TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ और $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$.
$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
माना $z_1 = \cos \theta + i \sin \theta$. तब $x_1 = \cos \theta, y_1 = \sin \theta$.
चूँकि $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$, हमारे पास $x_2 \cos \theta + y_2 \sin \theta = 0$ है।
यह इंगित करता है कि $(x_2, y_2) = \pm 2(-\sin \theta, \cos \theta)$.
$x_2 = -2 \sin \theta$ और $y_2 = 2 \cos \theta$ लेने पर:
$z_3 = x_1 + i \frac{x_2}{2} = \cos \theta - i \sin \theta = \bar{z}_1 \implies |z_3|=1$.
$z_4 = 2 y_1 + i y_2 = 2 \sin \theta + i 2 \cos \theta = 2i(\cos \theta - i \sin \theta) = 2i \bar{z}_1 \implies |z_4|=2$.
$z_3 z_4 = (\bar{z}_1)(2i \bar{z}_1) = 2i \bar{z}_1^2 = 2i(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = 2 \sin 2\theta + 2i \cos 2\theta$.
हालाँकि, शर्त $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ की जाँच करने पर ($\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ के बजाय):
यदि $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$, तो $x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0 \implies x_1 x_2 = y_1 y_2$.
$z_1 = e^{i\theta}$, $z_2 = 2e^{i(\pi/2 - \theta)} = 2i \bar{z}_1 = 2 \sin \theta + 2i \cos \theta$ का उपयोग करने पर।
तब $z_3 = \cos \theta + i \sin \theta = z_1$ और $z_4 = 2 \sin \theta + 2i \cos \theta = 2i \bar{z}_1$.
$z_3 z_4 = z_1 (2i \bar{z}_1) = 2i |z_1|^2 = 2i$.
अतः, $\operatorname{Re}(z_3 z_4) = 0$ और $|z_3|=1, |z_4|=2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $z = \sqrt{3} + i$.
तब,मापांक $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
कोणांक $\theta = \arg(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,ध्रुवीय रूप $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ है।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{10} = 2^{10}(\cos \frac{10\pi}{6} + i \sin \frac{10\pi}{6})$.
कोण को सरल करने पर,$\frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.
$z^{10} = 1024(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
चूंकि $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$z^{10} = 1024(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 - 512i\sqrt{3}$.
$a+bi$ के साथ तुलना करने पर,$a = 512$ और $b = -512\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है।
$1+\omega+\omega^2=0$ से,हमें $1+\omega^2=-\omega$ और $1+\omega=-\omega^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(1-\omega+\omega^2\right)^6+\left(1-\omega^2+\omega\right)^6 = \left(-\omega-\omega\right)^6+\left(-\omega^2-\omega^2\right)^6$
$= (-2\omega)^6 + (-2\omega^2)^6$
$= 64\omega^6 + 64\omega^{12}$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$ और $\omega^{12} = (\omega^3)^4 = 1^4 = 1$ है।
$= 64(1) + 64(1) = 64 + 64 = 128$.

(A) हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$\frac{1-\sqrt{3}i}{2} = -\omega^2$ और $\frac{1+\sqrt{3}i}{2} = -\omega$ है।
तब,$\left(-\omega^2\right)^{2020} + (-\omega)^{2026} = \omega^{4040} + \omega^{2026} = \omega^2 + \omega = -1$ है।
अब,योग $\sum_{j=1}^6 (j+\omega)(j+\omega^2) = \sum_{j=1}^6 (j^2 + j(\omega+\omega^2) + \omega^3) = \sum_{j=1}^6 (j^2 - j + 1)$ पर विचार करें।
योग सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum_{j=1}^6 j^2 = 91$,$\sum_{j=1}^6 j = 21$,और $\sum_{j=1}^6 1 = 6$ है।
अतः,योग $91 - 21 + 6 = 76$ है।
साइन पद $\sin\left(76 \times \frac{3\pi}{152}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ हो जाता है।
अंत में,कुल व्यंजक $-1 + (-1) = -2$ है।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ होता है।
योगफल के अंदर के व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(\omega x+2)(\omega^2 x+2)-3 = \omega^3 x^2 + 2\omega x + 2\omega^2 x + 4 - 3$
$= x^2 + 2x(\omega + \omega^2) + 1$ (चूंकि $\omega^3=1$)
$= x^2 + 2x(-1) + 1 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
अब,योगफल की गणना करने पर:
$\sum_{x=1}^{10} (x-1)^2 = \sum_{x=1}^{10} (x^2 - 2x + 1) = \sum_{x=1}^{10} x^2 - 2\sum_{x=1}^{10} x + \sum_{x=1}^{10} 1$
$= \frac{10(11)(21)}{6} - 2 \times \frac{10(11)}{2} + 10$
$= 385 - 110 + 10 = 285$.

(D) दिया गया है कि $x^2+x+1=0$,जिसके मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है।
ध्यान दें कि $\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ है।
अतः,$A_r$ के पद इस प्रकार हैं:
$k=1$ के लिए,$(x+\frac{1}{x})^3 = (-1)^3 = -1$।
$k=2$ के लिए,$(x^2+\frac{1}{x^2})^3 = (\omega^2+\omega)^3 = (-1)^3 = -1$।
$k=3$ के लिए,$(x^3+\frac{1}{x^3})^3 = (1+1)^3 = 8$।
इसलिए,$A_3 = (-1)(-1)(8) = 8$।
$k=4$ के लिए,$(x^4+\frac{1}{x^4})^3 = (\omega+\omega^2)^3 = -1$।
$k=5$ के लिए,$(x^5+\frac{1}{x^5})^3 = (\omega^2+\omega)^3 = -1$।
$k=6$ के लिए,$(x^6+\frac{1}{x^6})^3 = (1+1)^3 = 8$।
इसलिए,$A_6 = A_3 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 8 = 8^2 = 64$।
सामान्यतः,$A_{3n} = 8^n$।
श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{A_{3n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8^n} = \frac{1/8}{1-1/8} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$।

(A) दिया गया है $z^2+z+1=0$,इसके मूल $z = \omega$ और $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।
किसी भी $n$ के लिए जो $3$ से विभाज्य नहीं है,$z^n + \frac{1}{z^n} = \omega^n + \omega^{2n} = -1$ होता है।
$n$ जो $3$ से विभाज्य है,उसके लिए $z^n + \frac{1}{z^n} = \omega^{3k} + \omega^{6k} = 1 + 1 = 2$ होता है।
योग में कुल $2020$ पद हैं।
$n$ जो $3$ का गुणज है,ऐसे पदों की संख्या $\lfloor \frac{2020}{3} \rfloor = 673$ है।
$n$ जो $3$ का गुणज नहीं है,ऐसे पदों की संख्या $2020 - 673 = 1347$ है।
योग $1347 \times (-1)^3 + 673 \times (2)^3 = -1347 + 5384 = 4037$ है।

(A) दिया गया है,$x = \omega^2 - \omega - 3$.
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 = -1 - \omega$.
प्रतिस्थापित करने पर,$x = (-1 - \omega) - \omega - 3 = -2\omega - 4$.
अतः $x + 4 = -2\omega$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + 4)^2 = 4\omega^2$.
$x^2 + 8x + 16 = 4(-1 - \omega) = -4 - 4\omega$.
चूंकि $-4\omega = 2(x + 4)$,इसलिए $x^2 + 8x + 16 = -4 + 2x + 8$.
$x^2 + 6x + 12 = 0$.
अब,$x^4 + 6x^3 + 10x^2 - 12x - 19$ को $x^2 + 6x + 12$ से विभाजित करने पर,
$x^4 + 6x^3 + 10x^2 - 12x - 19 = (x^2 + 6x + 12)(x^2 - 2) + 5$.
चूंकि $x^2 + 6x + 12 = 0$,इसलिए व्यंजक का मान $0(x^2 - 2) + 5 = 5$ है।

(A) दिया गया समीकरण $(x-1)^5=32(x+1)^5$ है।
दोनों पक्षों को $(x+1)^5$ से विभाजित करने पर,$\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5=32$ प्राप्त होता है।
माना $z = \frac{x-1}{x+1}$ है। तो $z^5 = 32 = 2^5 \cdot e^{i(2k\pi)}$,जहाँ $k=0, 1, 2, 3, 4$ है।
अतः,$z = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$ है।
मान वापस रखने पर,$\frac{x-1}{x+1} = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$ है।
माना $\alpha = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$ है। तो $\frac{x-1}{x+1} = \alpha$ है।
$x-1 = \alpha(x+1)$ $\Rightarrow x(1-\alpha) = 1+\alpha$ $\Rightarrow x = \frac{1+\alpha}{1-\alpha}$ है।
$\alpha$ का मान रखने पर,$x = \frac{1+2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}}{1-2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}}$ जहाँ $k=0, 1, 2, 3, 4$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(z+1)^n = z^n$ है। चूँकि $z=0$ मूल नहीं है, हम लिख सकते हैं $(\frac{z+1}{z})^n = 1$।
माना $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ जहाँ $k = 1, 2, \ldots, n-1$ है।
तब $z+1 = z \omega_k \Rightarrow z(1 - \omega_k) = -1 \Rightarrow z = \frac{1}{\omega_k - 1}$।
$\omega_k = \cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $z = \frac{1}{\cos(\frac{2k\pi}{n}) - 1 + i \sin(\frac{2k\pi}{n})} = \frac{1}{-2 \sin^2(\frac{k\pi}{n}) + 2i \sin(\frac{k\pi}{n}) \cos(\frac{k\pi}{n})} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) [\cos(\frac{k\pi}{n}) + i \sin(\frac{k\pi}{n})]} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) e^{i \frac{k\pi}{n}}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) e^{-i \frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) (\cos(\frac{k\pi}{n}) - i \sin(\frac{k\pi}{n})) = \frac{1}{2} (-i \cot(\frac{k\pi}{n}) - 1)$।
अतः, $\operatorname{Re}(z_k) = -\frac{1}{2}$ और $\operatorname{Im}(z_k) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{k\pi}{n})$ है।
योग $n-1$ मूलों पर है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(|\cot(\frac{k\pi}{n})|) - 1}{-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (1 - \frac{k\pi}{n}) = (n-1) - \frac{\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)(1 - \frac{\pi}{2}) = \frac{n-1}{2}(2 - \pi)$।

(A) माना $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$.
व्यंजक में मान रखने पर: $\frac{\bar{z}-1}{z-i} = \frac{(x-1) - iy}{x + i(y-1)}$.
वास्तविक भाग प्राप्त करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $x - i(y-1)$ से गुणा करें।
$\frac{((x-1) - iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x(x-1) - y(y-1) + i(\dots)}{x^2 + (y-1)^2}$.
वास्तविक भाग $\frac{x^2 - x - y^2 + y}{x^2 + (y-1)^2} = 2$ है।
$x^2 - x - y^2 + y = 2(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + 3y^2 + x - 5y + 2 = 0$.
यह समीकरण $(-1, 1)$ बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(D) दिया गया है,$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$.
माना $z = x+iy$.
तब $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
चूंकि $\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y-3 = x-2$,जिसे सरल करने पर $x-y+1 = 0$ प्राप्त होता है.
इस प्रकार,$z$ का बिंदुपथ $x-y+1 = 0$ है.

(B) दिया है $z = x+iy$,इसलिए $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
चूंकि $z-2-3i$ का आयाम $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\arg((x-2) + i(y-3)) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y-3 = x-2$,जिसे सरल करने पर $x-y+1=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $z^2+az+b=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास $\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = b$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0)$,$\alpha$,और $\beta$ आर्गंड तल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए मूल बिंदु पर एक शीर्ष वाले समबाहु त्रिभुज के लिए शर्त $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ है।
हम इसे $(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \alpha\beta$ के रूप में लिख सकते हैं।
मूलों के योग और गुणनफल के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(-a)^2 - 2(b) = b$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $a^2 - 2b = b$ मिलता है,जिससे $a^2 = 3b$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $|z-2i|=2$ आर्गंड समतल में एक वृत्त है जिसका केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या $2$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,इसे एक समबाहु त्रिभुज होना चाहिए।
माना $A$ बिंदु $(2, 2)$ है। वृत्त का केंद्र $O'(0, 2)$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$A$ से $BC$ पर डाला गया लंब केंद्र $O'(0, 2)$ से होकर गुजरता है।
$M$,$BC$ का मध्य बिंदु है। $M$ के निर्देशांक $(-1, 2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$M$ का काल्पनिक भाग $2$ है।
चूंकि $M$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{\text{Im}(z_2) + \text{Im}(z_3)}{2} = 2$ है।
अतः,$\text{Im}(z_2) + \text{Im}(z_3) = 4$।

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $z\bar{z}+az+\bar{a}\bar{z}-4=0$ है। चूँकि $z\bar{z}=|z|^2=x^2+y^2$ और $a=1+i$, हमारे पास $az=(1+i)(x+iy)=(x-y)+i(x+y)$ है।
अतः, $az+\bar{a}\bar{z}=2\operatorname{Re}(az)=2(x-y)$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2(x-y)-4=0$ हो जाता है, जो $S: x^2+y^2+2x-2y-4=0$ है।
रेखा का समीकरण $(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})+2=0$ है। चूँकि $z+\bar{z}=2x$ और $z-\bar{z}=2iy$, हमारे पास $2x-i(2iy)+2=0$ है, जो सरल होकर $2x+2y+2=0$ या $L: x+y+1=0$ बन जाता है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S+\lambda L=0$ है, अर्थात $(x^2+y^2+2x-2y-4)+\lambda(x+y+1)=0$ है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है, हम समीकरण में $x=0, y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $-4+\lambda(1)=0$, जिससे $\lambda=4$ प्राप्त होता है।
$\lambda=4$ को परिवार के समीकरण में वापस रखने पर: $x^2+y^2+2x-2y-4+4(x+y+1)=0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर, हमें $x^2+y^2+6x+2y=0$ प्राप्त होता है।

(D) आर्गंड समतल में चार बिंदु $A, B, C, D$ के निर्देशांक $(2, 1), (4, 3), (2, 5), (0, 3)$ हैं।
भुजाओं की ढाल की गणना करने पर:
$AB$ की ढाल $= \frac{3-1}{4-2} = 1$.
$BC$ की ढाल $= \frac{5-3}{2-4} = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $1 \times (-1) = -1$ है,इसलिए $\angle ABC = 90^\circ$ है।
अतः,$ABCD$ एक आयत है।
वृत्त में स्थित आयत के विकर्ण वृत्त के व्यास होते हैं।
वृत्त का केंद्र विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{2+2}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (2, 3)$.
सम्मिश्र रूप में,यह $2+3i$ है।

(C) समीकरण $|z-z_1| + |z-z_2| = \lambda$ दो निश्चित बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से दूरियों का योग अचर होने को दर्शाता है।
यदि $\lambda = |z_1-z_2|$ है,तो बिंदु पथ $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
यदि $\lambda > |z_1-z_2|$ है,तो बिंदु पथ $z_1$ और $z_2$ नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त है।
यदि $\lambda < |z_1-z_2|$ है,तो बिंदु पथ एक रिक्त समुच्चय है।
अतः,शर्त $|z_1-z_2| < \lambda$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाती है।

(C) तीन-अंकीय संख्या के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। अतः,सैकड़े के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं $(1, 2, 3, 4, 5)$।
दहाई के स्थान के लिए,हमारे पास $5$ विकल्प हैं ($0$ सहित लेकिन सैकड़े के स्थान में उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)।
इकाई के स्थान के लिए,हमारे पास $4$ विकल्प हैं।
कुल तीन-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 5 \times 4 = 100$.
पांच-अंकीय संख्या के लिए,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। अतः,दस-हजार के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं $(1, 2, 3, 4, 5)$।
शेष चार स्थानों के लिए,हमारे पास क्रमशः $5, 4, 3, 2$ विकल्प हैं।
कुल पांच-अंकीय संख्याएँ $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 600$.
इसलिए,आवश्यक पूर्णांकों की कुल संख्या $= 100 + 600 = 700$.

(A) समुच्चय $B$ में $26$ भिन्न अवयव हैं। सम पूर्णांकों की संख्या $12$ है। अतः,आवश्यक क्रमचयों की संख्या $\frac{26!}{12!}$ है।

(A) $3$ समान लाल,$4$ समान नीली और $5$ समान हरी गेंदों में से कम से कम एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$x = (3+1)(4+1)(5+1) - 1 = 4 \times 5 \times 6 - 1 = 120 - 1 = 119$.
परीक्षा के लिए,एक छात्र $5$ विषयों में से प्रत्येक में उत्तीर्ण या अनुत्तीर्ण हो सकता है। कुल परिणामों की संख्या $2^5 = 32$ है। छात्र अनुत्तीर्ण माना जाता है यदि वह कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होता है। अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या कुल परिणामों में से उस स्थिति को घटाने पर मिलती है जहाँ छात्र सभी $5$ विषयों में उत्तीर्ण होता है:
$y = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
अतः,$x + y = 119 + 31 = 150$.

(A) मतदाता $12$ उपलब्ध उम्मीदवारों में से $1, 2, 3,$ या $4$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है।
$12$ में से $k$ उम्मीदवारों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{12}C_k$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि मतदाता को कम से कम एक उम्मीदवार को वोट देना है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या $1, 2, 3,$ या $4$ उम्मीदवारों को चुनने का योग है:
$\text{कुल तरीके} = {}^{12}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{12}C_3 + {}^{12}C_4$
$= 12 + 66 + 220 + 495 = 793$

(B) दिया गया समीकरण $x+y+z+w=25$ है,जहाँ $x, y, z \geq -1$ और $w \geq 1$ है।
माना $a = x+1 \geq 0$,$b = y+1 \geq 0$,$c = z+1 \geq 0$,और $d = w-1 \geq 0$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(a-1) + (b-1) + (c-1) + (d+1) = 25$ प्राप्त होता है।
यह $a+b+c+d-2 = 25$,अर्थात $a+b+c+d = 27$ में सरल हो जाता है।
$a+b+c+d = n$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र ${}^{n+k-1}C_{k-1}$ है,जहाँ $k$ चरों की संख्या है।
यहाँ $n=27$ और $k=4$ है,इसलिए हलों की संख्या ${}^{27+4-1}C_{4-1} = {}^{30}C_3$ होगी।

(D) प्रश्न पत्र में तीन भाग $A, B, C$ हैं जिनमें क्रमशः $4, 5, 6$ प्रश्न हैं। हमें $7$ प्रश्न चुनने हैं ताकि प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न चुने जाएँ।
संभावित वितरण $(n_A, n_B, n_C)$ हैं:
$1$. $(3, 2, 2)$: $\binom{4}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 4 \times 10 \times 15 = 600$
$2$. $(2, 3, 2)$: $\binom{4}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} = 6 \times 10 \times 15 = 900$
$3$. $(2, 2, 3)$: $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} = 6 \times 10 \times 20 = 1200$
कुल तरीके = $600 + 900 + 1200 = 2700$.

(C) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M(2), A(2), T(2), H(1), E(1), I(1), C(1), S(1)$.
कुल क्रमचय $= \frac{11!}{2!2!2!} = 4989600$.
उन क्रमचयों को खोजने के लिए जहाँ कोई भी समान अक्षर एक साथ न हों,हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं।
इस विशिष्ट समस्या के लिए,गणना $90 \times 21600 = 1944000$ तक ले जाती है।
अतः,$X = 21600$.

(A) $5$ बेंच हैं,प्रत्येक पर $2$ सीटें हैं,जिससे एक पंक्ति में कुल $10$ सीटें हो जाती हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के या लड़कियाँ एक साथ न बैठें,लिंग एकांतर होने चाहिए: $B G B G B G B G B G$ या $G B G B G B G B G B$।
स्थिति $1$: पैटर्न $B G B G B G B G B G$ है।
$5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$।
स्थिति $2$: पैटर्न $G B G B G B G B G B$ है।
$5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
व्यवस्थाओं की संख्या $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$।
कुल व्यवस्थाएं $= 14400 + 14400 = 28800$।

(C) $ATRAPATRAM$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $A(4), T(2), R(2), P(1), M(1)$.
$(i)$ यदि सभी $A$ एक साथ हैं,तो $(AAAA)$ ब्लॉक को एक इकाई मानने पर,हमारे पास $6$ अन्य अक्षर और यह $1$ इकाई है,कुल $7$ वस्तुएं। विन्यासों की संख्या $x = \frac{7!}{2!2!}$ है।
(ii) यदि कोई भी दो $A$ एक साथ नहीं हैं,तो पहले शेष $6$ अक्षरों $(T, T, R, R, P, M)$ को $\frac{6!}{2!2!}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इन $6$ अक्षरों द्वारा $7$ रिक्त स्थान बनते हैं। $4$ $A$ को $^7C_4$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$y = ^7C_4 \times \frac{6!}{2!2!}$.
इसलिए,$x+y = \frac{7!}{2!2!} + ^7C_4 \times \frac{6!}{2!2!} = \frac{6!}{2!2!} (7 + 35) = \frac{6!}{2!2!} \times 42$.

(A) कुल गुलाब: $10$ लाल और $5$ पीले। कुल फूल = $15$।
मालाओं के लिए,$n$ भिन्न वस्तुओं का विन्यास $\frac{(n-1)!}{2}$ होता है।
$x$: कोई भी दो पीले गुलाब एक साथ न आएं। पहले,$10$ लाल गुलाबों को एक वृत्त में $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ तरीकों से व्यवस्थित करें। उनके बीच $10$ रिक्त स्थान बनते हैं। हम $5$ पीले गुलाबों को इन $10$ स्थानों में $P(10, 5)$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।
$x = \frac{9!}{2} \times P(10, 5) = \frac{9!}{2} \times \frac{10!}{5!}$।
$y$: सभी लाल गुलाब एक साथ आएं। $10$ लाल गुलाबों को $1$ इकाई मानें। अब हमारे पास $1$ लाल गुलाब की इकाई और $5$ अलग-अलग पीले गुलाब हैं,कुल $6$ वस्तुएं। इन्हें एक वृत्त में $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2}$ तरीकों से व्यवस्थित करें। $10$ लाल गुलाब आपस में $10!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
$y = \frac{5!}{2} \times 10!$।
अब,$\frac{2(x-y)}{10!} = \frac{2}{10!} \left( \frac{9! \times 10!}{2 \times 5!} - \frac{5! \times 10!}{2} \right) = \frac{9!}{5!} - 5!$।

(D) कुल लड़कियों की संख्या $= 3 + 8 = 11$ है।
$11$ लड़कियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या $(11 - 1)! = 10!$ है।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $3$ बहनें एक साथ न बैठें,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं: कुल व्यवस्था $-$ वे व्यवस्थाएँ जहाँ $3$ बहनें एक साथ बैठती हैं।
$3$ बहनों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $8 + 1 = 9$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(9 - 1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
$3$ बहनें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे व्यवस्थाएँ जहाँ $3$ बहनें एक साथ बैठती हैं $= 8! \times 3!$।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 10! - (8! \times 3!) = 10! - (8! \times 6)$।
$= 8! \times (10 \times 9 - 6) = 8! \times (90 - 6) = 8! \times 84$।

(B) रैखिक व्यवस्था के लिए,$p$ पुरुषों को एक इकाई के रूप में मानें। यहाँ $q$ महिलाएँ और $1$ पुरुषों की इकाई है,जो कुल $q+1$ वस्तुएँ बनाती हैं। इन्हें $(q+1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $p$ पुरुषों को आपस में $p!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$\alpha = p!(q+1)!$.
वृत्तीय व्यवस्था के लिए,$p$ पुरुषों को एक इकाई के रूप में मानें। यहाँ $q$ महिलाएँ और $1$ पुरुषों की इकाई है,जो कुल $q+1$ वस्तुएँ बनाती हैं। इन्हें एक वृत्त में $(q+1-1)! = q!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $p$ पुरुषों को आपस में $p!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$\beta = p!q!$.
इसलिए,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p!(q+1)!}{p!q!} = \frac{(q+1) \times q!}{q!} = q+1$.
अतः,$\alpha : \beta = (q+1) : 1$.

(A) दिया गया है $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$।
प्रत्येक पद का गुणनखंड करने पर:
$9n^2 + 54n + 80 = (3n + 8)(3n + 10)$
$9n^2 + 45n + 54 = 9(n^2 + 5n + 6) = 9(n + 2)(n + 3) = (3n + 6)(3n + 9)$
$9n^2 + 36n + 35 = (3n + 5)(3n + 7)$
अतः,$m = (3n + 5)(3n + 6)(3n + 7)(3n + 8)(3n + 9)(3n + 10)$।
यह $6$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
$k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$m$,$6! = 720$ से विभाज्य है।

(A) उपलब्ध अंक ${2, 3, 4, 4}$ हैं।
$1.$ एक-अंकीय संख्याएँ: ${2, 3, 4}$। कुल = $3$।
$2.$ दो-अंकीय संख्याएँ: ${2, 3, 4, 4}$ का उपयोग करके,संभावित संख्याएँ ${23, 24, 32, 34, 42, 43, 44}$ हैं। कुल = $7$।
$3.$ तीन-अंकीय संख्याएँ: ${2, 3, 4, 4}$ का उपयोग करके,संभावित संख्याएँ ${234, 243, 244, 324, 342, 344, 423, 424, 432, 434, 442, 443}$ हैं। कुल = $12$।
$4.$ चार-अंकीय संख्याएँ: $324$ की रैंक $3 + 7 + (\text{324 से पहले 2 या 3 से शुरू होने वाली संख्याएँ})$ है।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${2344, 2434, 2443}$ ($3$ संख्याएँ)।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${3244, 3424, 3442}$ ($3$ संख्याएँ)।
$324$ की रैंक = $3 + 7 + 3 + 1 = 14$।
$5.$ $4324$ की रैंक:
$1, 2, 3$ अंकों की संख्याएँ = $3 + 7 + 12 = 22$।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${3, 4, 4}$ के $3$ क्रमपरिवर्तन = $3$।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${2, 4, 4}$ के $3$ क्रमपरिवर्तन = $3$।
$42$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: ${3, 4}$ के $2$ क्रमपरिवर्तन = $2$।
$4324$ से शुरू होने वाली संख्या = $1$।
$4324$ की रैंक = $22 + 3 + 3 + 2 + 1 = 31$।
अतः,$x - y = 31 - 14 = 17$।

(B) $(2n+1)$ पुस्तकों में से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने के कुल तरीके संयोजनों के योग द्वारा दिए जाते हैं:
$^{2n+1}C_{n+1} + ^{2n+1}C_{n+2} + \dots + ^{2n+1}C_{2n} = 255$.
ध्यान दें कि छात्र सभी पुस्तकें नहीं चुन सकता है,इसलिए $^{2n+1}C_{2n+1}$ पद को बाहर रखा गया है।
हम जानते हैं कि $^{2n+1}C_0$ से $^{2n+1}C_{2n+1}$ तक के सभी संयोजनों का योग $2^{2n+1}$ है।
चूंकि $^{2n+1}C_k = ^{2n+1}C_{2n+1-k}$,पहले आधे पदों का योग दूसरे आधे पदों के योग के बराबर है।
विशेष रूप से,$\sum_{k=n+1}^{2n} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} - 1 = 2^{2n} - 1$.
दिया गया है कि $2^{2n} - 1 = 255$,तो $2^{2n} = 256$ है।
चूंकि $256 = 2^8$,हमें $2n = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
पुस्तकों की कुल संख्या $2n + 1 = 2(4) + 1 = 9$ है।

(B) दिया गया है,$S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r\}$.
$S_2$ के लिए: $x+y+z=11, x \geq 2, y \geq 2, z \geq 2$.
माना $x-2=a, y-2=b, z-2=c$,जहाँ $a, b, c \geq 0$.
तब $(a+2)+(b+2)+(c+2)=11 \Rightarrow a+b+c=5$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$n(S_2) = 21$.
$S_3$ के लिए: $x+y+z=11, x \geq 3, y \geq 3, z \geq 3$.
माना $x-3=a, y-3=b, z-3=c$,जहाँ $a, b, c \geq 0$.
तब $(a+3)+(b+3)+(c+3)=11 \Rightarrow a+b+c=2$.
हलों की संख्या $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ है।
अतः,$n(S_3) = 6$.
$S_4$ के लिए: $x+y+z=11, x \geq 4, y \geq 4, z \geq 4$.
माना $x-4=a, y-4=b, z-4=c$,जहाँ $a, b, c \geq 0$.
तब $(a+4)+(b+4)+(c+4)=11 \Rightarrow a+b+c=-1$.
चूँकि $a, b, c \geq 0$,यह संभव नहीं है,इसलिए $n(S_4) = 0$.
अतः,$n(S_2) + n(S_3) + n(S_4) = 21 + 6 + 0 = 27$.

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{k=0}^{19} \frac{1}{(6k+1)(6k+7)}$ है।
इसे $\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{19} \left( \frac{1}{6k+1} - \frac{1}{6k+7} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\frac{1}{6} \left[ (\frac{1}{1} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{13}) + \dots + (\frac{1}{115} - \frac{1}{121}) \right]$.
$= \frac{1}{6} \left( 1 - \frac{1}{121} \right) = \frac{1}{6} \times \frac{120}{121} = \frac{20}{121}$.
दिया गया है कि $\frac{m}{n} = \frac{20}{121}$,जहाँ $\gcd(m, n) = 1$,इसलिए $m = 20$ और $n = 121$ है।
अतः,$5m + 2n = 5(20) + 2(121) = 100 + 242 = 342$।

(A) माना समीकरण $8 x^3+6 p x^2+3 q x-27=0$ के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\frac{a}{r}+a+ar = -\frac{6p}{8} = -\frac{3p}{4} \Rightarrow a(\frac{1}{r}+1+r) = -\frac{3p}{4} \dots (i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(\frac{a}{r} \cdot a) + (a \cdot ar) + (\frac{a}{r} \cdot ar) = \frac{3q}{8}$ $\Rightarrow a^2(\frac{1}{r}+r+1) = \frac{3q}{8} \dots (ii)$
मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -(\frac{-27}{8}) = \frac{27}{8}$ $\Rightarrow a^3 = \frac{27}{8}$ $\Rightarrow a = \frac{3}{2} \dots (iii)$
(ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{a^2(\frac{1}{r}+r+1)}{a(\frac{1}{r}+r+1)} = \frac{3q/8}{-3p/4}$ $\Rightarrow a = \frac{3q}{8} \cdot (-\frac{4}{3p}) = -\frac{q}{2p} \dots (iv)$
(iii) और (iv) की तुलना करने पर: $\frac{3}{2} = -\frac{q}{2p} \Rightarrow q = -3p$.
अब,$q = -3p$ को व्यंजक $q^2+9p^2+6pq+\frac{q}{p}$ में रखने पर:
$(-3p)^2 + 9p^2 + 6p(-3p) + \frac{-3p}{p} = 9p^2 + 9p^2 - 18p^2 - 3 = 18p^2 - 18p^2 - 3 = -3$.

(B) दिया गया है कि $\cos (\theta-\alpha), \cos \theta, \cos (\theta+\alpha)$ $HP$ में हैं।
अतः,इनके व्युत्क्रम $AP$ में होंगे:
$\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$ $AP$ में हैं।
इसलिए,$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta+\alpha) + \cos (\theta-\alpha)}{\cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)}$.
सर्वसमिका $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$.
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$.
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
चूंकि $\theta, \alpha \in Q_3$,$(1 - \cos \alpha)$ से विभाजित करने पर:
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
वर्गमूल लेने पर,$\cos \theta = \pm \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}$.
चतुर्थांश $Q_3$ के अनुसार,$\cos \theta \sec \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $A_k$ के $x$-निर्देशांक $a, 2a, 3a, \ldots, na$ हैं। समांतर माध्य $\alpha$ इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{a + 2a + 3a + \ldots + na}{n} = \frac{a(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}{n} = \frac{a \cdot n(n+1)}{2n} = \frac{a(n+1)}{2}$.
अतः,$a = \frac{2\alpha}{n+1}$.
बिंदुओं $A_k$ के $y$-निर्देशांक $a^1, a^2, a^3, \ldots, a^n$ हैं। गुणोत्तर माध्य $\beta$ इस प्रकार है:
$\beta = (a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot \ldots \cdot a^n)^{1/n} = (a^{1+2+3+\ldots+n})^{1/n} = (a^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n} = a^{\frac{n+1}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\beta^2 = a^{n+1}$ प्राप्त होता है।
$\beta^2$ के व्यंजक में $a = \frac{2\alpha}{n+1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta^2 = \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{n+1}$.
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = \left(\frac{2x}{n+1}\right)^{n+1}$ है।

(A) दिया गया संबंध $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ है,जहाँ $a_0 = 0$ और $a_1 = 1$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $r^2 - r - 1 = 0$ है।
इसके मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
माना $a_n = A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + B\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ है।
$a_0 = 0$ का उपयोग करने पर,$A + B = 0$,अतः $B = -A$ है।
$a_1 = 1$ का उपयोग करने पर,$A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) - A\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = 1$ है।
$A\sqrt{5} = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
अतः $B = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
इस प्रकार,$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ है।

(C) श्रेणी $1^2, 2(2^2), 3^2, 2(4^2), 5^2, 2(6^2), \ldots$ है।
जब $n$ सम है,तो $n = 2m$ लें। योग $S_{2m}$ में $m$ विषम पद और $m$ सम पद हैं।
$S_{2m} = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + (2m)^2)$
$= \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$
$= \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$
$= 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$
$= 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$
$= 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$
$= 2m(m+1)(2m+1-1) + m$
$= 2m(m+1)(2m) + m = 4m^2(m+1) + m = m(4m^2 + 4m + 1) = m(2m+1)^2$
चूंकि $n = 2m$,इसलिए $m = n/2$ है।
$m = n/2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = \frac{n}{2}(2(\frac{n}{2}) + 1)^2 = \frac{n}{2}(n+1)^2$.

(C) व्यंजक $\frac{(1+x)^2}{(1-2x)^3} = (1+2x+x^2)(1-2x)^{-3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n+r-1}{r} z^r$ का उपयोग करने पर,$(1-2x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} (2x)^r$ प्राप्त होता है।
$(1-2x)^{-3}$ में $x^r$ का गुणांक $\binom{r+2}{2} 2^r$ है।
हमें $(1+2x+x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} 2^r x^r$ में $x^{13}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $1 \cdot \binom{15}{2} 2^{13} + 2 \cdot \binom{14}{2} 2^{12} + 1 \cdot \binom{13}{2} 2^{11}$ के बराबर है।
$= 105 \cdot 2^{13} + 91 \cdot 2^{13} + 78 \cdot 2^{11}$.
$= 2^{11} (105 \cdot 4 + 91 \cdot 4 + 78) = 2^{11} (420 + 364 + 78) = 2^{11} (862) = 2^{10} (1724)$.
अतः,$A = 1724$।

(D) माना $E = (5^{1/2} + 7^{1/8})^{1024} + (5^{1/2} - 7^{1/8})^{1024}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(a+b)^n + (a-b)^n$ का सामान्य पद $T_{r+1} = 2 \times \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ है।
यहाँ $n = 1024$,$a = 5^{1/2}$,और $b = 7^{1/8}$ है।
पद $2 \binom{1024}{k} 5^{512 - k/2} 7^{k/8}$ के रूप में हैं।
पद के परिमेय होने के लिए,$k/2$ और $k/8$ पूर्णांक होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
चूँकि $0 \le k \le 1024$ और $k$ सम है,$k \in \{0, 8, 16, \dots, 1024\}$।
$k$ के ऐसे मानों की संख्या $\frac{1024}{8} + 1 = 129$ है।
ये $129$ पद परिमेय हैं।
परिणामी विस्तार में पदों की कुल संख्या $\frac{1024}{2} + 1 = 513$ है।
इन $513$ पदों में से $129$ परिमेय हैं।
अतः,अपरिमेय पदों की संख्या $513 - 129 = 384$ है।

(C) माना $f(x) = \frac{2x^3+8x^2-2x-2}{(1-x)(1+x)(1-2x)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए:
$f(x) = 1 - \frac{2}{1-2x} - \frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x}$.
द्विपद श्रेणी विस्तार के अनुसार:
$x^{10}$ का गुणांक $l = -2(2^{10}) - 3 + 1 = -2^{11} - 2$.
अचर पद $m = 1 - 2 - 3 + 1 = -3$.
अतः,$lm = (-2^{11}-2)(-3) = 6(2^{10}+1)$.

(A) दिया गया व्यंजक $(1-x)^3(2+x)^6$ है। चूँकि $x$ बहुत छोटा है,हम $x^3$ और उच्च घातों को छोड़ देते हैं। \\ $(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2$. \\ $(2+x)^6 = 2^6 + 6 \times 2^5 \times x + \frac{6 \times 5}{2} \times 2^4 \times x^2 = 64 + 192x + 240x^2$. \\ अब,दोनों विस्तारों का गुणा करने पर: \\ $(1-3x+3x^2)(64+192x+240x^2) = 64 + 192x + 240x^2 - 192x - 576x^2 + 192x^2$ ($x^3$ और उच्च घातों को छोड़ने पर)। \\ $= 64 + (192-192)x + (240-576+192)x^2 = 64 + 0x - 144x^2$. \\ $a+bx+cx^2$ से तुलना करने पर,$a=64, b=0, c=-144$ प्राप्त होता है। \\ अतः,$a+b+c = 64 + 0 - 144 = -80$.

(B) $(ax + by)^n$ के विस्तार के लिए,$r^{th}$ और $(r+1)^{th}$ पद संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े होते हैं यदि $r = \frac{(n+1) \cdot |by/ax|}{1 + |by/ax|}$ हो।
दिया है $x = 2/5$ और $y = 1/2$,अतः $|by/ax| = |(6 \times 1/2) / (5 \times 2/5)| = 3/2$.
चूंकि $9^{th}$ और $10^{th}$ पद सबसे बड़े हैं,$r = 9$.
$9 = \frac{(n+1)(3/2)}{1 + 3/2} = \frac{3(n+1)}{5}$.
$45 = 3(n+1) \Rightarrow n = 14$.
$(5x - 6y)^{14}$ का मध्य पद $8^{th}$ पद है।
अतः,$|T_8| = |^{14}C_7 (5x)^7 (-6y)^7| = ^{14}C_7 (2)^7 (3)^7 = ^{14}C_7 6^7$.

(B) $\left(a x^2+\frac{b}{x^3}\right)^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r a^{15-r} b^r x^{30-5r}$ है।
$x^{10}$ के लिए,$30-5r = 10 \Rightarrow r = 4$. अतः,$l = {}^{15}C_4 a^{11} b^4$.
अचर पद के लिए,$30-5r = 0 \Rightarrow r = 6$. अतः,$m = {}^{15}C_6 a^9 b^6$.
$x^{-10}$ के लिए,$30-5r = -10 \Rightarrow r = 8$. अतः,$n = {}^{15}C_8 a^7 b^8$.
दिया गया है कि $\frac{l}{m} + \frac{m}{n} = \frac{26}{11}$.
$\frac{l}{m} = \frac{3}{11} \cdot \frac{a^2}{b^2}$ और $\frac{m}{n} = \frac{7}{9} \cdot \frac{a^2}{b^2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{a^2}{b^2} \left( \frac{3}{11} + \frac{7}{9} \right) = \frac{26}{11}$.
$\frac{a^2}{b^2} \left( \frac{104}{99} \right) = \frac{26}{11} \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{9}{4}$.
अतः,$a^2 : b^2 = 9 : 4$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
दोनों पक्षों को $(x^2+1)^3$ से गुणा करने पर:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
$x^4+24x^2+28 = A(x^4+2x^2+1) + B(x^2+1) + C$
$x^4+24x^2+28 = Ax^4 + (2A+B)x^2 + (A+B+C)$
$x^4$,$x^2$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1 = A$
$24 = 2A+B$ $\Rightarrow 24 = 2(1)+B$ $\Rightarrow B = 22$
$28 = A+B+C$ $\Rightarrow 28 = 1+22+C$ $\Rightarrow C = 5$
अंत में,$B-2A+C$ की गणना करने पर:
$B-2A+C = 22 - 2(1) + 5 = 22 - 2 + 5 = 25$

(A) विस्तार $\left(x^{-5/4} + 2x^{4/5}\right)^n$ में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^nC_r 2^r x^{\frac{-25n + 41r}{20}}$.
$x^0$ के गुणांक के लिए,घात शून्य होनी चाहिए:
$-25n + 41r = 0 \Rightarrow r = \frac{25n}{41}$.
चूँकि $r$ एक पूर्णांक है,$n$ को $41$ का गुणज होना चाहिए। $n = pq$ होने के कारण,न्यूनतम संभव मान $n = 41 \times 2 = 82$ है।

(D) दी गई व्यंजक: $f(x) = \frac{(1+\frac{2x}{3})^{-4}(4+5x)^{1/2}}{(9+x)^{3/2}}$
$x^2$ और उच्च घातों को नगण्य मानते हुए, द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
$f(x) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{8x}{3}) (1 + \frac{5x}{8}) (1 - \frac{x}{6})$
$f(x) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{53x}{24})$
$x = \frac{6}{371}$ रखने पर:
$f(\frac{6}{371}) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{53}{1484}) = \frac{1}{14}$

(A) माना $P(n) = n^5-5n^3+4n$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $P(n) = n(n^4-5n^2+4) = n(n^2-1)(n^2-4)$.
आगे गुणनखंड करने पर: $P(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
$k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$P(n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए $5! = 120$ से विभाज्य है।
$n=1$ के लिए,$P(1) = 0$,जो $120$ से विभाज्य है।
$n=2$ के लिए,$P(2) = 0$,जो $120$ से विभाज्य है।
$n=3$ के लिए,$P(3) = 120$,जो $120$ से विभाज्य है।
अतः,यह कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए सत्य है।

(A) माना $a = \cos^{-1} x$ और $b^2 = (\sin^{-1} y)^2$. दिए गए समीकरण $a + b^2 = \frac{n \pi^2}{4}$ और $a \cdot b^2 = \frac{\pi^4}{16}$ हैं।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (\frac{n \pi^2}{4})t + \frac{\pi^4}{16} = 0$ के मूल हैं।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$,इसलिए $(\frac{n \pi^2}{4})^2 - 4(\frac{\pi^4}{16}) \ge 0$.
$\frac{n^2 \pi^4}{16} - \frac{\pi^4}{4} \ge 0 \Rightarrow n^2 \ge 4 \Rightarrow n \ge 2$ (चूंकि $n \in Z$ और वास्तविक $x, y$ के लिए $n > 0$ है)।
न्यूनतम मान $n = 2$ के लिए,द्विघात समीकरण $t^2 - \frac{2 \pi^2}{4}t + \frac{\pi^4}{16} = 0$ बन जाता है,जो $(t - \frac{\pi^2}{4})^2 = 0$ है।
अतः,$a = \frac{\pi^2}{4}$ और $b^2 = \frac{\pi^2}{4}$.
चूंकि $a = \cos^{-1} x = \frac{\pi^2}{4}$,इसलिए $x = \cos(\frac{\pi^2}{4})$.
चूंकि $b^2 = (\sin^{-1} y)^2 = \frac{\pi^2}{4}$,इसलिए $\sin^{-1} y = \pm \frac{\pi}{2}$,अतः $y = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.
हल $(\cos(\frac{\pi^2}{4}), \pm 1)$ है।

(C) दिया गया है कि,$|x|>1$ के लिए $\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(x)=\log _e(f(x))$ है।
हम जानते हैं कि $\tanh ^{-1}(u) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{1+u}{1-u}\right)$।
$u = \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\right) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
साथ ही,$|x|>1$ के लिए $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\tanh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right) + \frac{1}{2} \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \log _e\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
इसे $\log _e(f(x))$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = -5$ रखने पर:
$f(-5) = \frac{-5+1}{-5-1} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$।

(A) $(I)$ हमारे पास $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(\tan ^{-1} x\right)\right)\right)$ है।
माना $\tan ^{-1} x = \theta$,तो $\tan \theta = x$। अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।
इसलिए,$f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)\right)$।
माना $\cot ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \alpha$,तो $\cot \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,जिसका अर्थ है $\tan \alpha = \sqrt{1+x^2}$।
तब $\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+1+x^2}} = \sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}$।
अतः,$f(0) = \sqrt{\frac{1+0}{2+0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} \neq \frac{1}{2}$,कथन $I$ गलत है।
$(II)$ हम सूत्र $4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \frac{120}{119}$ का उपयोग करते हैं।
तब $\sin \left(\tan ^{-1} \frac{120}{119} - \tan ^{-1} \frac{1}{239}\right) = \sin \left(\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} \times \frac{1}{239}}\right)\right) = \sin \left(\tan ^{-1} \left(\frac{28680 - 119}{28441 + 120}\right)\right) = \sin \left(\tan ^{-1} \frac{28561}{28561}\right) = \sin \left(\tan ^{-1} 1\right) = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} \neq 1$,कथन $II$ गलत है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\frac{1}{2} \sec ^{-1} x+\tan ^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{8}$
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{2} \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{8}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{13}{40}}{\frac{39}{40}} \right) + \frac{1}{2} \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{8}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{8}$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2/3}{1-1/9} \right) + \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) + \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\sec ^{-1} x = \tan ^{-1} \sqrt{x^2-1}$,इसलिए:
$\tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) + \tan ^{-1} \sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{\frac{3}{4} + \sqrt{x^2-1}}{1 - \frac{3}{4} \sqrt{x^2-1}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$3 + 4 \sqrt{x^2-1} = 4 - 3 \sqrt{x^2-1}$
$7 \sqrt{x^2-1} = 1$
$\sqrt{x^2-1} = \frac{1}{7}$
$x^2 - 1 = \frac{1}{49}$
$x^2 = 1 + \frac{1}{49} = \frac{50}{49}$

(C) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(u)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)$.
सर्वसमिका $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(u) = \cos ^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)$.
मान लीजिए $\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right) = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{12}{x}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{x^2 - 144}}{x} = \frac{5}{x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 144 = 25$.
$x^2 = 169$,जिससे हमें $x = 13$ प्राप्त होता है (क्योंकि यहाँ $\sin^{-1}$ के डोमेन के लिए $x$ धनात्मक होना चाहिए)।

(A) दिया गया है,$x = \tan^{-1} \left(\frac{1}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{8}\right)$.
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ का उपयोग करने पर,
$x = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{8+5}{40}}{\frac{40-1}{40}}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{13}{39}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)$.
अतः,$\tan x = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\tan x = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{1}{3}$,इसलिए कर्ण $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ होगा।
अतः,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$ और $\cos x = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sin x + \cos x}{\tan x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{3}} = \frac{12}{\sqrt{10}}$.

(D) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2 x^2}-1}{a x}\right)$.
$ax = \tan \theta$ रखने पर,अतः $\theta = \tan ^{-1}(ax)$.
तब $y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2}$.
अतः,$y = \frac{1}{2} \tan ^{-1}(ax)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y^{\prime} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{1+a^2 x^2}$ प्राप्त होता है।
इससे $(1+a^2 x^2) y^{\prime} = \frac{a}{2}$ मिलता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(1+a^2 x^2) y^{\prime \prime} + (2a^2 x) y^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(1+a^2 x^2) y^{\prime \prime} + g(x) y^{\prime} = 0$ से तुलना करने पर,$g(x) = 2a^2 x$ प्राप्त होता है।
समीकरण $1+a^2 x^2 + g(x) = 0$ का रूप $a^2 x^2 + 2a^2 x + 1 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है।
यहाँ,मूलों का योग $-\frac{2a^2}{a^2} = -2$ है।

(A) दिया है $\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $a^2 + b^2 = c^2$ है।
माना $S = \tan^{-1}\left(\frac{a}{b+c}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{b}{c+a}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right)$ है।
पहले,$\tan^{-1}\left(\frac{a}{b+c}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{b}{c+a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a}}{1 - \frac{ab}{(b+c)(c+a)}}\right)$ लें।
$= \tan^{-1}\left(\frac{ac + a^2 + bc + b^2}{(b+c)(c+a) - ab}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{ac + bc + c^2}{bc + ab + c^2 + ac - ab}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{c(a+b+c)}{c(a+b+c)}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$S = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}\left(\frac{c}{a+b}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \frac{c}{a+b}}{1 - \frac{c}{a+b}}\right)$ है।
$= \tan^{-1}\left(\frac{a+b+c}{a+b-c}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2s}{2(s-c)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{s}{s-c}\right)$ है।
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है,इसलिए $\frac{r_3}{r} = \frac{s}{s-c}$ है।
अतः,$S = \tan^{-1}\left(\frac{r_3}{r}\right)$ है।

(D) हम सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x-2}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2 x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.
सूत्र लागू करने पर:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x}{x-2} - \frac{x}{2x-1}}{1 + \frac{x}{x-2} \cdot \frac{x}{2x-1}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$.
$\tan ^{-1}$ के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x(2x-1) - x(x-2)}{(x-2)(2x-1) + x^2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{2x^2 - x - x^2 + 2x}{2x^2 - x - 4x + 2 + x^2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{x^2 + x}{3x^2 - 5x + 2} = \frac{2}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$3(x^2 + x) = 2(3x^2 - 5x + 2)$.
$3x^2 + 3x = 6x^2 - 10x + 4$.
$3x^2 - 13x + 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3x - 1)(x - 4) = 0$.
अतः,$x = \frac{1}{3}$ या $x = 4$.
दोनों मान मूल व्यंजक के प्रांत में हैं। इसलिए,मानों का समुच्चय $\left\{\frac{1}{3}, 4\right\}$ है।

(C) हमारे पास है,$\sum_{n=1}^k \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम योग के अंदर के पद को फिर से लिख सकते हैं:
$\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{(n+2)-(n+1)}{1+(n+2)(n+1)}$.
अतः,योग इस प्रकार हो जाता है:
$\sum_{n=1}^k (\tan ^{-1}(n+2) - \tan ^{-1}(n+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
योग का विस्तार करने पर:
$(\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + (\tan ^{-1} 4 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1}(k+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1} 2 = \tan ^{-1} \alpha$.
सूत्र को फिर से लागू करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(k+2)-2}{1+(k+2)(2)}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{k}{1+2k+4}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
इसलिए,$\alpha = \frac{k}{2k+5}$.

(D) फलन $f(x) = \sec^{-1}(3x - 4) + \tanh^{-1}\left(\frac{x + 3}{5}\right)$ है।
$\sec^{-1}(3x - 4)$ को परिभाषित होने के लिए,$|3x - 4| \geq 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $3x - 4 \leq -1$ या $3x - 4 \geq 1$।
$3x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1$ और $3x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}$।
अतः,पहले भाग का प्रांत $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$ है।
$\tanh^{-1}\left(\frac{x + 3}{5}\right)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 < \frac{x + 3}{5} < 1$ होना चाहिए।
$-5 < x + 3 < 5$।
$-8 < x < 2$।
$x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$ और $x \in (-8, 2)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in (-8, 1] \cup [\frac{5}{3}, 2)$।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log_{10}\left(\frac{5x - x^2}{4}\right)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $\log_{10}\left(\frac{5x - x^2}{4}\right) \geq 0$
इसका अर्थ है $\frac{5x - x^2}{4} \geq 10^0$,जो सरल होकर $\frac{5x - x^2}{4} \geq 1$ हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $5x - x^2 \geq 4$ या $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x - 4) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in [1, 4]$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[1, 4]$ है।

(D) हमें $f(x) = [x]$ और $g(x) = 3[\frac{x}{3}]$ दिया गया है।
$f(x) = g(x)$ रखने पर,$[x] = 3[\frac{x}{3}]$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $[\frac{x}{3}] = k$,जहाँ $k \in Z$.
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$k \leq \frac{x}{3} < k + 1$,जिसका अर्थ है $3k \leq x < 3k + 3$.
साथ ही,$[x] = 3k$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[x] = 3k$ का अर्थ है $3k \leq x < 3k + 1$.
अतः,उन सभी वास्तविक $x$ का समुच्चय $\{x \in R : 3k \leq x < 3k + 1, k \in Z\}$ है।

(B) $f(x)=\frac{x-[x]}{\sqrt{|x|-x}}$ को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$|x|-x > 0 \Rightarrow |x| > x$.
यह असमिका सभी $x < 0$ के लिए सत्य है। अतः,$A = (-\infty, 0)$.
$g(x)=\frac{x-[x]}{\sqrt{|x|+x}}$ को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$|x|+x > 0 \Rightarrow |x| > -x$.
यह असमिका सभी $x > 0$ के लिए सत्य है। अतः,$B = (0, \infty)$.
चूंकि $A = (-\infty, 0)$ और $B = (0, \infty)$,उनका प्रतिच्छेदन रिक्त है:
$A \cap B = \phi$.

(C) दिया गया फलन $f:[-3,2] \rightarrow [0, \sqrt[3]{x}]$ है,जहाँ $f(n) = \begin{cases} 2+\sqrt[3]{n}, & -3 \leq n \leq -1 \\ n^{2/3}, & -1 < n \leq 2 \end{cases}$ है।
फलन के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $[0, \sqrt[3]{x}]$ के बराबर होना चाहिए।
सीमा बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$-3 \leq n \leq -1$ के लिए,$f(n)$ का मान $f(-3) = 2 + \sqrt[3]{-3}$ से $f(-1) = 1$ तक बढ़ता है।
$-1 < n \leq 2$ के लिए,$f(n) = n^{2/3}$ है। $n = 0$ पर $f(0) = 0$ और $n = 2$ पर $f(2) = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन आच्छादक है,इसलिए फलन का अधिकतम मान सह-प्रांत की ऊपरी सीमा के बराबर होना चाहिए।
अधिकतम मान $\max(1, \sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{4}$ है।
अतः,$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{4}$,जिसका अर्थ है कि $x = 4$।

(D) फलन $f(x) = \cos ^{-1}\left[\log _5\left(x^2+7 x+15\right)\right]$ तब परिभाषित होता है जब $\cos ^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में हो।
अतः,$-1 \leq \log _5\left(x^2+7 x+15\right) \leq 1$.
आधार $5$ के घातांकीय फलन का उपयोग करने पर,हमें $5^{-1} \leq x^2+7 x+15 \leq 5^1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{5} \leq x^2+7 x+15 \leq 5$ है।
सबसे पहले,$x^2+7 x+15 \leq 5$ पर विचार करें,जिसका अर्थ है $x^2+7 x+10 \leq 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x+5)(x+2) \leq 0$ प्राप्त होता है,जो $x \in [-5, -2]$ देता है।
अगला,$x^2+7 x+15 \geq \frac{1}{5}$ पर विचार करें,जिसका अर्थ है $x^2+7 x + 14.8 \geq 0$।
$x^2+7 x + 14.8$ का विविक्तकर (discriminant) $D = 7^2 - 4(1)(14.8) = 49 - 59.2 = -10.2 < 0$ है।
चूंकि अग्रणी गुणांक धनात्मक है और $D < 0$ है,इसलिए $x^2+7 x + 14.8$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,प्रांत $x \in [-5, -2]$ और $x \in \mathbb{R}$ का प्रतिच्छेदन है,जो $x \in [-5, -2]$ है।

(A) हमारे पास $f(x) = x + 2|x + 1| + 2|x - 1|$ है।
फलन को अंतरालों में विभाजित करने पर:
$x \leq -1$ के लिए: $f(x) = x + 2(-x - 1) + 2(-x + 1) = -3x$.
$-1 < x < 1$ के लिए: $f(x) = x + 2(x + 1) + 2(-x + 1) = x + 4$.
$x \geq 1$ के लिए: $f(x) = x + 2(x + 1) + 2(x - 1) = 5x$.
फलन इस प्रकार परिभाषित है:
$f(x) = \begin{cases} -3x, & x \leq -1 \\ x + 4, & -1 < x < 1 \\ 5x, & x \geq 1 \end{cases}$
$x = -1$ पर,$f(-1) = 3$. $x < -1$ के लिए,$f(x) > 3$. $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x)$ का मान $3$ से $5$ के बीच है। $x = 1$ पर,$f(1) = 5$. $x > 1$ के लिए,$f(x) > 5$.
मान $3$ केवल $x = -1$ पर प्राप्त होता है। फलन का न्यूनतम मान $x = -1$ पर है,इसलिए इसका अद्वितीय पूर्व-प्रतिबिंब है।

(B) $\lim _{x \rightarrow 0} g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा के लिए $(x \rightarrow 0^-)$: $f(x) = 2-x$। जैसे $x \rightarrow 0^-$,$f(x) \rightarrow 2^+$। चूँकि $f(x) > 2$,हम $g(x) = x-7$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\lim _{x \rightarrow 0^-} g(f(x)) = \lim _{f(x) \rightarrow 2^+} (f(x)-7) = 2-7 = -5$।
दाएँ पक्ष की सीमा के लिए $(x \rightarrow 0^+)$: $f(x) = x+2$। जैसे $x \rightarrow 0^+$,$f(x) \rightarrow 2^+$। पुनः,चूँकि $f(x) > 2$,हम $g(x) = x-7$ का उपयोग करते हैं। अतः,$\lim _{x \rightarrow 0^+} g(f(x)) = \lim _{f(x) \rightarrow 2^+} (f(x)-7) = 2-7 = -5$।
चूँकि दोनों सीमाएँ समान हैं,$\lim _{x \rightarrow 0} g(f(x)) = -5$।

(C) एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1}{\sqrt{1+x_1^2}} = \frac{x_2}{\sqrt{1+x_2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2}{1+x_1^2} = \frac{x_2^2}{1+x_2^2}$
$x_1^2(1+x_2^2) = x_2^2(1+x_1^2)$
$x_1^2 + x_1^2x_2^2 = x_2^2 + x_1^2x_2^2$
$x_1^2 = x_2^2$
चूँकि $f'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,फलन निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
चूँकि $x^2 < 1+x^2$,इसलिए $\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} < 1$.
अतः,फलन का परिसर $(-1, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{60-5x}{3}, & 0 \leq x \leq 6 \\ 10, & 6 \leq x \leq 7 \\ 31-3x, & 7 \leq x \leq 10 \end{cases}$ है।
अंतराल $x \in [6, 7]$ के लिए,$f(x) = 10$ है। चूँकि फलन अंतराल $[6, 7]$ में सभी $x$ के लिए समान मान लेता है,इसलिए यह एकैकी (one-one) नहीं है।
अब,$f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करते हैं:
$0 \leq x \leq 6$ के लिए,$f(x) = \frac{60-5x}{3}$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $6$ तक जाता है,$f(x)$,$\frac{60}{3} = 20$ से $\frac{60-30}{3} = 10$ तक जाता है। अतः,परिसर $[10, 20]$ है।
$6 \leq x \leq 7$ के लिए,$f(x) = 10$ है। अतः,परिसर ${10}$ है।
$7 \leq x \leq 10$ के लिए,$f(x) = 31-3x$ है। जैसे-जैसे $x$,$7$ से $10$ तक जाता है,$f(x)$,$31-21 = 10$ से $31-30 = 1$ तक जाता है। अतः,परिसर $[1, 10]$ है।
इन परिसरों का संघ (union) $[1, 10] \cup {10} \cup [10, 20] = [1, 20]$ है।
चूँकि परिसर $[1, 20]$ सह-प्रांत (co-domain) $[1, 20]$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) है।
अतः,$f(x)$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) दिया गया है कि $A_n = \{(n+1)k \mid k \in N\}$ है।
$n=1$ के लिए,$A_1 = \{2k \mid k \in N\} = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$ है।
$n=2$ के लिए,$A_2 = \{3k \mid k \in N\} = \{3, 6, 9, 12, \dots\}$ है।
$n=3$ के लिए,$A_3 = \{4k \mid k \in N\} = \{4, 8, 12, 16, \dots\}$ है।
अब,$X = \bigcup_{n \in N} A_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \dots = \{2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$ है।
यहाँ,$f: X \rightarrow N$ को $f(x) = x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f(x) = x$ डोमेन $X$ पर एक तत्समक फलन है,इसलिए यह एकैकी (one-one) है।
हालाँकि,सह-डोमेन $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ है।
फलन $f$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,परिसर और सह-डोमेन समान होने चाहिए। यहाँ,परिसर $X = \{2, 3, 4, 5, \dots\}$ है।
चूंकि $1 \in N$ है लेकिन $1 \notin X$ है,इसलिए ऐसा कोई $x \in X$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 1$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक फलन नहीं है।

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए है।
$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$।
किसी भी $n \in Z^+$ के लिए,आगमन द्वारा,$f(nx) = nf(x)$।
मान लीजिए $f(1) = k$,जहाँ $k \in Z$ है। तब सभी $n \in Z$ के लिए $f(n) = nk$ होगा।
चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y)$,इसलिए सभी $x \in Z$ के लिए $f(x) = kx$ होगा।
$f$ को $Z$ से $Z$ पर एक द्विआधारी (bijective) फलन होने के लिए,इसे एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होना चाहिए।
यदि $f(x) = kx$ है,तो $f$ एकैकी तभी होगा जब $k \neq 0$ हो।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,इसका परिसर (range) $Z$ होना चाहिए।
$f(x) = kx$ का परिसर $k$ के सभी गुणजों का समुच्चय है,अर्थात $\{..., -2k, -k, 0, k, 2k, ...\}$।
इस समुच्चय को $Z$ के बराबर होने के लिए,$k = 1$ या $k = -1$ होना चाहिए।
यदि $k = 1$ है,तो $f(x) = x$,जो कि तत्समक फलन (bijective) है।
यदि $k = -1$ है,तो $f(x) = -x$,जो कि द्विआधारी भी है।
अतः,ऐसे कुल दो फलन संभव हैं।

(C) हमें दिया गया है $f(n) = \left(r+1, \frac{q+1}{2}\right)$ जहाँ $n = q \times 2^r$,$q$ एक विषम पूर्णांक है और $r \geq 0$ है।
एकैकी (one-one) फलन के लिए:
मान लीजिए $f(n_1) = f(n_2)$.
तब $\left(r_1+1, \frac{q_1+1}{2}\right) = \left(r_2+1, \frac{q_2+1}{2}\right)$.
इसका अर्थ है $r_1+1 = r_2+1 \Rightarrow r_1 = r_2$ और $\frac{q_1+1}{2} = \frac{q_2+1}{2} \Rightarrow q_1 = q_2$.
चूंकि $n_1 = q_1 \times 2^{r_1}$ और $n_2 = q_2 \times 2^{r_2}$,इसलिए $n_1 = n_2$ प्राप्त होता है। अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) फलन के लिए:
मान लीजिए $(a, b) \in N \times N$. हमें $n \in N$ ज्ञात करना है ताकि $f(n) = (a, b)$ हो।
$r+1 = a \Rightarrow r = a-1$. चूंकि $a \in N$,$a \geq 1$,इसलिए $r \geq 0$.
$\frac{q+1}{2} = b \Rightarrow q = 2b-1$. चूंकि $b \in N$,$b \geq 1$,इसलिए $q \geq 1$ और $q$ एक विषम संख्या है।
इस प्रकार,किसी भी $(a, b) \in N \times N$ के लिए,$n = (2b-1) \times 2^{a-1} \in N$ मौजूद है ताकि $f(n) = (a, b)$ हो।
इसलिए,$f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए $f$ एकैकी आच्छादक (bijection) है।

(B) दिया गया है $f: Z \rightarrow N$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} 2n, & \text{यदि } n > 0 \\ 1, & \text{यदि } n = 0 \\ -2n-1, & \text{यदि } n < 0 \end{cases}$.
जब $n > 0$ है,तो $f(n) \in \{2, 4, 6, 8, \dots\}$.
जब $n = 0$ है,तो $f(0) = 1$.
जब $n < 0$ है,मान लीजिए $n = -k$ जहाँ $k > 0$. तब $f(n) = -2(-k) - 1 = 2k - 1$. जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$f(n)$ का मान $1, 3, 5, 7, \dots$ प्राप्त होता है.
अतः,$f$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4, \dots\} = N$ है. चूँकि परिसर = सह-प्रांत,इसलिए $f$ आच्छादक है.
अब,एकैकी की जाँच करते हैं: $f(0) = 1$ और $f(-1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1$.
यहाँ $f(0) = f(-1)$ है लेकिन $0 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है.
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है.

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + 3x - 3$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}$.
प्रतिलोम के अस्तित्व के लिए,फलन को एकदिष्ट होना चाहिए। परवलय का शीर्ष $x = -\frac{3}{2}$ पर है,इसलिए फलन $[-\frac{3}{2}, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है। अतः,$\alpha = -\frac{3}{2}$.
माना $y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{21}{4}$. तब $x + \frac{3}{2} = \sqrt{y + \frac{21}{4}}$,जिससे $g(x) = f^{-1}(x) = \sqrt{x + \frac{21}{4}} - \frac{3}{2}$.
हमें $x = \alpha + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1$ पर $g'(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x + \frac{21}{4}} - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{x + \frac{21}{4}}}$.
$x = 1$ पर,$g'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{21}{4}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{25}{4}}} = \frac{1}{2 \times \frac{5}{2}} = \frac{1}{5}$.

(B) दिया गया है,$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$। यह एक फलन समीकरण है जिसका हल $f(x)=a^x$ के रूप में होता है।
दिया है $f(1)=2$,इसलिए $a^1=2 \Rightarrow a=2$। अतः,$f(x)=2^x$।
अब,$2|x|+5|y| \leq 4$ द्वारा घिरे क्षेत्र पर विचार करें। यह एक समचतुर्भुज (rhombus) है जिसके शीर्ष $(\pm 2, 0)$ और $(0, \pm 4/5)$ पर हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $4 \times \text{प्रथम चतुर्थांश में एक त्रिभुज का क्षेत्रफल}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{4}{5}) = 4 \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$।
हमें $\frac{16}{5}$ को $f(1)=2^1=2$,$f(2)=2^2=4$,और $f(4)=2^4=16$ के पदों में व्यक्त करना है।
ध्यान दें कि $1+f(2) = 1+4 = 5$।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{16}{5} = \frac{f(4)}{1+f(2)}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
हम बीजीय सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ जानते हैं।
$f(x)$ के लिए इसका उपयोग करने पर:
$[f(x)]^3 = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$.
चूंकि $f(x^3) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ और $f(x) = x - \frac{1}{x}$,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$[f(x)]^3 = f(x^3) - 3(1)f(x)$.
$3f(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3f(x) = f(x^3) - [f(x)]^3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1 + \sin([\cos x])}{\cos([\sin x])}$।
अंतराल $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,हमारे पास $0 < \cos x < 1$ है,इसलिए $[\cos x] = 0$। साथ ही,$0 < \sin x < 1$ है,इसलिए $[\sin x] = 0$।
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \frac{1 + \sin(0)}{\cos(0)} = \frac{1 + 0}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x) = 1$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह इस अंतराल पर सतत है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) हम सीमा $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(2+x) - x^{2n} \sin x}{1+x^{2n}}$ का विश्लेषण करते हैं।
स्थिति $1$: यदि $0 \leq x < 1$ है,तो $n \rightarrow \infty$ होने पर $x^{2n} \rightarrow 0$ होता है। अतः,$f(x) = \frac{\log(2+x) - 0}{1+0} = \log(2+x)$.
स्थिति $2$: यदि $x = 1$ है,तो $f(1) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(3) - 1^{2n} \sin(1)}{1+1^{2n}} = \frac{\log 3 - \sin 1}{2}$.
स्थिति $3$: यदि $1 < x \leq \frac{\pi}{2}$ है,तो $x^{2n} \rightarrow \infty$ होता है। अंश और हर को $x^{2n}$ से विभाजित करने पर,हमें $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\log(2+x)}{x^{2n}} - \sin x}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} = \frac{0 - \sin x}{0 + 1} = -\sin x$ प्राप्त होता है।
अब,$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \log(2+1) = \log 3$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = -\sin(1)$.
चूँकि $\log 3 \neq -\sin 1$,इसलिए फलन $x=1$ पर असंतत है।

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर सतत है,इसलिए $k = \lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ होगा।
$k = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(9x-1)(\sqrt{x}-1)}{3x^2+2x-5}$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश: $\frac{d}{dx}[(9x-1)(\sqrt{x}-1)] = 9(\sqrt{x}-1) + (9x-1)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$.
हर: $\frac{d}{dx}[3x^2+2x-5] = 6x+2$.
$x \rightarrow 1$ पर सीमा का मान रखने पर:
$k = \frac{9(1-1) + (9-1)(\frac{1}{2})}{6(1)+2} = \frac{0 + 8(\frac{1}{2})}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4 x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x=0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x>0 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = 2 \lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूंकि $LHL = RHL = 8$,इसलिए $x=0$ पर सांतत्य के लिए $f(0) = a = 8$ होना चाहिए।

(A) यह दिया गया है कि फलन $f(x)$ का $x=5$ पर $f(5)=75$ के साथ एक न्यूनतम मान है।
यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 5]$ पर सतत होता,तो चरम मान प्रमेय (Extreme Value Theorem) के अनुसार,इसे इस बंद अंतराल पर एक अधिकतम और एक न्यूनतम मान प्राप्त करना ही होता।
चूंकि $f(-1) = -249$ और $f(5) = 75$ है,यदि फलन सतत होता,तो $(-1, 5)$ में कोई ऐसा $c$ मौजूद होता जहाँ $f(c)$ अधिकतम होता या फलन को $-249$ से $75$ तक बढ़ना पड़ता।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि फलन का कोई अधिकतम मान नहीं है और $x=5$ पर केवल एक न्यूनतम मान है।
यदि $f(x)$ सतत होता,तो यह दी गई शर्तों का खंडन करता क्योंकि एक बंद अंतराल पर सतत फलन का अधिकतम मान होना अनिवार्य है।
इसलिए,अधिकतम मान न होने के लिए $f(x)$ को अंतराल $(-1, 5)$ में किसी बिंदु पर असतत होना ही चाहिए।

(B) $1$. फलन $f(x) = |x-a| + |x-b|$ दो मापांक फलनों का योग है। चूंकि $|x-c|$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है,इसलिए दो सतत फलनों का योग भी $R$ पर सतत होता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$2$. फलन $g(x) = \frac{|x-\alpha|}{x-\alpha}$ को $x > \alpha$ के लिए $1$ और $x < \alpha$ के लिए $-1$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $x = \alpha$ पर फलन अपरिभाषित है। इसलिए,यह सभी $x \in R - \{\alpha\}$ के लिए सतत है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
$3$. हालांकि दोनों कथन सत्य हैं,$f(x)$ की निरंतरता मापांक फलनों का एक गुण है और $g(x)$ की निरंतरता मापांक वाले परिमेय फलनों का एक अलग गुण है। $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं करता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|+2x^2}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ है।
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{|-h|+2(-h)^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h+2h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h(1+2h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{1+2h} = -1$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{|h|+2h^2} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h(1+2h)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{1+2h} = 1$.
चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $f(x)$,$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $x=0$ पर असतत है।

(D) हमारे पास है,$f(x) = \begin{cases} 1 + x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3 - x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$f(f(x))$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
जब $0 \leq f(x) \leq 2$,तब $f(f(x)) = 1 + f(x)$.
जब $2 < f(x) \leq 3$,तब $f(f(x)) = 3 - f(x)$.
$x \in [0, 3]$ के लिए गणना करने पर:
यदि $0 \leq x \leq 1$,तो $1 \leq f(x) \leq 2$,इसलिए $f(f(x)) = 1 + (1 + x) = 2 + x$.
यदि $1 < x \leq 2$,तो $2 < f(x) \leq 3$,इसलिए $f(f(x)) = 3 - (1 + x) = 2 - x$.
यदि $2 < x \leq 3$,तो $0 \leq f(x) < 1$,इसलिए $f(f(x)) = 1 + (3 - x) = 4 - x$.
अतः,$f(f(x)) = \begin{cases} 2 + x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x, & 1 < x \leq 2 \\ 4 - x, & 2 < x \leq 3 \end{cases}$.
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = 3$,$\lim_{x \to 1^+} f(f(x)) = 1$. चूंकि $3 \neq 1$,यह $x = 1$ पर असंतत है।
$x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 2^-} f(f(x)) = 0$,$\lim_{x \to 2^+} f(f(x)) = 2$. चूंकि $0 \neq 2$,यह $x = 2$ पर असंतत है।
इसलिए,$a = 1$ और $b = 2$.
$2a + 3b = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$.

(D) कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $F(x) = a_0 x + \frac{a_1 x^2}{2} + \frac{a_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{a_n x^{n+1}}{n+1}$ है।
$F(x)$ एक बहुपद है,इसलिए यह $[0,1]$ पर सतत है और $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$F(0) = 0$ और $F(1) = a_0 + \frac{a_1}{2} + \ldots + \frac{a_n}{n+1} = 0$ (दिया गया है)।
रोल के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $F^{\prime}(c) = 0$ है।
चूंकि $F^{\prime}(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n = P(x)$,इसलिए $P(c) = 0$ है। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II$ के लिए: मान लीजिए $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ है। चूंकि $f$,$[a, b]$ पर सतत है और $a>0$,इसलिए $g(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $g(a) = \frac{f(a)}{a} = \frac{f(b)}{b} = g(b)$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (a, b)$ मौजूद है जिसके लिए $g^{\prime}(c) = 0$ है।
$g^{\prime}(x) = \frac{x f^{\prime}(x) - f(x)}{x^2}$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें $c f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ प्राप्त होता है,या $c f^{\prime}(c) = f(c)$। अतः,कथन $II$ भी सही है।

(B) $f(x)$ के लिए: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$,जो $f(0)$ के बराबर है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$,जिसका अस्तित्व नहीं है। अतः,$(i)$ सत्य है।
$g(x) = x f(x) = x^2 \sin(1/x)$ के लिए $x \neq 0$ और $g(0) = 0$ है।
$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ है। अतः $g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x \neq 0$ के लिए,$g'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$ है।
जैसे $x \to 0$,$\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin(1/x) - \cos(1/x))$,जिसका अस्तित्व नहीं है क्योंकि $\cos(1/x)$ दोलन करता है।
चूंकि $\lim_{x \to 0} g'(x) \neq g'(0)$,इसलिए $g'(x)$,$x = 0$ पर सतत नहीं है। अतः,$(ii)$ सत्य है।

(A) दिया गया है,$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$.
परिभाषा के अनुसार,यह सीमा $f'(x) = e^x(x+1)$ है।
$f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = \int (x e^x + e^x) dx = x e^x + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(0) = 0$,इसलिए $0(e^0) + c = 0$,जिसका अर्थ है कि $c = 0$ है।
अतः,$f(x) = x e^x$ है।
अब,हम व्यंजक $\frac{d}{d x}(f(x) e^{-x}) + \frac{d}{d x}(\frac{f(x)}{x})$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(x) = x e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d}{d x}(x e^x \cdot e^{-x}) + \frac{d}{d x}(\frac{x e^x}{x}) = \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(e^x)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $1 + e^x$ हो जाता है।

(B) दिया गया है $x = \frac{1 - \sqrt[3]{y}}{1 + \sqrt[3]{y}}$.
दोनों पक्षों को $(1 + \sqrt[3]{y})$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $x(1 + \sqrt[3]{y}) = 1 - \sqrt[3]{y}$.
$x + x\sqrt[3]{y} = 1 - \sqrt[3]{y}$.
$\sqrt[3]{y}(x + 1) = 1 - x$.
$\sqrt[3]{y} = \frac{1 - x}{1 + x}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$y = \left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)^3$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (chain rule का उपयोग करके):
$\frac{dy}{dx} = 3\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)^2 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) = \frac{-(1 + x) - (1 - x)(1)}{(1 + x)^2} = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} = \frac{-2}{(1 + x)^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{(1 - x)^2}{(1 + x)^2} \cdot \frac{-2}{(1 + x)^2} = \frac{-6(1 - x)^2}{(1 + x)^4}$.
चूँकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$,इसलिए $\frac{dx}{dy} = \frac{-(1 + x)^4}{6(1 - x)^2}$.

(D) दिया गया है $F(x)=f(x) g(x)$.
गुणनफल नियम के अनुसार,$F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$.
हमें $G(x)=f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)$ दिया गया है।
चूंकि $F^{\prime}(x)=G(x) H(x)$,इसलिए $H(x)=\frac{F^{\prime}(x)}{G(x)}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)}=\frac{g(x)}{g^{\prime}(x)}+\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}$.
साथ ही,$F^{\prime}(x)=F(x) K(x)$,इसलिए $K(x)=\frac{F^{\prime}(x)}{F(x)}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)}{f(x) g(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}+\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}$.
अतः,$H(x)+K(x)=\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}+\frac{g(x)}{g^{\prime}(x)}+\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}+\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}$.

(B) दिया गया है $y = \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \log \sqrt{1-x^2}$.
सबसे पहले,लघुगणकीय पद को सरल करने पर: $\log \sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2} \log(1-x^2)$.
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \log(1-x^2) \right)$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,पहले पद का अवकलन: $\frac{(\sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}})\sqrt{1-x^2} - (x \sin^{-1} x)(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}})}{1-x^2} = \frac{\sin^{-1} x + \frac{x^2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + x}{1-x^2}$.
दूसरे पद का अवकलन: $\frac{d}{dx} (\frac{1}{2} \log(1-x^2)) = \frac{-x}{1-x^2}$.
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^{-1} x + \frac{x^2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + x - x}{1-x^2} = \frac{\sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}}$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + g'(1)x + g''(2)$। मान लीजिए $g'(1) = a$ और $g''(2) = b$। तब $f(x) = x^2 + ax + b$।
$f'(x) = 2x + a$ और $f''(x) = 2$।
दिया गया है $g(x) = f(1)x^2 + xf'(x) + f''(x)$।
$f(1) = 1 + a + b$,$f'(x) = 2x + a$,और $f''(x) = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g(x) = (1 + a + b)x^2 + x(2x + a) + 2 = (1 + a + b + 2)x^2 + ax + 2 = (3 + a + b)x^2 + ax + 2$।
अब,$g'(x) = 2(3 + a + b)x + a$ और $g''(x) = 2(3 + a + b)$।
$g'(1) = a$ का उपयोग करने पर: $2(3 + a + b) + a = a \implies 6 + 2a + 2b = 0 \implies a + b = -3$।
$g''(2) = b$ का उपयोग करने पर: $2(3 + a + b) = b \implies 6 + 2a + 2b = b \implies 2a + b = -6$।
समीकरणों को हल करने पर: $(2a + b) - (a + b) = -6 - (-3) \implies a = -3$।
अतः $-3 + b = -3 \implies b = 0$।
इस प्रकार,$f(x) = x^2 - 3x$ और $g(x) = (3 - 3 + 0)x^2 - 3x + 2 = -3x + 2$।
$f(x) - g(x) = (x^2 - 3x) - (-3x + 2) = x^2 - 2$।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + (2n-1)\sin x + (n^2-n+1)}\right)$ है।
हम इसे $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{(\sin x + n) - (\sin x + n - 1)}{1 + (\sin x + n)(\sin x + n - 1)}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_n = \tan^{-1}(\sin x + n) - \tan^{-1}(\sin x + n - 1)$ प्राप्त होता है।
$10$ पदों तक योग करने पर,हमें $f(x) = \sum_{n=1}^{10} [\tan^{-1}(\sin x + n) - \tan^{-1}(\sin x + n - 1)]$ प्राप्त होता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + 10) - \tan^{-1}(\sin x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{\cos x}{1 + (\sin x + 10)^2} - \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$f'(0) = \frac{\cos 0}{1 + (0 + 10)^2} - \frac{\cos 0}{1 + 0^2} = \frac{1}{101} - 1 = \frac{-100}{101}$।

(A) दिया गया समीकरण $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2(1+y) = y^2(1+x)$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$।
चूंकि $x \neq y$,हम $(x-y)$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $x+y+xy = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए हल करने पर,$y(1+x) = -x$,अतः $y = \frac{-x}{1+x}$।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (-x)(1)}{(1+x)^2}$।
सरल करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1-x+x}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$।

(A) दिया गया समीकरण $2^x+2^y=2^{x+y}$ है।
दोनों पक्षों को $2^{x+y}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2^x}{2^{x+y}}+\frac{2^y}{2^{x+y}}=1$ प्राप्त होता है।
यह $2^{-y}+2^{-x}=1$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(2^{-y})+\frac{d}{dx}(2^{-x})=\frac{d}{dx}(1)$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$2^{-y} \cdot \log 2 \cdot (-\frac{dy}{dx}) + 2^{-x} \cdot \log 2 \cdot (-1) = 0$ प्राप्त होता है।
$-\log 2$ से विभाजित करने पर,$2^{-y} \frac{dy}{dx} + 2^{-x} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{-x}}{2^{-y}} = -2^{y-x}$।
मूल समीकरण $2^x+2^y=2^{x+y}$ से,$2^{-x} = 1-2^{-y}$ है।
इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{1-2^{-y}}{2^{-y}} = -(\frac{1}{2^{-y}}-1) = -(2^y-1) = 1-2^y$।

(C) माना $y = \operatorname{cosech}^{-1}(\tan 2x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\operatorname{cosech}^{-1}(\tan 2x)]$.
सूत्र याद करें: $\frac{d}{dx} \operatorname{cosech}^{-1}(u) = \frac{-1}{|u| \sqrt{1+u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$.
यहाँ,$u = \tan 2x$,इसलिए $\frac{du}{dx} = 2 \sec^2 2x$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|\tan 2x| \sqrt{1 + \tan^2 2x}} \cdot 2 \sec^2 2x$.
चूंकि $1 + \tan^2 2x = \sec^2 2x$,इसलिए $\sqrt{1 + \tan^2 2x} = |\sec 2x|$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|\tan 2x| \cdot |\sec 2x|} \cdot 2 \sec^2 2x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sec^2 2x}{|\frac{\sin 2x}{\cos 2x}| \cdot |\frac{1}{\cos 2x}|} = \frac{-2 \sec^2 2x \cdot |\cos^2 2x|}{|\sin 2x|} = -2 |\operatorname{cosec} 2x|$.

(A) नोट: लघुगणक का आधार $e$ मान रहे हैं।
दिया गया है:
कथन: $x < 0$ के लिए,$\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{1}{|x|^2}$.
कारण: $x < 0$ के लिए,$|x| = -x$.
माना $f(x) = \log |x|$.
$x < 0$ के लिए,हमारे पास $|x| = -x$ है,इसलिए $f(x) = \log(-x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(\log(-x)) = \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{d x}(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{d}{d x}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$.
चूंकि $|x|^2 = (-x)^2 = x^2$,कथन में $\frac{1}{x^2}$ दिया गया है,लेकिन हमें $-\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन गलत है और कारण सही है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^y = y^{\sin x} (\tan x)^{\cos x}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y \log x = \sin x \log y + \cos x \log (\tan x)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \log x) = \frac{d}{dx}(\sin x \log y) + \frac{d}{dx}(\cos x \log \tan x)$
$\frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x} = (\cos x \log y + \sin x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}) + (-\sin x \log \tan x + \cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x)$
अवकलज पद को सरल करने पर:
$\cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$
$\left(\log x - \frac{\sin x}{y}\right) \frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(\log x - \frac{\sin x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = \cos x \log y - \sin x \log (\tan x) + \operatorname{cosec} x - \frac{y}{x}$

(B) दिया है,$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$.
मान लीजिए $x=\sin \alpha$ और $y=\sin \beta$ है। तब $\cos \alpha + \cos \beta = a(\sin \alpha - \sin \beta)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = a \cdot 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$.
यह सरल होकर $\cot \frac{\alpha-\beta}{2} = a$ हो जाता है,अतः $\alpha - \beta = 2 \cot^{-1} a$.
मान वापस रखने पर,$\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = 2 \cot^{-1} a$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{1-y^2}{1-x^2}$,अतः $(1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1-y^2$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2} + (-2x) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = -2y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$2 \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें $(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -y$ प्राप्त होता है।
$(1-x^2)$ से गुणा करने पर,हमें $(1-x^2)^2 \frac{d^2y}{dx^2} - x(1-x^2) \frac{dy}{dx} = -y(1-x^2)$ प्राप्त होता है।
व्यवस्थित करने पर,$(1-x^2)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + y(1-x^2) = x(1-x^2) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,हमें $\left[(1-x^2)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + y(1-x^2)\right] \frac{dy}{dx} = x(1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{1-y^2}{1-x^2}$,इसलिए पद $x(1-x^2) \cdot \frac{1-y^2}{1-x^2} = x(1-y^2)$ बन जाता है।

(D) दिए गए प्रतिलोम फलनों के अवकलज इस प्रकार हैं:
$(A)$ $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$,जहाँ $|x| > 1$। यह $III$ से मेल खाता है।
$(B)$ $\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$,जहाँ $x \in (-1, 1)$। यह $I$ से मेल खाता है।
$(C)$ $\frac{d}{dx}(\coth^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$,जहाँ $x \in R - [-1, 1]$। यह $IV$ से मेल खाता है।
$(D)$ $\frac{d}{dx}(\operatorname{cosech}^{-1} x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2+1}}$,जहाँ $x \neq 0$। यह $II$ से मेल खाता है।
अतः,सही सुमेलन $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।