a\sqrt{(k-a)^2-a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{k^2-2ka+a^2-a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{k^2-2ka}$
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $f(a)=4A^2=a^2(k^2-2ka)=k^2a^2-2ka^3$ को अधिकतम करते हैं।
अवकलन करें और चरम मान ज्ञात करें:
$f(a)$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$f'(a)=2k^2a-6ka^2=0 \Longrightarrow 2ka(k-3a)=0$
चूंकि $a, k \neq 0$,इसलिए $a=\frac{k}{3}$।
तब $b=k-\frac{k}{3}=\frac{2k}{3}$।
कोण $C$ निर्धारित करें:
समकोण त्रिभुज में,$\cos C=\frac{a}{b}$।
$\cos C=\frac{a}{b}=\frac{k/3}{2k/3}=\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos C=\frac{1}{2}$,इसलिए $C=\frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया वक्र $y = 3x^5 + 15x - 8$ है।
$x$ के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{5} \text{ units/sec}$ है।
$y$ के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ है।
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (15x^4 + 15) \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$6 = (15x^4 + 15) \cdot \frac{1}{5} = 3(x^4 + 1)$.
$x^4 + 1 = 2 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = 1$ के लिए,$y = 3(1)^5 + 15(1) - 8 = 10$. अतः,$A = (1, 10)$.
$x = -1$ के लिए,$y = 3(-1)^5 + 15(-1) - 8 = -3 - 15 - 8 = -26$. अतः,$B = (-1, -26)$.
$AB$ की ढाल $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-26 - 10}{-1 - 1} = \frac{-36}{-2} = 18$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x$ अंतराल $[2, 5]$ पर है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[2, 5]$ पर सतत है और $(2, 5)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,$(2, 5)$ में कम से कम एक $C$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(C) = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}$ हो।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 1$,अतः $f'(C) = 1$ प्राप्त होता है।
ढाल की गणना करने पर: $\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{5 - 2}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,शर्त $f'(C) = 1$ का अर्थ है $1 = 1$,जो $(2, 5)$ के प्रत्येक $C$ के लिए सत्य है।
चूंकि अंतराल $(2, 5)$ में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए $C$ के अनंत स्वीकार्य मान संभव हैं।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^4 + a x^3 + b x$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।
चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है,इसलिए $f(-1) = f(1)$ होना चाहिए।
$f(-1) = (-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1) = 1 - a - b$.
$f(1) = (1)^4 + a(1)^3 + b(1) = 1 + a + b$.
उन्हें बराबर करने पर: $1 - a - b = 1 + a + b \Rightarrow 2a + 2b = 0 \Rightarrow a + b = 0$ . . . $(1)$.
अब,अवकलज ज्ञात करते हैं: $f^{\prime}(x) = 4x^3 + 3ax^2 + b$.
दिया गया है कि $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + b = 0$.
$4\left(\frac{1}{8}\right) + 3a\left(\frac{1}{4}\right) + b = 0$.
$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}a + b = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 + 3a + 4b = 0 \Rightarrow 3a + 4b = -2$ . . . $(2)$.
$(1)$ से,$b = -a$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3a + 4(-a) = -2 \Rightarrow -a = -2 \Rightarrow a = 2$.
अतः $b = -2$.
इसलिए,$ab = (2)(-2) = -4$.

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर मान्य होने के लिए,इसे $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \frac{2x-1}{3x-4}$ अंतराल $[1, 2]$ पर है।
फलन $f(x)$ तब अपरिभाषित होता है जब हर शून्य हो,अर्थात $3x - 4 = 0$,जिससे $x = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{4}{3} \in [1, 2]$,इसलिए फलन $x = \frac{4}{3}$ पर सतत नहीं है।
अतः,दिए गए अंतराल पर इस फलन के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं होती हैं।

(A) दिया गया है,$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3$ अंतराल $[-1, 3]$ पर।
सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 = 0$.
$(3x - 2)(x - 2) = 0$,जिससे $x = \frac{2}{3}$ और $x = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों बिंदु $[-1, 3]$ अंतराल के भीतर हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 4(-1) + 3 = -1 - 4 - 4 + 3 = -6$.
$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 3 = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 3 = \frac{113}{27} \approx 4.18$.
$f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 4(2) + 3 = 8 - 16 + 8 + 3 = 3$.
$f(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 4(3) + 3 = 27 - 36 + 12 + 3 = 6$.
इन मानों की तुलना करने पर: $\{-6, 4.18, 3, 6\}$,न्यूनतम मान $-6$ है जो $x = -1$ पर प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - \ln|x|$ है,जहाँ $x \geq 1$ है।
चूँकि $x \geq 1$,इसलिए $|x| = x$ होगा,अतः $f(x) = 2x^2 - \ln x$।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 4x - \frac{1}{x}$।
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$4x - \frac{1}{x} = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}$।
यहाँ प्रांत (domain) $x \geq 1$ है,इसलिए अंतराल $(1, \infty)$ में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
फलन के व्यवहार की जाँच करने पर: $f'(x) = \frac{4x^2 - 1}{x}$। $x > 1$ के लिए,$4x^2 - 1 > 3$,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि $x \geq 1$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $[1, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,न्यूनतम मान सीमा बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है।
$f(1) = 2(1)^2 - \ln(1) = 2 - 0 = 2$।

(A) मान लीजिए $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
तब $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ होगा।
चूंकि $P(x)$ का $x=1$ पर चरम मान है,इसलिए $P'(1) = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $3a + 2b + c = 0$ ... $(i)$।
दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{P(x)+4}{x^2} + 2\right) = 6$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)+4}{x^2} = 4$ होगा।
$P(x)$ का मान रखने पर,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d + 4}{x^2} = 4$ प्राप्त होता है।
सीमा (limit) के परिमित होने के लिए,$x^{-2}$ और $x^{-1}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$d+4 = 0 \Rightarrow d = -4$ और $c = 0$ होगा।
तब $\lim_{x \rightarrow 0} (ax + b) = 4 \Rightarrow b = 4$ होगा।
समीकरण $(i)$ में $b=4$ और $c=0$ रखने पर,$3a + 2(4) + 0 = 0 \Rightarrow 3a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(x) = -\frac{8}{3}x^3 + 4x^2 - 4$ है।
अवकलन $P'(x) = -8x^2 + 8x$ है।
$x = \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर,$P'(\frac{1}{2}) = -8(\frac{1}{4}) + 8(\frac{1}{2}) = -2 + 4 = 2$ प्राप्त होता है।

(D) $A. f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 1$
$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6 = 6(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 6(x-1)(2x-1)(x+1)$
$x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$,अतः $f(x)$ अंतराल $[1, \infty)$ में वर्धमान है। चूँकि $[2, \infty) \subset [1, \infty)$,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[2, \infty)$ में वर्धमान है। अतः,$A \rightarrow V$.
$B. f(x) = x + \frac{1}{x}, x < 0$
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान)। $-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
$x = -1$ पर,$f'(-1) = 0$ और $x < 0$ के लिए $f''(x) = \frac{2}{x^3} < 0$। अतः,$f(x)$ का $x = -1$ पर अधिकतम मान है। अतः,$B \rightarrow II$.
$C. f(x) = x^4(7 - x)^3$
$f'(x) = 4x^3(7-x)^3 - 3x^4(7-x)^2 = x^3(7-x)^2 [4(7-x) - 3x] = x^3(7-x)^2(28 - 7x) = 7x^3(7-x)^2(4-x)$
क्रांतिक बिंदु $x = 0, 4, 7$ हैं। $x = 4$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्नों की जाँच करने पर: $x < 4$ के लिए,$f'(x) > 0$; $x > 4$ के लिए,$f'(x) < 0$। अतः,$f(x)$ का $x = 4$ पर अधिकतम मान है। अतः,$C \rightarrow III$.
$D. f(x) = x^4 + (8-x)^4$
$f'(x) = 4x^3 - 4(8-x)^3 = 4(x^3 - (8-x)^3)$
$f'(x) = 0$ रखने पर $\Rightarrow x = 8-x \Rightarrow x = 4$.
$f''(x) = 12x^2 + 12(8-x)^2$। चूँकि $f''(4) = 12(16) + 12(16) > 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = 4$ पर न्यूनतम मान है। अतः,$D \rightarrow I$.
सही सुमेलन: $A-V, B-II, C-III, D-I$.

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x - \log \left(\frac{1+x}{x}\right), x > 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx} \log \left(\frac{1+x}{x}\right) = 1 - \frac{x}{1+x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + 1 \right) = 1 - \frac{x}{1+x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = 1 + \frac{1}{x(1+x)}$।
चूँकि $x > 0$,इसलिए $x(1+x) > 0$,अतः सभी $x > 0$ के लिए $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x(1+x)} > 1 > 0$ है।
चूँकि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसका कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
कारण $(R)$ बताता है कि यदि फलन निरंतर वर्धमान है,तो $f^{\prime}(x) \neq 0$ होता है। यह निरंतर वर्धमान फलनों का एक मानक गुण है।
अतः,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} dx$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर और सरल करने पर:
$I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^2(x+1+1/x)}} dx = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{x+1+1/x}} dx$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x+2) \sqrt{x+1/x+1}} dx$.
माना $t = \sqrt{x+1/x+1}$,तो $t^2 = x+1/x+1$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2t dt = (1-1/x^2) dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t dt}{(t^2+1)t} = 2 \int \frac{dt}{t^2+1} = 2 \tan^{-1}(t) + C$.
अतः,$f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+1/x+1})$.
$x=1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{1+1+1}) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) माना $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(1+x^3+x^5\right)^3} d x$.
समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{15}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{x^{15} \left(\frac{1}{x^5}+\frac{x^3}{x^5}+\frac{x^5}{x^5}\right)^3} d x = \int \frac{2 x^{-3}+5 x^{-6}}{\left(x^{-5}+x^{-2}+1\right)^3} d x$.
माना $t = 1 + x^{-2} + x^{-5}$.
तब $dt = (-2x^{-3} - 5x^{-6}) dx$,जिसका अर्थ है कि $-(2x^{-3} + 5x^{-6}) dx = dt$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\int \frac{dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$.
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2 \left(1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{1}{2 \left(\frac{x^5+x^3+1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{x^{10}}{2(1+x^3+x^5)^2} + C$.
इसकी तुलना $\frac{x^m}{l(1+x^3+x^5)^r} + C$ से करने पर,हमें $m=10$,$l=2$,और $r=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{m-l}{r} = \frac{10-2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

(A) माना $I = \int \frac{y^2+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[6]{y^2}}{y\left(1+\sqrt[3]{y^2}\right)} d y$
$= \int \frac{y^2+y^{4/3}+y^{1/3}}{y(1+y^{2/3})} d y$
$= \int \frac{y^{4/3}(y^{2/3}+1)+y^{1/3}}{y(1+y^{2/3})} d y$
$= \int \left(y^{1/3} + \frac{y^{-2/3}}{1+y^{2/3}}\right) d y$
$= \frac{y^{4/3}}{4/3} + \int \frac{y^{-2/3}}{1+(y^{1/3})^2} d y$
$= \frac{3}{4} y^{4/3} + 3 \int \frac{d(y^{1/3})}{1+(y^{1/3})^2}$
$= \frac{3}{4} \sqrt[3]{y^4} + 3 \tan^{-1}(y^{1/3}) + C$
$= \frac{3}{4} \sqrt[3]{y^4} + 3 \tan^{-1}(\sqrt[3]{y}) + C$

(A) दिया गया समाकलन $I = \int(\sqrt{1+\sin 2 x} + \sqrt{1-\sin 2 x}) \, dx$ है।
सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$
$\sqrt{1-\sin 2x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|$
जब $x \in \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$ है,तब $\sin x > 0$ और $\cos x < 0$ होता है। साथ ही,$|\sin x| > |\cos x|$ है,इसलिए $\sin x + \cos x > 0$ और $\sin x - \cos x > 0$ होगा।
अतः,व्यंजक $(\sin x + \cos x) + (\sin x - \cos x) = 2 \sin x$ बन जाता है।
इसलिए,$I = \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x + C$.

(C) माना $I = \int \frac{25 x^2+8}{\sqrt{25 x^2+9}} dx$.
हम अंश को $(25x^2 + 9) - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{25x^2 + 9 - 1}{\sqrt{25x^2 + 9}} dx = \int \sqrt{25x^2 + 9} dx - \int \frac{1}{\sqrt{25x^2 + 9}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2x^2 + b^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a}\sinh^{-1}(\frac{ax}{b})$ और $\int \frac{1}{\sqrt{a^2x^2 + b^2}} dx = \frac{1}{a}\sinh^{-1}(\frac{ax}{b})$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $a=5$ और $b=3$ है।
$I = [\frac{x}{2}\sqrt{25x^2 + 9} + \frac{9}{2(5)}\sinh^{-1}(\frac{5x}{3})] - \frac{1}{5}\sinh^{-1}(\frac{5x}{3}) + C$.
$I = \frac{x}{2}\sqrt{25x^2 + 9} + \frac{9}{10}\sinh^{-1}(\frac{5x}{3}) - \frac{2}{10}\sinh^{-1}(\frac{5x}{3}) + C$.
$I = \frac{x}{2}\sqrt{25x^2 + 9} + \frac{7}{10}\sinh^{-1}(\frac{5x}{3}) + C$.

(B) दिया गया है $5(f(x))^2 = x f(x) + 30$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $10 f(x) f'(x) = x f'(x) + f(x)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(10 f(x) - x) f'(x) = f(x)$।
माना $I = \int \frac{3 x^3 + (1 - 30 x^2) f(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx$।
अंश में $f(x) = (10 f(x) - x) f'(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{3 x^3 - 30 x^2 f(x) + (10 f(x) - x) f'(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx$
$I = \int \frac{3 x^2(x - 10 f(x)) + (10 f(x) - x) f'(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx$
$I = \int \frac{-(10 f(x) - x)(3 x^2 - f'(x))}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx = -\int \frac{3 x^2 - f'(x)}{(x^3 - f(x))^2} dx$।
माना $t = x^3 - f(x)$,तो $dt = (3 x^2 - f'(x)) dx$।
अतः,$I = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^3 - f(x)} + C$।
$\frac{A}{B x^3 + D f(x)} + C$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1, B = 1, D = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A + B + D = 1 + 1 - 1 = 1$।

(A) माना $I = \int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1) - 1(x+1) = (x^2-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4(x+1) + 3x^2(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x^4+3x^2+1)$.
अतः,$I = \int \frac{(x-1)(x+1)^2}{(x+1)(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx = \int \frac{(x^2-1)}{(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{(x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}) \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{((x + \frac{1}{x})^2 + 1) \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx$.
माना $u = \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})$,तो $du = \frac{1}{1 + (x + \frac{1}{x})^2} \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
इस प्रकार,$I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C = \log|\tan^{-1}(x + \frac{1}{x})| + C$.
$A \log(f(x)) + C$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $f(x) = \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
अतः $f(2) = \tan^{-1}(2 + \frac{1}{2}) = \tan^{-1}(\frac{5}{2})$.
इसलिए,$A - \tan(f(2)) = 1 - \tan(\tan^{-1}(\frac{5}{2})) = 1 - \frac{5}{2} = \frac{-3}{2}$.

(D) माना $I = \int \frac{1-(\cot x)^{2019}}{\tan x+(\cot x)^{2020}} dx$ है।
अंश और हर को $\sin x \cos^{2019} x$ से गुणा करने पर,समाकल्य का सरलीकरण प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,$\frac{d}{dx}(\sin^{2021} x + \cos^{2021} x) = 2021 \sin^{2020} x \cos x - 2021 \cos^{2020} x \sin x = 2021 \sin x \cos x (\sin^{2019} x - \cos^{2019} x)$ होता है।
अतः,समाकलन $\frac{1}{2021} \ln |\sin^{2021} x + \cos^{2021} x| + c$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$n = 2021$,$f(x) = \sin x$,और $g(x) = \cos x$ प्राप्त होते हैं।
हमें $n[(f(x))^4 + (g(x))^4]_{x=\frac{\pi}{3}} = 2021 [\sin^4(\frac{\pi}{3}) + \cos^4(\frac{\pi}{3})]$ का मान ज्ञात करना है।
$= 2021 [(\frac{\sqrt{3}}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4] = 2021 [\frac{9}{16} + \frac{1}{16}] = 2021 [\frac{10}{16}] = 2021 [\frac{5}{8}] = \frac{10105}{8}$.

(B) हमें दिया गया है,$\int \frac{a \cos x-2 \sin x}{b \sin x+5 \cos x} d x=\frac{7}{41} x+\frac{22}{41} \log |b \sin x+5 \cos x|+C$.
माना $a \cos x-2 \sin x = \lambda(b \sin x+5 \cos x) + \mu(b \cos x-5 \sin x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = 5\lambda + \mu b$ और $-2 = b\lambda - 5\mu$.
दिया है $\lambda = \frac{7}{41}$ और $\mu = \frac{22}{41}$,अतः:
$a = 5(\frac{7}{41}) + b(\frac{22}{41}) = \frac{35+22b}{41}$ और $-2 = b(\frac{7}{41}) - 5(\frac{22}{41}) \Rightarrow -82 = 7b - 110 \Rightarrow 7b = 28 \Rightarrow b = 4$.
$a$ में $b=4$ रखने पर: $a = \frac{35+22(4)}{41} = \frac{35+88}{41} = \frac{123}{41} = 3$.
अब,$\int \frac{d x}{b+a \cos x} = \int \frac{d x}{4+3 \cos x}$.
$\tan \frac{x}{2} = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$:
$\int \frac{2 dt}{(1+t^2)(4+3(\frac{1-t^2}{1+t^2}))} = \int \frac{2 dt}{4+4t^2+3-3t^2} = \int \frac{2 dt}{7+t^2}$.
$= \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{7}}\right) + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+4 \sin x+5}} d x$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{d t}{\sqrt{4 t^2+4 t+5}} = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^2+t+\frac{5}{4}}}$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2+t+\frac{5}{4} = (t+\frac{1}{2})^2 + 1$.
इसलिए,$I = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2 + 1}}$.
सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(t+\frac{1}{2}) + C$.
$t = \sin x$ रखने पर,$I = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\sin x + \frac{1}{2}) + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{1}{2} \sinh^{-1}(f(x)) + C$ से करने पर,$f(x) = \sin x + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 f(x) = 2(\sin x + \frac{1}{2}) = 2 \sin x + 1$.

(D) माना $I = \int e^{\sin ^2 x}(\sin x \cos x + \cos ^3 x \sin x) d x$.
$\sin x \cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int e^{\sin ^2 x}(1 + \cos ^2 x) \sin x \cos x d x$.
चूंकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,इसलिए:
$I = \int e^{\sin ^2 x}(1 + 1 - \sin ^2 x) \sin x \cos x d x = \int e^{\sin ^2 x}(2 - \sin ^2 x) \sin x \cos x d x$.
माना $t = \sin ^2 x$,तब $dt = 2 \sin x \cos x d x$,अर्थात $\sin x \cos x d x = \frac{dt}{2}$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int e^t(2 - t) d t = \int e^t d t - \frac{1}{2} \int t e^t d t$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर $\int t e^t d t = t e^t - e^t$:
$I = e^t - \frac{1}{2}(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - \frac{t}{2} + \frac{1}{2}) + C = e^t(\frac{3}{2} - \frac{t}{2}) + C$.
$e^{\sin ^2 x}(1 + f(x)) + C$ से तुलना करने पर,$1 + f(x) = \frac{3}{2} - \frac{\sin ^2 x}{2}$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{\sin ^2 x}{2}$.
अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2 x$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2}{(\sqrt{4-x^2})^3} dx$ है।
$x = 2 \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(2 \sin \theta)^2}{(\sqrt{4-4 \sin^2 \theta})^3} (2 \cos \theta) d\theta$
$I = \int \frac{4 \sin^2 \theta \cdot 2 \cos \theta}{(2 \cos \theta)^3} d\theta$
$I = \int \frac{8 \sin^2 \theta \cos \theta}{8 \cos^3 \theta} d\theta = \int \tan^2 \theta d\theta$
$I = \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta = \tan \theta - \theta + C$।
चूंकि $x = 2 \sin \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{2}$।
अतः $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x/2}{\sqrt{1-(x/2)^2}} = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$।
साथ ही,$\theta = \tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}})$।
अतः,$I = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} - \tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}) + C$।

(A) माना $I = \int \left( \frac{x^4-x}{x^{20}} \right)^{1/4} dx$.
$I = \int \left( \frac{x^4(1 - 1/x^3)}{x^{20}} \right)^{1/4} dx = \int \frac{1}{x^4} (1 - x^{-3})^{1/4} dx$.
माना $1 - x^{-3} = t$.
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3x^{-4} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x^4} dx = \frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int (t)^{1/4} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{15} t^{5/4} + C$.
$t = 1 - \frac{1}{x^3} = \frac{x^3-1}{x^3}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{4}{15} \left( \frac{x^3-1}{x^3} \right)^{5/4} + C = \frac{4}{15} \left( \frac{(x^3-1)^5}{x^{15}} \right)^{1/4} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^2}{\sqrt{1+x^2}} d x$ है।
$t = x + \sqrt{1+x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = \left(1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\right) dx = \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) dx = \left(\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}\right) dx$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $I = \int t dt$ हो जाता है।
$t$ का समाकलन करने पर,$I = \frac{t^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{d x}{(x-2) \sqrt{x^2-3 x+5}}$.
$x-2 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ और $x = 2 + \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-1/t^2 dt}{(1/t) \sqrt{(2+1/t)^2 - 3(2+1/t) + 5}}$
$I = -\int \frac{dt/t}{\sqrt{4 + 4/t + 1/t^2 - 6 - 3/t + 5}}$
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{1/t^2 + 1/t + 3}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{(1 + t + 3t^2)/t^2}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{3t^2 + t + 1}}$
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + t/3 + 1/3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t + 1/6)^2 + 11/36}}$
सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{t + 1/6}{\sqrt{11}/6} \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6t + 1}{\sqrt{11}} \right) + C$
चूंकि $t = \frac{1}{x-2}$,इसलिए:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6/(x-2) + 1}{\sqrt{11}} \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6 + x - 2}{\sqrt{11}(x-2)} \right) + C$
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{x + 4}{\sqrt{11}(x-2)} \right) + C$.

(B) हमारे पास है,$I = \int \frac{(x-1) dx}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}}$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{(1 - 1/x) dx}{(1 + 1/x) \sqrt{x + 1 + 1/x}}$.
माना $t = \sqrt{x + 1 + 1/x}$. तब $t^2 = x + 1 + 1/x$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2t dt = (1 - 1/x^2) dx = \frac{x^2-1}{x^2} dx = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} dx$.
साथ ही,$1 + 1/x = \frac{x+1}{x}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $I = \int \frac{2t dt}{t^2 \cdot (t^2-1) \cdot \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x}} = \int \frac{2 dt}{t^2+1} = 2 \tan^{-1}(t) + C$.
अतः,$I = 2 \tan^{-1} \sqrt{x + 1 + 1/x} + C$.
$A \tan^{-1} \sqrt{f(x)} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 2$ और $f(x) = x + 1 + 1/x$ प्राप्त होता है।
तब $f(-1) = -1 + 1 + (1/-1) = -1$.
इसलिए,क्रमित युग्म $(A, f(-1)) = (2, -1)$ है।

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^3 \sin x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = x^3$ और $dv = \sin x \, dx$ लें। तब $du = 3x^2 \, dx$ और $v = -\cos x$ प्राप्त होता है।
$I = [-x^3 \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3x^2 \cos x \, dx = 0 + 3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x \, dx$.
अब,$\int x^2 \cos x \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर,$u = x^2$ और $dv = \cos x \, dx$ लें। तब $du = 2x \, dx$ और $v = \sin x$ प्राप्त होता है।
$I = 3 \left( [x^2 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x \, dx \right) = 3 \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx \right)$.
अंत में,$\int x \sin x \, dx$ का खंडशः समाकलन करने पर,$u = x$ और $dv = \sin x \, dx$ लें। तब $du = dx$ और $v = -\cos x$ प्राप्त होता है।
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = [-x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 0 + [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$.
मान रखने पर: $I = 3 \left( \frac{\pi^2}{4} - 2(1) \right) = \frac{3 \pi^2}{4} - 6$.

(A) खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$I_n = \int x^n \sin x \, dx = -x^n \cos x + n \int x^{n-1} \cos x \, dx = -x^n \cos x + n(x^{n-1} \sin x - (n-1) \int x^{n-2} \sin x \, dx)$.
अतः,$I_n = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x - n(n-1) I_{n-2}$.
इससे पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है: $I_n + n(n-1) I_{n-2} = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x$.
$n=6$ के लिए: $I_6 + 30 I_4 = -x^6 \cos x + 6 x^5 \sin x$.
$n=4$ के लिए: $I_4 + 12 I_2 = -x^4 \cos x + 4 x^3 \sin x$.
दूसरे समीकरण को $-30$ से गुणा करने पर: $-30 I_4 - 360 I_2 = 30 x^4 \cos x - 120 x^3 \sin x$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $I_6 - 360 I_2 = (30 x^4 - x^6) \cos x + (6 x^5 - 120 x^3) \sin x$.
$f(x) \cos x + g(x) \sin x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 30 x^4 - x^6$ और $g(x) = 6 x^5 - 120 x^3$ प्राप्त होता है.
अतः $f(1) = 30(1)^4 - (1)^6 = 29$ और $g(1) = 6(1)^5 - 120(1)^3 = -114$.
इस प्रकार,$f(1) + g(1) = 29 - 114 = -85$.

(C) माना कि $I = \int \frac{\tan ^{-1} x}{x^3} d x$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan ^{-1} x$ और $dv = x^{-3} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$ प्राप्त होता है।
$I = u v - \int v du = \tan ^{-1} x \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2(1+x^2)} dx$.
आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$I = -\frac{\tan ^{-1} x}{2x^2} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{x} - \tan ^{-1} x\right) + C$.
$I = -\frac{1}{2x} - \left(\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2}\right) \tan ^{-1} x + C$.