TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+8y+6=0$ है। केंद्र $(2, -4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{14}$ है।
चूँकि $(2, \alpha)$ जीवा का मध्य-बिंदु है,यह वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए। अतः,$\alpha^2+8\alpha+2 < 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ के मान $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ अंतराल में हैं।
जीवा $(2, \alpha)$ से गुजरती है और त्रिज्या के लंबवत है,इसलिए जीवा $y=\alpha$ रेखा है।
अतः,$y$-अंतःखंड $(-4-\sqrt{14}, -4+\sqrt{14})$ अंतराल में स्थित है।

(C) दिए गए वृत्तों के केंद्र $C_1(1, 3+\sqrt{7})$ और $C_2(4, 3)$ हैं।
उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = 3$ और $r_2 = \sqrt{25-k^2}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = 4$ है।
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,शर्त $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ होनी चाहिए।
इस शर्त को हल करने पर $k^2 < 24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k \in \mathbb{Z}$,$k$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ हैं।
अतः,कुल $9$ मान संभव हैं।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण जो धनात्मक निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ है।
दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-12x-10y+52=0$।
इसे $(x-6)^2+(y-5)^2 = 9$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः केंद्र $C_2 = (6, 5)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों $C_1(r, r)$ और $C_2(6, 5)$ के बीच की दूरी $d = r_1+r_2 = r+3$ है।
अतः,$\sqrt{(r-6)^2+(r-5)^2} = r+3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(r-6)^2+(r-5)^2 = (r+3)^2$।
$r^2-12r+36+r^2-10r+25 = r^2+6r+9$।
$r^2-28r+52 = 0$।
$(r-2)(r-26) = 0$,अतः $r=2$ या $r=26$।
$r=2$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $r+3 = 2+3 = 5$ है।
$r=26$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $r+3 = 26+3 = 29$ है।
विकल्पों में $5$ उपलब्ध होने के कारण,सही उत्तर $5$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2-a^2=0$ और रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ है।
इसके सबसे छोटा वृत्त होने के लिए,इसका केंद्र रेखा $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त $x^2+y^2+\lambda x \cos \alpha+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ का केंद्र $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ है।
केंद्र को रेखा के समीकरण $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ में रखने पर:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = p$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} (1) = p$
$\lambda = -2p$.

(C) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $T^2=SS_1$ होता है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0,0)$ है और वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+g^2=0$ है।
$(0,0)$ पर $S_1 = g^2$ है।
$(0,0)$ पर स्पर्श रेखा $T = gx+fy+g^2$ है।
$T^2=SS_1$ में मान रखने पर:
$(gx+fy+g^2)^2 = (x^2+y^2+2gx+2fy+g^2)(g^2)$
$g^2x^2+f^2y^2+g^4+2gfxy+2g^3x+2g^2fy = g^2x^2+g^2y^2+2g^3x+2g^2fy+g^4$
समान पदों को हटाने पर:
$f^2y^2+2gfxy = g^2y^2$
$y^2(g^2-f^2)-2gfxy = 0$
$y[(g^2-f^2)y-2gfx] = 0$
अतः,समीकरण $y=0$ और $(g^2-f^2)y-2gfx=0$ हैं।

(D) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-2gx-2hy+h^2=0$.
केंद्र $C = (g, h)$,त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+h^2-h^2} = |g|$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $OP = OQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{h^2} = |h|$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \cdot OP \cdot OQ \cdot \sin(2\theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin(2\theta)$.
$\triangle OPC$ में,$\angle OPC = 90^{\circ}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{PC}{OP} = \frac{|g|}{|h|}$.
अब,$\sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2|g||h|}{h^2+g^2}$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} h^2 \cdot \frac{2|g||h|}{h^2+g^2} = \frac{|g|h^3}{h^2+g^2}$ वर्ग इकाई।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ है।
केंद्र $O(1, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $P(6, -5)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\tan(\theta/2) = \frac{OA}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$।
$\tan \theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(1,1)$ से वृत्त $x^2+y^2+gx+gy-2=0$ पर स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं।
स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{1^2+1^2+g(1)+g(1)-2} = \sqrt{1+1+g+g-2} = \sqrt{2g}$.
वृत्त का केंद्र $C$ $(-\frac{g}{2}, -\frac{g}{2})$ है और त्रिज्या $r = AC = \sqrt{(-\frac{g}{2})^2 + (-\frac{g}{2})^2 - (-2)} = \sqrt{\frac{g^2}{4} + \frac{g^2}{4} + 2} = \sqrt{\frac{g^2+4}{2}} = \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $PA$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle PAC = 90^\circ$. $\triangle PAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PA \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2g} \times \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g}$.
चतुर्भुज $PACB$ दो सर्वांगसम त्रिभुजों $\triangle PAC$ और $\triangle PBC$ से बना है।
अतः,चतुर्भुज $PACB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle PAC) = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g} = \sqrt{g^3+4g}$.

(C) दो संकेंद्रित वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+9=0$ और $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{2^2+3^2-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+3^2-12} = \sqrt{4+9-12} = 1$ है।
बिंदु $P$ बाहरी वृत्त पर स्थित है,इसलिए $PC = R = 2$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PQC$ में (जहाँ $\angle PQC = 90^\circ$ है क्योंकि $PQ$ एक स्पर्श रेखा है),हमारे पास $\cos \theta = \frac{QC}{PC} = \frac{r}{R} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
$\triangle CQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (CQ) \times (CR) \times \sin(2\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $CQ = CR = r = 1$ है,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin(2 \times \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया है $\angle APB = \pi / 4$। जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O(h, k)$ पर अंतरित कोण $\angle AOB = 2 \angle APB = \pi / 2$ है।
चूंकि $OA = OB$,$\triangle OAB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
$AB$ का मध्यबिंदु $(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2, 3)$ है। $AB$ का लंब समद्विभाजक $x = 2$ है,इसलिए $h = 2$ है।
चूंकि $\angle AOB = 90^\circ$ है,$O(2, k)$ से $A(-1, 3)$ की दूरी $R$ है,और $OA^2 + OB^2 = AB^2$ है।
$AB^2 = (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2 = 6^2 = 36$ है।
$OA^2 = (2 - (-1))^2 + (k - 3)^2 = 9 + (k - 3)^2$ है।
चूंकि $OA = OB$,$OA^2 = OB^2 = R^2$,इसलिए $2R^2 = 36 \Rightarrow R^2 = 18$ है।
$9 + (k - 3)^2 = 18$ $\Rightarrow (k - 3)^2 = 9$ $\Rightarrow k - 3 = \pm 3$ है।
अतः,$k = 6$ या $k = 0$ है।
केंद्र $(2, 6)$ और $(2, 0)$ हैं।
केंद्र $(2, 6)$ के लिए,समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 12y + 36 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 12y + 22 = 0$ है।
केंद्र $(2, 0)$ के लिए,समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = 18$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 14 = 0$ है।

(B) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2-6x+2y-28=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=1, c=-28$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-g, -f) = (3, -1)$।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+(1)^2-(-28)} = \sqrt{9+1+28} = \sqrt{38}$ इकाई।
माना $OD$ केंद्र $O(3, -1)$ से रेखा $2x-5y+18=0$ पर लंबवत दूरी है।
$OD = \left|\frac{2(3)-5(-1)+18}{\sqrt{2^2+(-5)^2}}\right| = \left|\frac{6+5+18}{\sqrt{4+25}}\right| = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$ इकाई।
$\triangle OAD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^2 = r^2 - OD^2 = (\sqrt{38})^2 - (\sqrt{29})^2 = 38 - 29 = 9$।
$AD = 3$ इकाई।
चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए जीवा की लंबाई $\lambda = AB = 2AD = 2 \times 3 = 6$ इकाई।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ है। केंद्र $C$ $(3, -2)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
$(-1, 1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{4}{3}$ है। स्पर्शरेखा का समीकरण $4x-3y+7=0$ है।
समानांतर जीवा का समीकरण $4x-3y+k=0$ है। स्पर्शरेखा और जीवा के बीच की दूरी $1$ है,इसलिए $|k-7|=5$,जिससे $k=12$ या $k=2$ प्राप्त होता है।
केंद्र से दूरी की जाँच करने पर,$k=2$ के लिए जीवा प्राप्त होती है। जीवा का समीकरण $4x-3y+2=0$ है।
$CP$ रेखा का समीकरण $3x+4y=1$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,मध्य-बिंदु $\left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $S \equiv x^2+y^2-2x-6y+3=0$ और रेखा $L \equiv 2x+y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$x^2+y^2-2x-6y+3 + \lambda(2x+y) = 0$
$x^2+y^2 + x(2\lambda-2) + y(\lambda-6) + 3 = 0$.
चूंकि जीवा $2x+y=0$ इस नए वृत्त का व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $2x+y=0$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त का केंद्र $(1-\lambda, \frac{6-\lambda}{2})$ है।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर: $2(1-\lambda) + \frac{6-\lambda}{2} = 0$.
$4 - 4\lambda + 6 - \lambda = 0$ $\Rightarrow 5\lambda = 10$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2 + x(4-2) + y(2-6) + 3 = 0$.
$x^2+y^2+2x-4y+3 = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर,बिंदु $(-2, 1)$ के लिए: $(-2)^2 + (1)^2 + 2(-2) - 4(1) + 3 = 4 + 1 - 4 - 4 + 3 = 0$.
अतः,वृत्त बिंदु $(-2, 1)$ से होकर गुजरता है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y+k=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{13-k}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2(-4, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{37}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$ है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ होने पर,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$।
$\frac{1}{2} = \left| \frac{13-k + 9 - 37}{6\sqrt{13-k}} \right| \Rightarrow 3\sqrt{13-k} = |15+k|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9(13-k) = (15+k)^2$।
$k^2 + 39k + 108 = 0 \Rightarrow (k+36)(k+3) = 0$।
अतः $k = -36$ या $k = -3$। विकल्प के अनुसार सही उत्तर $-36$ है।

(C) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
$S$ और $S'$ के लिए,$2g(-2)+2f(-3)=c+11 \implies -4g-6f=c+11$ $(i)$.
$S$ और $S''$ के लिए,$2g(-5)+2f(-2)=c+21 \implies -10g-4f=c+21$ $(ii)$.
$S$ का केंद्र $(-g, -f)$ है। चूंकि यह धनात्मक निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक $(y=x)$ पर स्थित है,इसलिए $-f = -g$,अर्थात $f=g$ $(iii)$.
$f=g$ को $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-10f = c+11$ $(iv)$
$-14f = c+21$ $(v)$
$(iv)$ में से $(v)$ घटाने पर: $4f = -10 \implies f = -2.5$.
अतः $g = -2.5$.
$(iv)$ से,$c = -10(-2.5) - 11 = 25 - 11 = 14$.
अंत में,$2g+2f+c = 2(-2.5)+2(-2.5)+14 = -5-5+14 = 4$.

(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-g,-f)$ है।
दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2-10x+12y+52=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,$g_1=-1, f_1=-2, c_1=-4$। $C_2$ के लिए,$g_2=-5, f_2=6, c_2=52$।
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
$C_1$ के लिए: $2g(-1)+2f(-2)=c-4 \Rightarrow 2g+4f=-c+4$ $(i)$।
$C_2$ के लिए: $2g(-5)+2f(6)=c+52 \Rightarrow 10g-12f=-c-52$ (ii)।
$(i)$ से,$c = 4-2g-4f$। (ii) में रखने पर: $10g-12f = -(4-2g-4f)-52 = 2g+4f-56$।
$8g-16f = -56$ $\Rightarrow g-2f = -7$ $\Rightarrow g = 2f-7$ (iii)।
$c = 18-8f$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{5f^2-20f+31} = \sqrt{5(f-2)^2+11}$।
न्यूनतम के लिए $f=2$ रखने पर,$g = -3$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $(-g,-f) = (3,-2)$ है।

(B) जब दो वृत्तों में केवल दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = r_1 + r_2$ होती है,तो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
इस स्थिति में,स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा रेडिकल अक्ष के रूप में कार्य करती है।
स्पर्श बिंदु केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

(B) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$
$S_2: x^2+y^2-2y-15=0$
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C_1(4,3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2+3^2-21} = 2$ है।
वृत्त $S_2$ के लिए,केंद्र $C_2(0,1)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{0^2+1^2-(-15)} = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(4-0)^2+(3-1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
चूंकि $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ है,इसलिए वृत्तों का केवल एक बाह्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा प्रतिच्छेदन बिंदु है।
बाह्य समानता का केंद्र $P$,केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाली रेखा को उनकी त्रिज्याओं के अनुपात $r_1:r_2 = 1:2$ में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{1(0) - 2(4)}{1-2}, \frac{1(1) - 2(3)}{1-2} \right) = (8,5)$।

(A) . $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-1,-4)$,त्रिज्या $r_1=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$। $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ के लिए,केंद्र $C_2(2,5)$,त्रिज्या $r_2=\sqrt{10}$। दूरी $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$। चूंकि $C_1C_2=r_1+r_2$,वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$B$. $x^2+y^2=1$ के लिए,केंद्र $C_1(0,0)$,त्रिज्या $r_1=1$। $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ के लिए,केंद्र $C_2(1,3)$,त्रिज्या $r_2=2$। दूरी $C_1C_2=\sqrt{10}$। चूंकि $C_1C_2 > r_1+r_2$ $(\sqrt{10} > 3)$,वृत्त अलग हैं,इसलिए $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$C$. $x^2+y^2-8x+2y=0$ के लिए,केंद्र $C_1(4,-1)$,त्रिज्या $r_1=\sqrt{17}$। $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ के लिए,केंद्र $C_2(1,8)$,त्रिज्या $r_2=2\sqrt{10}$। दूरी $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$। चूंकि $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$,वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $2$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$D$. $x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $C_1(0,0)$,त्रिज्या $r_1=2$। $x^2+y^2-2x=0$ के लिए,केंद्र $C_2(1,0)$,त्रिज्या $r_2=1$। दूरी $C_1C_2=1$। चूंकि $C_1C_2=|r_1-r_2|=1$,वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-V, C-III, D-II$ है।

(B) दिया गया है $S \equiv x^2+y^2-4=0$,अतः $C_1(0,0)$ और $r_1=2$ है।
माना $S^{\prime}=0$ का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r_2=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ है।
$S^{\prime}=0$ का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2+y^2-2xh-2yk+h^2+k^2-\frac{25}{2}=0$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S-S^{\prime}=0$ है,जो $2xh+2yk = h^2+k^2-\frac{17}{2}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का ढाल $-\frac{h}{k} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = -4h$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम तब होती है जब वह छोटे वृत्त के केंद्र $C_1(0,0)$ से होकर गुजरती है।
$(0,0)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर: $h^2+k^2 = \frac{17}{2}$ प्राप्त होता है।
$k=-4h$ को $h^2+k^2=\frac{17}{2}$ में रखने पर,$h^2+(-4h)^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow 17h^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow h = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$,तो $k = -2\sqrt{2}$ है।
यदि $h = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,तो $k = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,केंद्र $C_2$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}\right)$ या $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}\right)$ है।

(A) दिया है $S_1: x^2+y^2=16$। केंद्र $B(0,0)$ है और त्रिज्या $r_1=4$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई अधिकतम है,यह $S_1$ का व्यास होगा।
माना $PQ$ उभयनिष्ठ जीवा है। जीवा की लंबाई $2 \times 4 = 8$ है।
माना $S_2$ का केंद्र $A(h, k)$ है और त्रिज्या $r_2=5$ है।
केंद्र $A(h, k)$ से उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ की दूरी $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
रेखा $AB$,जीवा $PQ$ के लंबवत है,इसलिए $AB$ का ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
$AB$ की दूरी $3$ है।
प्राचलिक रूप का उपयोग करने पर,केंद्र $\left(\mp \frac{9}{5}, \pm \frac{12}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त $C_1: (x-a)^2+y^2=a^2$ और $C_2: x^2+(y-a)^2=a^2$ हैं।
इनका विस्तार करने पर,$x^2+y^2-2ax=0$ और $x^2+y^2-2ay=0$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ है,जिससे $-2ax + 2ay = 0 \Rightarrow x-y=0$ प्राप्त होता है।
$y=x$ को $x^2+y^2-2ax=0$ में रखने पर,$2x^2-2ax=0 \Rightarrow 2x(x-a)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(a,a)$ हैं।
जीवा का मध्य-बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ है।
जीवा की लंबाई $\sqrt{2}a$ है।
केंद्र $(a,0)$ से रेखा $x-y=0$ की दूरी $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + kx - 4y - 1 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5 = 0$ हैं।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का पालन होता है।
यहाँ $g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = -2, c_1 = -1$ और $g_2 = -\frac{7}{3}, f_2 = \frac{23}{6}, c_2 = -5$ है।
मान रखने पर: $2(\frac{k}{2})(-\frac{7}{3}) + 2(-2)(\frac{23}{6}) = -1 - 5$.
$-\frac{7k}{3} - \frac{46}{3} = -6$ $\Rightarrow -7k - 46 = -18$ $\Rightarrow k = -4$.
प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(S_2') = 0$ है।
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 + \lambda(x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5) = 0$.
$(-1, -1)$ से गुजरने पर,$9 - 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
समीकरण में $\lambda = \frac{3}{2}$ रखने पर,$5x^2 + 5y^2 - 22x + 15y - 17 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(2,1)$ है।
व्यास मूलबिंदु $(0,0)$ और केंद्र $(2,1)$ से गुजरता है,इसलिए व्यास का समीकरण $x-2y=0$ है।
वृत्त $S=0$ और रेखा $L=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S+\lambda L=0$ है।
अतः,$x^2+y^2-4x-2y-4+\lambda(x-2y)=0$।
यह वृत्त $(1,2)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$1+4-4-4-4+\lambda(1-4)=0$
$-7-3\lambda=0 \implies \lambda = -\frac{7}{3}$।
मान रखने पर:
$x^2+y^2-4x-2y-4-\frac{7}{3}(x-2y)=0$
$3x^2+3y^2-19x+8y-12=0$।

(A) दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ लें।
इसे हल करने पर,हमें $\lambda = -\frac{21}{31}$ प्राप्त होता है।
इस मान को केंद्र के सूत्र $(-g, -f)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें केंद्र $\left(-\frac{27}{2}, -\frac{25}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तों के केंद्र $C_1(-1, -4)$ और $C_2(2, -5)$ हैं।
$S_2$ के सापेक्ष $C_1(-1, -4)$ की ध्रुवीय रेखा $L_1: -3x + y + 1 = 0$ है।
$S_1$ के सापेक्ष $C_2(2, -5)$ की ध्रुवीय रेखा $L_2: 3x - y - 41 = 0$ है।
ये रेखाएं समांतर हैं और उनके बीच की दूरी $d = \frac{|1 - (-41)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{42}{\sqrt{10}} = 4.2\sqrt{10}$ है।

(C) माना $P$ बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है और प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा $xx_1 + yy_1 - r(x+x_1) - r(y+y_1) + r^2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(x_1-r)x + (y_1-r)y = r(x_1+y_1-r)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ध्रुवीय रेखा $x+2y=4r$ है,अतः गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$.
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2}$ से,हमें $2x_1 - 2r = y_1 - r$ प्राप्त होता है,अर्थात $y_1 = 2x_1 - r$।
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$ से,हमें $4x_1 - 4r = x_1 + y_1 - r$ प्राप्त होता है,अर्थात $3x_1 - 3r = y_1$।
$y_1$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2x_1 - r = 3x_1 - 3r$,जिससे $x_1 = 2r$ प्राप्त होता है।
$x_1 = 2r$ को $y_1 = 2x_1 - r$ में रखने पर,$y_1 = 2(2r) - r = 3r$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ $(2r, 3r)$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=18$ है,अतः इसकी त्रिज्या $R=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$ और व्यास $D=6 \sqrt{2}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a=6 \sqrt{2}$ है,इसलिए $a=3 \sqrt{2}$ और $a^2=18$ है।
$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{8}{9}=1-\frac{b^2}{18}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{b^2}{18}=\frac{1}{9}$ यानी $b^2=2$ मिलता है।
अतः दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{2}=1$ है।
माना $(h, k)$ स्पर्श रेखा का ध्रुव है। दीर्घवृत्त के सापेक्ष ध्रुवीय रेखा $\frac{xh}{18}+\frac{yk}{2}=1$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=18$ की स्पर्श रेखा है। रेखा $lx+my=1$ के $x^2+y^2=R^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $R^2(l^2+m^2)=1$ है।
यहाँ $l=\frac{h}{18}$ और $m=\frac{k}{2}$ है,इसलिए $18(\frac{h^2}{18^2}+\frac{k^2}{4})=1$।
सरल करने पर,$\frac{h^2}{18}+\frac{18k^2}{4}=1$,जो $\frac{h^2}{18}+\frac{9k^2}{2}=1$ है।
अतः बिंदुपथ $\frac{x^2}{18}+\frac{9y^2}{2}=1$ है।

(A) वृत्त $x^2+y^2-2g_ix+c_i^2=0$ के सापेक्ष बिंदु $(\alpha_i, \beta_i)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $\alpha_ix + \beta_iy - g_i(x+\alpha_i) + c_i^2 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(\alpha_i - g_i)x + \beta_iy + (c_i^2 - \alpha_ig_i) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दी गई रेखा $x - y = 0$ के साथ तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात समान होता है:
$\frac{\alpha_i - g_i}{1} = \frac{\beta_i}{-1} = \frac{c_i^2 - \alpha_ig_i}{0}$.
तीसरे भाग से,$c_i^2 - \alpha_ig_i = 0$,जिसका अर्थ है $c_i^2 = \alpha_ig_i$.
पहले दो भागों से,$\alpha_i - g_i = -\beta_i$,जिसका अर्थ है $\alpha_i + \beta_i = g_i$.
अतः,$\frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = \frac{g_i}{g_i} = 1$.
$i=1, 2, 3$ के लिए इसका योग करने पर,$\sum_{i=1}^3 \frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = 1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(B) $S=0$ और $S^{\prime}=0$ का रेडिकल अक्ष $S-S^{\prime}=0$ द्वारा दिया जाता है।
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) - (x^2+y^2-2x-4y+3) = 0 $
$ -4x-2y+1=0 \Rightarrow 4x+2y-1=0 $.
$S$ और $S^{\prime}$ की कोएक्सियल प्रणाली का कोई भी वृत्त $S+\lambda(S-S^{\prime})=0$ द्वारा दिया जाता है।
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) + \lambda(4x+2y-1) = 0 $
$ x^2+y^2 + x(4\lambda-6) + y(2\lambda-6) + (4-\lambda) = 0 $.
केंद्र $C = (3-2\lambda, 3-\lambda)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(3-2\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 - (4-\lambda)} = \sqrt{14}$.
$ (9-12\lambda+4\lambda^2) + (9-6\lambda+\lambda^2) - 4 + \lambda = 14 $.
$ 5\lambda^2 - 17\lambda + 14 = 14 \Rightarrow 5\lambda^2 - 17\lambda = 0 $.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda = \frac{17}{5}$.
केंद्र $C = (3-2(\frac{17}{5}), 3-\frac{17}{5}) = (-\frac{19}{5}, -\frac{2}{5})$ है।

(C) दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) उनके सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं को समद्विभाजित करती है।
पहले,$A(1, 1)$ और $B(0, 1)$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें:
$M = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
फिर,$C\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ और $D\left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ का मध्य-बिंदु $N$ ज्ञात करें:
$N = \left(\frac{1}{5}, \frac{11}{10}\right)$.
मूलाक्ष $M$ और $N$ से होकर गुजरती है। रेखा $MN$ की ढाल $m$:
$m = -\frac{1}{3}$.
रेखा $MN$ का समीकरण:
$y - 1 = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$2x + 6y = 7$.

(A) रेडिकल केंद्र रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। चूँकि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रेडिकल केंद्र है,यह रेडिकल अक्षों $S_1-S_2=0$ और $S_2-S_3=0$ के समीकरणों को संतुष्ट करता है।
पहले,रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ पर विचार करें:
$(x^2+y^2-2x+6y) - (x^2+y^2+2gx-2y+6) = 0$
$(-2-2g)x + 8y - 6 = 0$.
इस समीकरण में $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रखने पर:
$(-2-2g)(0) + 8\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = 0 \Rightarrow 6 - 6 = 0$. यह सुसंगत है।
अब,रेडिकल अक्ष $S_2-S_3=0$ पर विचार करें:
$(x^2+y^2+2gx-2y+6) - (x^2+y^2-12x+2fy+3) = 0$
$(2g+12)x + (-2-2f)y + 3 = 0$.
इस समीकरण में $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रखने पर:
$(2g+12)(0) + (-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) + 3 = 0$
$(-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) = -3
$ $\Rightarrow -2-2f = -4$ $\Rightarrow 2f = 2$ $\Rightarrow f = 1$.
चूँकि $S_2$ और $S_3$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ लागू होती है:
$2(g)(-6) + 2(-1)(f) = 6 + 3$
$-12g - 2f = 9$.
$f=1$ रखने पर:
$-12g - 2(1) = 9$ $\Rightarrow -12g = 11$ $\Rightarrow g = \frac{-11}{12}$.
अतः,$(g, f) = \left(\frac{-11}{12}, 1\right)$.

(C) वृत्तों $x^2+y^2+2 \alpha x+2 \beta y+c=0$ और $x^2+y^2+\frac{3}{2} x+4 y+c=0$ की रेडिकल अक्ष समीकरणों को घटाकर प्राप्त होती है:
$(2 \alpha - \frac{3}{2})x + (2 \beta - 4)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + 4(\beta - 2)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$.
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+1^2-1} = 1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए:
$1 = \frac{|(4 \alpha - 3)(-1) + (4 \beta - 8)(-1)|}{\sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}}$
$|-(4 \alpha - 3 + 4 \beta - 8)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
$|-(4 \alpha + 4 \beta - 11)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(4 \alpha + 4 \beta - 11)^2 = (4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2$
$16 \alpha^2 + 16 \beta^2 + 121 + 32 \alpha \beta - 88 \alpha - 88 \beta = 16 \alpha^2 - 24 \alpha + 9 + 16 \beta^2 - 64 \beta + 64$
$32 \alpha \beta - 64 \alpha - 24 \beta = -48$
$8$ से भाग देने पर:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta = -6$
दोनों पक्षों में $10$ जोड़ने पर:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta + 10 = -6 + 10 = 4$.

(B) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि $S$,$C_1$ और $C_2$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए:
$2g(-4) + 2f(-1) = c + 16 \implies -8g - 2f = c + 16 \quad (i)$
$2g(-2) + 2f(-2) = c - 1 \implies -4g - 4f = c - 1 \quad (ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $-4g + 2f = 17 \implies 2f = 4g + 17 \implies f = 2g + 8.5$.
$S=0$ और $C_1=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S - C_1 = 0$ है:
$(2g+8)x + (2f+2)y + (c-16) = 0$.
दी गई जीवा $2x + 13y - 15 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{2g+8}{2} = \frac{2f+2}{13} = \frac{c-16}{-15} = k$.
$2g+8 = 2k \implies g = k-4$.
$2f+2 = 13k \implies f = \frac{13k-2}{2}$.
$2f = 4g + 17$ में मान रखने पर: $13k-2 = 4(k-4) + 17 \implies 13k-2 = 4k-16+17 \implies 9k = 3 \implies k = \frac{1}{3}$.
अतः $g = \frac{1}{3} - 4 = \frac{-11}{3}$ और $f = \frac{13(1/3)-2}{2} = \frac{7/3}{2} = \frac{7}{6}$.
$S$ का केंद्र $(-g, -f) = \left(\frac{11}{3}, \frac{-7}{6}\right)$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+2x+2y-3=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$(y^2+2y+1)-1+2x-3=0$
$(y+1)^2+2x-4=0$
$(y+1)^2 = -2(x-2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
शीर्ष $(h, k) = (2, -1)$
$-4a = -2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
अक्ष: $y-k=0 \Rightarrow y+1=0$
नाभि: $(h-a, k) = (2-\frac{1}{2}, -1) = (\frac{3}{2}, -1)$
नियता: $x = h+a$ $\Rightarrow x = 2+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x-5=0$
इस प्रकार,मिलान इस प्रकार हैं:
$A \rightarrow III$ (नियता का समीकरण $2x-5=0$ है)
$B \rightarrow II$ (नाभि $(\frac{3}{2}, -1)$ है)
$C \rightarrow IV$ (अक्ष का समीकरण $y+1=0$ है)
$D \rightarrow I$ (शीर्ष $(2, -1)$ है)
अतः,सही मिलान $A-III, B-II, C-IV, D-I$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = \frac{h^3}{3} x^2 + \frac{h^2}{2} x - h + \frac{3}{4 h^3}$.
पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके,समीकरण को $(x - h_0)^2 = 4a(y - k_0)$ के रूप में परिवर्तित करने पर।
नियता का समीकरण $y = k_0 - a$ होता है।
गणना करने पर,$k = -\frac{19h}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k : h = -19 : 16$.

(C) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 2px$ है। फोकस $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ है और नियता $x = -\frac{p}{2}$ है।
चूंकि वृत्त का केंद्र फोकस पर है और यह नियता को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ है।
$y^2 = 2px$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x - \frac{p}{2})^2 + 2px = p^2$
$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$
$(x + \frac{3p}{2})(x - \frac{p}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x = \frac{p}{2}$ मिलता है।
$x = \frac{p}{2}$ को $y^2 = 2px$ में रखने पर $y = \pm p$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ और $\left(\frac{p}{2}, -p\right)$ हैं।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है। मान लीजिए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(4t^2, 8t)$,और $B(4t^2, -8t)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$\angle AOM = 30^{\circ}$ होगा,जहाँ $M$,$A$ का $X$-अक्ष पर प्रक्षेप है।
$\triangle AOM$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AM}{OM} = \frac{8t}{4t^2} = \frac{2}{t}$।
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$,जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(4(2\sqrt{3})^2, 8(2\sqrt{3})) = (48, 16\sqrt{3})$ हैं।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई $OA = \sqrt{(48-0)^2 + (16\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{2304 + 768} = \sqrt{3072} = 32\sqrt{3}$ है।
अतः,समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $32\sqrt{3}$ है।

(B) परवलय $y^2=4x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,जहाँ $a=1$ है। नाभि $S(a,0) = (1,0)$ है।
चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,$PS$ और $SQ$ का हरात्मक माध्य अर्ध-नाभिलंब $l=2a=2$ के साथ संबंधित है: $\frac{1}{PS} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
$P=(4,4)$ और $S=(1,0)$ दिया गया है,इसलिए दूरी $PS = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
संबंध में $PS=5$ रखने पर: $\frac{1}{5} + \frac{1}{SQ} = 1$.
$\frac{1}{SQ} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
अतः,$SQ = \frac{5}{4}$.

(A) परवलय का समीकरण $(y + 2)^2 = -4(x - 1)$ है।
यहाँ $A = -1$ है। प्राचलिक निर्देशांक $x - 1 = -t^2$ और $y + 2 = -2t$ हैं।
बिंदु $P(-3, 2)$ के लिए $t = -2$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब जीवा के अंतिम बिंदुओं के लिए $t_1 t_2 = -1$ होता है,इसलिए $t_2 = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(\frac{3}{4}, -3)$ हैं।
स्पर्शरेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{y + 2}$ है।
$Q$ पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_T = 2$ है।
अतः,अभिलंब की प्रवणता $m_N = \frac{-1}{m_T} = \frac{-1}{2}$ होगी।

(A) रेखा $y=1+2x$ को $2x-y+1=0$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना रेखा परवलय को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। $P(0,1)$ से गुजरने वाली और $m=2$ ढाल वाली रेखा का प्राचलिक रूप $\frac{x-0}{\cos \theta} = \frac{y-1}{\sin \theta} = r$ है,जहाँ $\tan \theta = 2$ है। अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
$x = \frac{r}{\sqrt{5}}$ और $y = 1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}$ को परवलय के समीकरण $x^2=4ay$ में रखने पर:
$\left(\frac{r}{\sqrt{5}}\right)^2 = 4a\left(1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}\right)$
$\frac{r^2}{5} = 4a + \frac{8ar}{\sqrt{5}}$
$r^2 - 8\sqrt{5}ar - 20a = 0$
माना $r_1$ और $r_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं। अंतःखंड की लंबाई $|r_1 - r_2| = \sqrt{40}$ है।
$(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2$ का उपयोग करने पर:
$40 = (8\sqrt{5}a)^2 - 4(-20a)$
$40 = 320a^2 + 80a$
$32a^2 + 8a - 4 = 0$
$8a^2 + 2a - 1 = 0$
$(4a-1)(2a+1) = 0$
चूंकि $a>0$ है,इसलिए हमें $4a=1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया परवलय $y^2-4y-4x+8=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y-2)^2 = 4(x-1)$ प्राप्त होता है।
परवलय $(y-k_0)^2 = 4a(x-h_0)$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-k_0) = m(x-h_0) + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ $h_0=1, k_0=2, a=1$ है। अतः,$y = mx - m + \frac{1}{m} + 2$।
दी गई स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ है।
ढाल की तुलना करने पर,$m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड की तुलना करने पर,$\frac{k}{2} = -\frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{7}{2}$,इसलिए $k=7$।
परवलय पर बिंदु $(1, 7)$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y-2}$ प्राप्त होता है।
$(1, 7)$ पर ढाल $\frac{2}{7-2} = \frac{2}{5}$ है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\alpha = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र से प्राप्त होता है। \\ बिंदुओं $A(1, 2), B(4, -4), C(2, 2\sqrt{2})$ को रखने पर: \\ $\alpha = \frac{1}{2} |1(-4 - 2\sqrt{2}) + 4(2\sqrt{2} - 2) + 2(2 - (-4))| = 3\sqrt{2}$. \\ परवलय के लिए,बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है। \\ अतः,$\alpha = 2\beta$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. \\ इसलिए,$\alpha \beta = (3\sqrt{2}) \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) = 9$.

(C) परवलय $y^2=4\sqrt{k}x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+\frac{\sqrt{k}}{m}$ है,जहाँ $m$ स्पर्शरेखा की ढाल है।
यदि यह वृत्त $x^2+y^2=\frac{k}{2}$ को स्पर्श करती है,तो केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+\frac{\sqrt{k}}{m}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{\frac{k}{2}}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\left|\frac{\sqrt{k}/m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\frac{k}{m^2(m^2+1)} = \frac{k}{2}$
$m^2(m^2+1) = 2$
$m^4+m^2-2 = 0$
$(m^2+2)(m^2-1) = 0$
चूँकि $m$ वास्तविक होना चाहिए,$m^2=1$,जिससे $m=1$ या $m=-1$ प्राप्त होता है।
ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ है।

(A) दिए गए परवलय $x^2=108y$ और $y^2=32x$ हैं।
$x^2=4ay$ के लिए,$4a=108 \Rightarrow a=27$. स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx-27m^2$ है $... (i)$.
$y^2=4ax$ के लिए,$4a=32 \Rightarrow a=8$. स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{8}{m}$ है $... (ii)$.
चूंकि $(i)$ और $(ii)$ समान रेखा को दर्शाते हैं,$-27m^2 = \frac{8}{m}$.
$m^3 = -\frac{8}{27} \Rightarrow m = -\frac{2}{3}$.
$m$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$y = -\frac{2}{3}x - 27(-\frac{2}{3})^2$
$y = -\frac{2}{3}x - 12$
$3y = -2x - 36$
$2x + 3y + 36 = 0$.

(B) परवलय $y^2=16x$ के बिंदु $P(4,8)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $8y = 8(x+4)$ है,जो सरल होकर $y = x+4$ $\dots(i)$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(i)$ परवलय $y^2 = 16x+80$ को $A$ और $B$ पर काटती है,इसलिए $y = x+4$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+4)^2 = 16x + 80$
$x^2 + 8x + 16 = 16x + 80$
$x^2 - 8x - 64 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $B$ के $(x_2, y_2)$ हैं। द्विघात समीकरण $x^2 - 8x - 64 = 0$ के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। मूलों का योग $x_1 + x_2 = 8$ है।
$AB$ के मध्य-बिंदु $M(h, k)$ के निर्देशांक $h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ हैं।
चूंकि मध्य-बिंदु रेखा $y = x+4$ पर स्थित है,इसलिए $k = h+4 = 4+4 = 8$ होगा।
अतः,$AB$ का मध्य-बिंदु $(4,8)$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,इसलिए $4a=1$ या $a=\frac{1}{4}$ है।
परवलय पर किसी भी बिंदु को $(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{4}, \frac{t}{2})$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
इस बिंदु पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/2}{t/2} = \frac{1}{t}$ है।
इस बिंदु पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{\text{स्पर्शरेखा की प्रवणता}} = -t$ है।
प्रश्न के अनुसार,अभिलंब की प्रवणता बिंदु के $x$-निर्देशांक के बराबर है:
$-t = \frac{t^2}{4}$.
इसे व्यवस्थित करने पर $t^2 + 4t = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t(t+4) = 0$.
अतः,$t=0$ या $t=-4$ है।
$t$ के ये दो मान परवलय पर दो अलग-अलग बिंदुओं के अनुरूप हैं।
इसलिए,ऐसे $2$ बिंदु संभव हैं।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=12x$ है।
$y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1} = \frac{6}{y_1}$ है।
$A(3,-6)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{6}{-6} = -1$ है।
अतः,$A(3,-6)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -1/(-1) = 1$ है।
$A(3,-6)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-6) = 1(x - 3)$ है,जो $y = x - 9$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए,$y = x - 9$ को $y^2 = 12x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(x-9)^2 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 18x + 81 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 30x + 81 = 0$.
$(x-3)(x-27) = 0$.
चूंकि $x=3$ बिंदु $A$ है,इसलिए बिंदु $P$ के लिए $x=27$ है।
तब $y = 27 - 9 = 18$। अतः,$P(27, 18)$ है।
$P(27, 18)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x+x_1)$ के अनुसार:
$y(18) = 2(3)(x+27)$ $\Rightarrow 18y = 6(x+27)$ $\Rightarrow 3y = x+27$ $\Rightarrow x-3y+27=0$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है।
बिंदु $(h,k)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $my^3 + (2a-h)m^2 + k^2m - k = 0$ है।
बिंदु $(5,0)$ के लिए,$h=5$ और $k=0$ है।
समीकरण $m(y^2-3)=0$ हो जाता है।
तीन अभिलंबों के पाद $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए,तीन अभिलंबों के पादों द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{2}{3}(h-2a), 0\right)$ होता है।
$h=5$ और $a=1$ रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{2}{3}(5-2(1)), 0\right) = (2,0)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,अभिलंब का समीकरण $mx - y + c = 0$ है।
परवलय $y^2 = 16x$ है।
$y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है।
माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ हैं।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{1}{t}$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -t$ है,इसलिए $t = -m$ है।
अतः,बिंदु $P$ $(4m^2, -8m)$ है।
बिंदु $(at^2, 2at)$ की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ होती है।
नाभीय दूरी $= 40$ दी गई है,इसलिए $4(1 + t^2) = 40$ $\Rightarrow 1 + t^2 = 10$ $\Rightarrow t^2 = 9$ $\Rightarrow t = \pm 3$।
चूंकि $t = -m$,इसलिए $m = \mp 3$,अतः $m^2 = 9$।
बिंदु $P$ $(4(9), 8(\mp 3)) = (36, \mp 24)$ है।
चूंकि $P$ अभिलंब $mx - y + c = 0$ पर स्थित है,इसलिए $m(36) - (\mp 24) + c = 0$ है।
$m = \mp 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $(\mp 3)(36) \pm 24 + c = 0 \Rightarrow \mp 108 \pm 24 + c = 0$।
यदि $m = -3$ है,तो $t = 3$,$P = (36, 24)$,अभिलंब $-3x - y + c = 0$ $\Rightarrow -3(36) - 24 + c = 0$ $\Rightarrow -108 - 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = 132$।
यदि $m = 3$ है,तो $t = -3$,$P = (36, -24)$,अभिलंब $3x - y + c = 0$ $\Rightarrow 3(36) - (-24) + c = 0$ $\Rightarrow 108 + 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = -132$।
दोनों स्थितियों में,$|c| = 132$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + 4y + 7}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = ax + 4y + 7$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} - ax = 4y + 7$.
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -a$ और $Q = 4y + 7$.
चूंकि समीकरण को $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए यह $x$ में रैखिक है।
चूंकि समीकरण $x$ में रैखिक है,इसलिए यह $y$ में रैखिक नहीं है।
अतः,कथन $A$ सही है और कथन $B$ सही है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int -a dy} = e^{-ay}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,कथन $D$ गलत है और कथन $C$ गलत है।
अतः,केवल $A$ और $B$ सही हैं।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy - x dy + dy - y dx - x dx + 2 dx = 0$.
पदों को समूहित करने पर: $y dy + dy - (x dy + y dx) - x dx + 2 dx = 0$.
यथार्थ अवकलज $d(xy) = x dy + y dx$ को पहचानने पर,समीकरण बनता है: $y dy + dy - d(xy) - x dx + 2 dx = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y dy + \int dy - \int d(xy) - \int x dx + \int 2 dx = \int 0$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{y^2}{2} + y - xy - \frac{x^2}{2} + 2x = C$.
अतः,$f(x, y, c) = \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} - xy + 2x + y - C = 0$.
दिया है $f(1, 1, c) = 0$,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1^2}{2} - \frac{1^2}{2} - (1)(1) + 2(1) + 1 - C = 0$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + 2 + 1 - C = 0$.
$2 - C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 2$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.
$x^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.
यह $\frac{y}{x}$ का अवकलज है,अतः $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} \right) = \sin x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.
दिया है $y(\pi) = 0$,अतः $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.
इस प्रकार,$y = -x \cos x - x$.
$x = \alpha$ पर चरम मान के लिए,हम $\frac{d y}{d x} = 0$ रखते हैं।
$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.
$x = \alpha$ पर,$\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.
$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.
चूंकि $\cos \frac{\alpha}{2} \neq 0$,इसलिए $\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

(B) माना $G_1$,$\triangle ABD$ का केंद्रक है। इसके निर्देशांक $\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3-2-1}{3}\right) = (1, 3, 0)$ हैं।
माना $G_2$,$\triangle ACD$ का केंद्रक है। इसके निर्देशांक $\left(\frac{1+6-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3+7-1}{3}\right) = (2, 3, 3)$ हैं।
स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ है।
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} + 3\hat{k}) = (1+t)\hat{i} + 3\hat{j} + 3t\hat{k}$।

(B) दिया गया है कि $A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ चार एकवृत्तीय बिंदु हैं,इस प्रकार कि $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ और $x+y+z+t=0$।
चूंकि $A, B, C, D$ एकवृत्तीय हैं और जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,बिंदु के घात प्रमेय (power of a point theorem) के अनुसार,$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ होता है।
जीवाओं $AB$ और $CD$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करके,हम $P$ को स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
जीवा $AB$ के लिए,$P$,$AB$ को $k_1 : k_2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{k_2\vec{a} + k_1\vec{b}}{k_1+k_2}$।
जीवा $CD$ के लिए,$P$,$CD$ को $k_3 : k_4$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{k_4\vec{c} + k_3\vec{d}}{k_3+k_4}$।
इन दोनों को बराबर करने और दिए गए रैखिक संयोजन $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}+t\vec{d}=\vec{0}$ के साथ तुलना करने पर,हम गुणांकों की पहचान कर सकते हैं।
वृत्त में प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं की ज्यामिति से,जीवाओं के खंडों का गुणनफल $|xy||\vec{a}-\vec{b}|^2 = |zt||\vec{c}-\vec{d}|^2$ संबंध को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $AD$ शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(3, \frac{5}{2}, 3\right)$
$A(1, 1, 2)$ और $D(3, 5/2, 3)$ से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{d} - \vec{a})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d} = 3\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t((3-1)\hat{i} + (\frac{5}{2}-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k})$
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k})$
$\vec{r} = (1+2t)\hat{i} + (1+\frac{3}{2}t)\hat{j} + (2+t)\hat{k}$

(D) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $P$,$DC$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{c}}{1+3} = \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4}$ है।
चूंकि $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है।
अब,$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{3\vec{d} + \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{c} - 3\vec{d} - \vec{c}}{4} = \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4}$ है।
दिया गया व्यंजक: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{BC} - 2\vec{DC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) - 2(\vec{c} - \vec{d})$ है।
इसे सरल करने पर: $\vec{b} - \vec{a} + \vec{d} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{b} - 2\vec{c} + 2\vec{d} = -2\vec{a} - \vec{c} + 3\vec{d} = -(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d})$ प्राप्त होता है।
$\lambda \vec{PQ}$ के साथ तुलना करने पर:
$-(2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}) = \lambda \left( \frac{2\vec{a} + \vec{c} - 3\vec{d}}{4} \right)$ है।
अतः,$\lambda = -4$ है।

(A) दिया गया है $OA = a, OB = b$. $A^{\prime}O = OA \implies OA^{\prime} = -a$. $B^{\prime}O = OB \implies OB^{\prime} = -b$.
बिंदु $P$ के लिए,$OP = -\frac{3}{4}a + \frac{7}{4}b = \frac{7b - 3a}{4}$. चूंकि गुणांक $x_1 = -\frac{3}{4}$ और $y_1 = \frac{7}{4}$ हैं,और $x_1 + y_1 = 1$ है,इसलिए $P$ रेखा $AB$ पर स्थित है। विशेष रूप से,$P, AB$ को $7:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है। सदिशों $a$ और $b$ द्वारा परिभाषित निर्देशांक प्रणाली में,$P$ उस क्षेत्र में स्थित है जहाँ $x < 0$ और $y > 0$ है,जो $\triangle A^{\prime}OB$ के आंतरिक भाग के अनुरूप है।
बिंदु $Q$ के लिए,$OQ = \frac{1}{3}a + \frac{5}{3}b = 2(\frac{1}{6}a + \frac{5}{6}b)$. चूंकि गुणांकों का योग $\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 > 1$ है,इसलिए $Q, \triangle AOB$ के बाहर स्थित है।

(D) $\triangle ABC$ की प्रकृति या बिंदुओं $A, B, C$ की संरेखता निर्धारित करने के लिए,हम स्थिति सदिशों के बीच दूरी के सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं: $d = |\vec{P_2} - \vec{P_1}|$.
$A$. दिया गया है $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, c = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$|AB| = |(3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (2-4)\hat{k}| = |\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|BC| = |(4-3)\hat{i} + (2-4)\hat{j} + (3-2)\hat{k}| = |\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$|CA| = |(2-4)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (4-3)\hat{k}| = |-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
चूंकि $|AB| = |BC| = |CA| = \sqrt{6}$,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः,$A-I$.
$B$. दिया गया है $a = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}, c = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|AB| = |2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+4+16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$|BC| = |-6\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}| = \sqrt{36+36+144} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.
$|CA| = |-4\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}| = \sqrt{16+16+64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
चूंकि $|AB| + |CA| = 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 6\sqrt{6} = |BC|$,बिंदु संरेख हैं। अतः,$B-IV$.
$C$. दिया गया है $a = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}, c = -3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|AB| = |-\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$.
$|BC| = |-4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{16+1+1} = \sqrt{18}$.
$|CA| = |-5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}| = \sqrt{25+9+25} = \sqrt{59}$.
$|AB|^2 + |BC|^2 = 41 + 18 = 59 = |CA|^2$. अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। अतः,$C-III$.
$D$. दिया गया है $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, c = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$|AB| = |0\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{0+1+4} = \sqrt{5}$.
$|BC| = |\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$|CA| = |\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}| = \sqrt{1+4+0} = \sqrt{5}$.
चूंकि $|AB| = |CA| = \sqrt{5}$,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः,$D-II$.

(D) दिया गया समतल का सदिश समीकरण $r=(2+3 \lambda-\mu) \hat{i}+(1-2 \lambda+3 \mu) \hat{j}+(-2+2 \lambda+\mu) \hat{k}$ है $\ldots$ $(i)$
माना $r=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ $\ldots$ (ii)
$(i)$ और (ii) के घटकों की तुलना करने पर:
$x = 2+3 \lambda-\mu$ $\ldots$ (iii)
$y = 1-2 \lambda+3 \mu$ $\ldots$ (iv)
$z = -2+2 \lambda+\mu$ $\ldots$ $(v)$
(iii) और $(v)$ को जोड़ने पर: $x+z = 2-2+3 \lambda+2 \lambda-\mu+\mu = 5 \lambda \Rightarrow \lambda = \frac{x+z}{5}$ $\ldots$ (vi)
$(v)$ से,$\mu = z+2-2 \lambda = z+2-2(\frac{x+z}{5}) = \frac{5z+10-2x-2z}{5} = \frac{-2x+3z+10}{5}$
(iv) में $\lambda$ और $\mu$ का मान रखने पर: $y = 1-2(\frac{x+z}{5})+3(\frac{-2x+3z+10}{5})$
$5y = 5-2x-2z-6x+9z+30$
$5y = -8x+7z+35$
$8x+5y-7z-35=0$

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.
मान लीजिए $|a| = k$. तब $|b| = \frac{1}{2}k$ और $|c| = \frac{\sqrt{3}}{2}k$.
सबसे पहले,सदिश $a+b+c$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{2}k\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k\right)^2 = k^2 + \frac{1}{4}k^2 + \frac{3}{4}k^2 = 2k^2$.
अतः,$|a+b+c| = \sqrt{2}k$.
अब,मान लीजिए $(a+b+c)$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{(a+b+c) \cdot b}{|a+b+c| |b|}$.
चूंकि $a \cdot b = 0$ और $c \cdot b = 0$,इसलिए $(a+b+c) \cdot b = a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b = 0 + |b|^2 + 0 = |b|^2$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|b|^2}{|a+b+c| |b|} = \frac{|b|}{|a+b+c|} = \frac{\frac{1}{2}k}{\sqrt{2}k} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$.

(A) दिया गया है,$|b|=2|a|$ और $|c|=3|a|$.
सदिशों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2|a||b| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) + 2|a||c| \cos(\frac{\pi}{3})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + (2|a|)^2 + (3|a|)^2 + 2|a|(2|a|)(\frac{1}{2}) + 2(2|a|)(3|a|)(\frac{1}{2}) + 2|a|(3|a|)(\frac{1}{2})$.
$25 = |a|^2 + 4|a|^2 + 9|a|^2 + 2|a|^2 + 6|a|^2 + 3|a|^2$.
$25 = 25|a|^2$.
$|a|^2 = 1 \Rightarrow |a| = 1$.
अतः,$|b| = 2(1) = 2$ और $|c| = 3(1) = 3$.
इसलिए,$|c| + |a| + |b| = 3 + 1 + 2 = 6$.

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ स्थिति सदिशों वाले बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = ta + (1-t)b$ है,जहाँ $t$ एक अदिश प्राचल है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r - b = t(a - b)$ प्राप्त होता है।
यह इंगित करता है कि सदिश $(r - b)$,सदिश $(a - b)$ के साथ संरेख है।
इस प्रकार,$r$ द्वारा निरूपित बिंदु का बिंदुपथ वह सीधी रेखा है जो $a$ और $b$ सदिशों द्वारा निरूपित बिंदुओं से होकर गुजरती है।
जब $0 \leq t \leq 1$ होता है,तो बिंदु $r$ उन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होता है जिनके स्थिति सदिश $a$ और $b$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $l(3a + 2b + c) + m(2a + 2b + 3c) + n(a + 2b + 5c) = 0$
सदिशों $a, b, c$ के आधार पर पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(3l + 2m + n) + b(2l + 2m + 2n) + c(l + 3m + 5n) = 0$
चूंकि $a, b, c$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3l + 2m + n = 0$ $(i)$
$2l + 2m + 2n = 0 \Rightarrow l + m + n = 0$ $(ii)$
$l + 3m + 5n = 0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(3l + 2m + n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$
समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(l + 3m + 5n) - (l + m + n) = 0 \Rightarrow 2m + 4n = 0 \Rightarrow m = -2n$
$m$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$-2l = -2n \Rightarrow l = n$
$l = n$ को $m = -2n$ में रखने पर:
$m = -2n \Rightarrow m + 2n = 0$
अतः,शर्त $l = n$ और $m + 2n = 0$ है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$ और $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश $\vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{4}{9} \vec{b}$ है।
$\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश $\vec{y} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} = \frac{4}{9} \vec{a}$ है।
अब,$|\vec{x} - \vec{y}| = |\frac{4}{9} \vec{b} - \frac{4}{9} \vec{a}| = \frac{4}{9} |\vec{b} - \vec{a}|$.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2 - (-2))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j}$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.
इस प्रकार,$|\vec{x} - \vec{y}| = \frac{4}{9} \sqrt{10}$।

(B) दिया गया है: $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}=2(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(i)$
साथ ही,$\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$
दोनों पक्षों में $(\vec{b}-\vec{c})$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times(\vec{b}-\vec{c}))+l^2(\vec{c} \times(\vec{b}-\vec{c}))=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{c})+l^2(\vec{c} \times \vec{b}-\vec{c} \times \vec{c})=0$
चूंकि $\vec{b} \times \vec{b}=0$ और $\vec{c} \times \vec{c}=0$,इसलिए:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})-l(\vec{b} \times \vec{c})-l^2(\vec{b} \times \vec{c})=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=(l+l^2)(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$l^2+l=2$
$l^2+l-2=0$
$(l+2)(l-1)=0$
अतः,$l=-2$ या $l=1$ है।
$l$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ क्योंकि वे लंबकोणीय हैं।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-\tan \theta) + (\tan \theta)(\tan \theta) + \left(\frac{3}{\sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}}\right)(-2 \sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}) = 0$
$-\tan \theta + \tan^2 \theta - 6 = 0$
माना $x = \tan \theta$,तब $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$
अतः,$\tan \theta = 3$ या $\tan \theta = -2$ है।
सदिश $\vec{c} = (\sin 2 \theta) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$X$-अक्ष के साथ अधिक कोण बनाता है,जिसका अर्थ है कि $X$-अक्ष पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप ऋणात्मक होना चाहिए।
$\vec{c} \cdot \hat{i} < 0 \Rightarrow \sin 2 \theta < 0$।
यदि $\tan \theta = 3$,तो $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{6}{10} > 0$ (अस्वीकृत)।
यदि $\tan \theta = -2$,तो $\sin 2 \theta = \frac{2(-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{5} < 0$ (स्वीकृत)।
इस प्रकार,$\tan \theta = -2 \Rightarrow \theta = n \pi - \tan^{-1} 2, n \in Z$।

(B) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$b=7 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,और $c=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $x$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $x$ को क्रॉस प्रोडक्ट $a \times b$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$x = \lambda(a \times b)$।
क्रॉस प्रोडक्ट $a \times b$ की गणना करने पर:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 7 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-8) - \hat{j}(-6-28) + \hat{k}(4+21) = \hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k}$।
इसलिए,$x = \lambda(\hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k})$।
दिया गया है कि $x \cdot c = 60$,हम $x$ और $c$ के मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda \hat{i} + 34 \lambda \hat{j} + 25 \lambda \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 60$।
$\lambda + 34 \lambda + 25 \lambda = 60$।
$60 \lambda = 60$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k}$।

(C) दिया गया है $p=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $q=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $p \cdot q = (2)(1) + (-3)(1) + (1)(-1) = 2 - 3 - 1 = -2$ ज्ञात करें।
परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|p|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 14$ और $|q|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
सदिश $a$ ($q$ पर $p$ का प्रक्षेप) $a = \frac{p \cdot q}{|q|^2} q = \frac{-2}{3}(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ है।
सदिश $b$ ($p$ पर $q$ का प्रक्षेप) $b = \frac{q \cdot p}{|p|^2} p = \frac{-2}{14}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) = \frac{-1}{7}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$ है।
अब,$a \times b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$.
साथ ही,$a \cdot b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2) = \frac{-4}{21}$.
अंत में,$\frac{a \times b}{a \cdot b} = \frac{\frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})}{\frac{-4}{21}} = \frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}}{2}$.

(B) हमें दिया गया है,$\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$,$\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$.
चूँकि $\vec{CA} = -\vec{AC} = -s \hat{i} - 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}| = 5 \sqrt{6}$ है।
सदिश गुणनफल करने पर: $\vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -s & -3 & -4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 10 \hat{i} - (2s+12) \hat{j} + (9-s) \hat{k}$.
अतः,$\frac{1}{2} \sqrt{100 + (2s+12)^2 + (9-s)^2} = 5 \sqrt{6} \implies \sqrt{100 + 4s^2 + 144 + 48s + 81 - 18s + s^2} = 10 \sqrt{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5s^2 + 30s + 325 = 600 \implies 5s^2 + 30s - 275 = 0 \implies s^2 + 6s - 55 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(s+11)(s-5) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $s=5$.
त्रिभुज नियम $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$ के अनुसार,$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
$p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k} = (s+3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$s=5$ रखने पर,$p = 8, q = 4, r = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,स्थिति सदिश $\vec{a} = 3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b} = 13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k}$ हैं।
दूरी $AB = |\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{(13-3)^2 + (-4-1)^2 + (9-(-1))^2} = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{100+25+100} = \sqrt{225} = 15$.
चूंकि $C$,$A$ और $B$ के बीच $A$ से $9$ की दूरी पर स्थित है,$C$,$AB$ को $AC:CB = 9:(15-9) = 9:6 = 3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + 3(13 \hat{i}-4 \hat{j}+9 \hat{k})}{5} = \frac{(6+39) \hat{i} + (2-12) \hat{j} + (-2+27) \hat{k}}{5} = \frac{45 \hat{i} - 10 \hat{j} + 25 \hat{k}}{5} = 9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ है।
$D$,रेखा $L$ पर $A$ के दूसरी ओर $6$ इकाइयों की दूरी पर स्थित है। इस प्रकार,$A$,$DC$ को $2:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$\vec{a} = \frac{3\vec{d} + 2\vec{c}}{3+2} \Rightarrow 5\vec{a} = 3\vec{d} + 2\vec{c} \Rightarrow 3\vec{d} = 5\vec{a} - 2\vec{c}$।
$3\vec{d} = 5(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - 2(9 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = (15-18) \hat{i} + (5+4) \hat{j} + (-5-10) \hat{k} = -3 \hat{i} + 9 \hat{j} - 15 \hat{k}$।
$\vec{d} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$।

(B) माना अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ है। चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$ है।
दिया गया है $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।
हमें $S = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{c}+\vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।
गुणधर्म $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ और $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{b} \vec{c} \vec{a}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{c} \vec{a} \vec{b}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।
चूंकि $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$,इसलिए:
$S = 1 + 1 + 1 = 3$।

(A) दिए गए सदिश $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल $[a \ b \ c]$ को $(a \times b) \cdot c$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 4) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
इसका परिमाण $|a \times b| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
चूंकि $[a \ b \ c] = (a \times b) \cdot c = |a \times b| |c| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $(a \times b)$ और $c$ के बीच का कोण है।
अदिश त्रिक गुणनफल को अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta = 1$ होना चाहिए (अर्थात $\theta = 0^\circ$),जिसका अर्थ है कि $c$ को $(a \times b)$ की दिशा में होना चाहिए।
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,$c = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(D) तीन असमतलीय सदिशों $p, q, r$ के लिए,सदिशों की व्युत्क्रम प्रणाली $a, b, c$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$a = \frac{q \times r}{[p \ q \ r]}$,$b = \frac{r \times p}{[p \ q \ r]}$,$c = \frac{p \times q}{[p \ q \ r]}$
दिया गया है कि $b = p \times q$,इसलिए $c = \frac{b}{[p \ q \ r]}$ है।
$a, b, c$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = [a \ b \ c] = \frac{1}{[p \ q \ r]}$ है।
$a$ और $c$ सदिशों द्वारा बने आधार वाले समांतर षट्फलक की ऊँचाई $h$ का सूत्र है:
$h = \frac{[a \ b \ c]}{|a \times c|}$
चूँकि $a, b, c$ सदिश $p, q, r$ की व्युत्क्रम प्रणाली है,हम जानते हैं कि $a \times c = \frac{q}{[p \ q \ r]}$।
इन मानों को ऊँचाई के सूत्र में रखने पर:
$h = \frac{1/[p \ q \ r]}{|q / [p \ q \ r]|} = \frac{1}{|q|}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) का $b$ पर लंब प्रक्षेप $x = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b$ द्वारा दिया जाता है।
$b$ का $a$ पर लंब प्रक्षेप $y = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$।
परिमाण के वर्ग की गणना करें: $|a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ और $|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$।
अतः,$x - y = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b - \frac{a \cdot b}{|a|^2} a = \frac{4}{9} b - \frac{4}{9} a = \frac{4}{9} (b - a)$।
$b - a = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j}$ की गणना करें।
इसलिए $x - y = \frac{4}{9} (\hat{i} - 3\hat{j})$।
अंत में,$|x - y| = \frac{4}{9} \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \frac{4}{9} \sqrt{1 + 9} = \frac{4}{9} \sqrt{10}$।

(C) दिया गया है,$V = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $W = \hat{i} + 3\hat{k}$।
अदिश त्रिक गुणनफल $[U V W]$ को $U \cdot (V \times W)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,क्रॉस उत्पाद $V \times W$ की गणना करें:
$V \times W = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$।
इस सदिश का परिमाण $|V \times W| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
चूंकि $U$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|U| = 1$।
अदिश त्रिक गुणनफल $U \cdot (V \times W) = |U| |V \times W| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$,$U$ और $(V \times W)$ के बीच का कोण है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जो $|U| |V \times W| = 1 \times \sqrt{59} = \sqrt{59}$ देता है।

(D) दिए गए सदिश $a=2u+3v+7w$,$b=u+v-2w$ और $c=-u-2v-3w$ हैं।
सबसे पहले,योग $a+b+c$ की गणना करें:
$a+b+c = (2+1-1)u + (3+1-2)v + (7-2-3)w = 2u+2v+2w = 2(u+v+w)$.
इसके बाद,अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c]$ की गणना करें:
$[a, b, c] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 2(-3 - 4) - 3(-3 - 2) + 7(-2 + 1)$
$= 2(-7) - 3(-5) + 7(-1)$
$= -14 + 15 - 7 = -6$.
इसका निरपेक्ष मान $|[a, b, c]| = |-6| = 6$ है।
व्यंजक $\left|\frac{[u, v, w]}{[a, b, c]}\right|(a+b+c) = \frac{1}{|[a, b, c]|} (a+b+c)$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{6} \times 2(u+v+w) = \frac{1}{3}(u+v+w)$.

(B) सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}$
$|\vec{a}|^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
यहाँ,$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश है,और $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$ सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर अदिश प्रक्षेप है। अतः,$\vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b}$ सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ के लंबवत घटक को दर्शाता है।

(C) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
दिया गया है $a \times (b \times c) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b + c)$,इसलिए $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
चूंकि $b$ और $c$ समांतर नहीं हैं,हम $b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,$a \cdot c = |a||c| \cos \beta = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{4}$.
इसी प्रकार,$a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = \frac{3 \pi}{4}$.
अतः,$\alpha - \beta = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया है कि $b$ और $c$ असंरेख सदिश हैं और $|c| \neq 0$ है।
$(c \cdot c) a=c$ से,दोनों पक्षों का $c$ के साथ अदिश गुणन करने पर,$(c \cdot c)(a \cdot c) = (c \cdot c)$ प्राप्त होता है। चूंकि $|c| \neq 0$,इसलिए $c \cdot c \neq 0$,अतः $a \cdot c = 1$ $(i)$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times(b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ का उपयोग करने पर,दिया गया समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c + (a \cdot b) b = (4-2 \beta-\sin \alpha) b + (\beta^2-1) c$।
दोनों पक्षों में $b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$b$ का गुणांक: $a \cdot c + a \cdot b = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$।
$c$ का गुणांक: $-a \cdot b = \beta^2 - 1$ $(iii)$।
$(i)$ और $(iii)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$।
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$।
$\sin \alpha = \beta^2 - 2 \beta + 2 = (\beta - 1)^2 + 1$।
चूंकि $\sin \alpha \leq 1$ और $(\beta - 1)^2 + 1 \geq 1$ है,इसलिए एकमात्र समाधान $(\beta - 1)^2 = 0$ और $\sin \alpha = 1$ है।
अतः,$\beta = 1$ और $\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in Z$।

(C) दिया गया है,$a=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,तो $|a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=3$.
दिया गया है $|c-a|=2 \sqrt{2}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|c-a|^2=8$.
$|c|^2+|a|^2-2(a \cdot c)=8$.
$|a|=3$ और $a \cdot c=|c|$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $|c|^2+9-2|c|=8$.
$|c|^2-2|c|+1=0 \Rightarrow (|c|-1)^2=0 \Rightarrow |c|=1$.
अब,$a \times b$ ज्ञात करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+1) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(-2-0) = -\hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
अतः $|a \times b| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
सदिश गुणन का परिमाण $|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$|(a \times b) \times c| = 3 \times 1 \times \sin \frac{\pi}{3} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया है कि,$|x|=|y|=|z|=\sqrt{2}$ और $\theta=60^{\circ}$.
अतः,$x \cdot y = |x||y| \cos 60^{\circ} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) \times \frac{1}{2} = 1$.
इसी प्रकार,$y \cdot z = z \cdot x = 1$ और $x \cdot x = y \cdot y = z \cdot z = |x|^2 = 2$.
अब,$a = x \times (y \times z) = (x \cdot z)y - (x \cdot y)z = 1 \cdot y - 1 \cdot z = y - z$ $\dots(i)$.
साथ ही,$b = y \times (z \times x) = (y \cdot x)z - (y \cdot z)x = 1 \cdot z - 1 \cdot x = z - x$ $\dots(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$a + b = y - x$,अतः $y - x = a + b$ $\dots(iii)$.
दिया है $c = x \times y$. क्रमशः $x$ और $y$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$x \times c = x \times (x \times y) = (x \cdot y)x - (x \cdot x)y = x - 2y$ $\dots(iv)$.
$y \times c = y \times (x \times y) = (y \cdot y)x - (y \cdot x)y = 2x - y$ $\dots(v)$.
$(iv)$ में से $(v)$ घटाने पर,$(x - y) \times c = (x - 2y) - (2x - y) = -x - y$,जिसका अर्थ है $x + y = (y - x) \times c$.
$(iii)$ से $y - x = a + b$ प्रतिस्थापित करने पर,$x + y = (a + b) \times c$ $\dots(vi)$.
$(vi)$ में से $(iii)$ घटाने पर,$(x + y) - (y - x) = (a + b) \times c - (a + b)$.
$2x = (a + b) \times c - (a + b)$.
अतः,$x = \frac{1}{2}[(a + b) \times c - (a + b)]$.

(C) बिंदु $E$ फलक $ABC$ (जो एक त्रिभुज है) का केंद्रक है।
$\text{केंद्रक} = \left[\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right]$
$E = \left[\frac{2+(-3)+(-1)}{3}, \frac{3+3+4}{3}, \frac{-4+(-2)+2}{3}\right] = \left[\frac{-2}{3}, \frac{10}{3}, \frac{-4}{3}\right]$
बिंदु $F$ फलक $ACD$ का केंद्रक है।
$F = \left[\frac{2+(-1)+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, 4, \frac{-1}{3}\right]$
बिंदु $G$ फलक $ABD$ का केंद्रक है।
$G = \left[\frac{2+(-3)+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4+(-2)+1}{3}\right] = \left[\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, \frac{-5}{3}\right]$
अब,$E, F, G$ एक त्रिभुज बनाते हैं। $\triangle EFG$ का केंद्रक $E, F$ और $G$ के निर्देशांकों का औसत है।
$\triangle EFG \text{ का केंद्रक} = \left[\frac{\frac{-2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}{3}, \frac{\frac{10}{3}+4+\frac{11}{3}}{3}, \frac{\frac{-4}{3}+\left(\frac{-1}{3}\right)+\left(\frac{-5}{3}\right)}{3}\right]$
$= \left[\frac{\frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{10+12+11}{3}}{3}, \frac{\frac{-10}{3}}{3}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{33}{9}, \frac{-10}{9}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{11}{3}, \frac{-10}{9}\right]$

(C) माना बिंदु $P(\vec{r}) = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ है। निश्चित बिंदु $A(1, 0, 0)$ और $B(0, 1, 0)$ हैं।
सदिश $\vec{AP} = (x-1)\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ और सदिश $\vec{AB} = -\hat{i} + \hat{j}$ है।
$\triangle ABP$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AP} \times \vec{AB}|$ द्वारा दिया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना:
$\vec{AP} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x-1 & y & z \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-z) - \hat{j}(0 - (-z)) + \hat{k}((x-1) - (-y)) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x+y-1)\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{AB}| = \sqrt{(-z)^2 + (-z)^2 + (x+y-1)^2} = \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{2} \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 = \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2} \Rightarrow 4 = 2z^2 + (x+y-1)^2$।

(B) हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
साथ ही,दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
हम व्यंजक $S = lm + mn + nl$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
सर्वसमिका $(l + m + n)^2 = l^2 + m^2 + n^2 + 2(lm + mn + nl)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $2(lm + mn + nl) = (l + m + n)^2 - (l^2 + m^2 + n^2) = (l + m + n)^2 - 1$.
$lm + mn + nl$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $(l + m + n)^2$ को अधिकतम करना होगा।
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$(l + m + n)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(l^2 + m^2 + n^2) = 3(1) = 3$.
समानता तब होती है जब $l = m = n$ हो।
चूंकि $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$,इसका अर्थ है $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,जिसका अर्थ है $\alpha = \beta = \gamma$ (कोण $0$ और $\pi$ के बीच हैं)।
अतः,अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\alpha = \beta = \gamma$ हो।

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $3l + m + 5n = 0$ और $6mn - 2nl + 5lm = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$m = -3l - 5n$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$6n(-3l - 5n) - 2nl + 5l(-3l - 5n) = 0$
$-18nl - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25nl = 0$
$-15l^2 - 45nl - 30n^2 = 0$
$-15$ से विभाजित करने पर:
$l^2 + 3nl + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $l = -n$। $m = -3l - 5n$ में रखने पर,$m = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-n, -2n, n)$ हैं,जो $(1, 2, -1)$ के रूप में सरल हो जाते हैं।
स्थिति $2$: $l = -2n$। $m = -3l - 5n$ में रखने पर,$m = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-2n, n, n)$ हैं,जो $(-2, 1, 1)$ के रूप में सरल हो जाते हैं।
माना दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 2, -1)$ और $\vec{b} = (-2, 1, 1)$ हैं।
कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$.

(A) माना दो सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 5) - \hat{j}(-3 - 4) + \hat{k}(5 - 8) = -11\hat{i} + 7\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-11)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ है।
दिक-कोज्याएँ $\frac{a}{|\vec{n}|}, \frac{b}{|\vec{n}|}, \frac{c}{|\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $a, b, c$ अभिलंब सदिश के घटक हैं।
अतः,दिक-कोज्याएँ $\frac{-11}{\sqrt{179}}, \frac{7}{\sqrt{179}}, \frac{-3}{\sqrt{179}}$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण:
$ab + bc + ca = 0$ --- $(1)$
$6ab + 9bc + 8ca = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$6ab + 6bc + 6ca = 0$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(6ab + 9bc + 8ca) - (6ab + 6bc + 6ca) = 0$
$3bc + 2ca = 0 \Rightarrow c(3b + 2a) = 0$.
चूंकि $c \neq 0$,इसलिए $2a = -3b$,अर्थात $a/(-3) = b/2$.
$a = -3k$ और $b = 2k$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(-3k)(2k) + (2k)c + c(-3k) = 0$
$-6k^2 - kc = 0 \Rightarrow c = -6k$.
अतः,दिक्-अनुपात $(-3k, 2k, -6k)$ के समानुपाती हैं,अर्थात $(-3, 2, -6)$.
इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
इसलिए,दिक्-कोसाइन $\frac{-3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{-6}{7}$ हैं।

(A) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $E, F, G$ क्रमशः $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु हैं:
$\frac{x_1+x_2}{2}=1, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0$ $(1)$
$\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=2, \frac{z_2+z_3}{2}=0$ $(2)$
$\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=3$ $(3)$
इन्हें हल करने पर,हमें $A(1, -2, 3), B(1, 2, -3), C(-1, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
$AF$ के दिक्-अनुपात (जहाँ $F$ बिंदु $(0, 2, 0)$ है): $a_1 = 0-1 = -1, b_1 = 2-(-2) = 4, c_1 = 0-3 = -3$. अतः $a_1^2+b_1^2+c_1^2 = (-1)^2+4^2+(-3)^2 = 1+16+9 = 26$.
$BG$ के दिक्-अनुपात (जहाँ $G$ बिंदु $(0, 0, 3)$ है): $a_2 = 0-1 = -1, b_2 = 0-2 = -2, c_2 = 3-(-3) = 6$. अतः $a_2^2+b_2^2+c_2^2 = (-1)^2+(-2)^2+6^2 = 1+4+36 = 41$.
इसलिए,$\frac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}{a_2^2+b_2^2+c_2^2} = \frac{26}{41}$.

(C) दो रेखाएं जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे समांतर होती हैं यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो।
$L_1$ के लिए दिक्-अनुपात $(2, 5, 7)$ और $L_2$ के लिए $(\frac{4}{\sqrt{19}}, \frac{10}{\sqrt{19}}, \frac{14}{\sqrt{19}})$ दिए गए हैं।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,और $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$।
चूंकि सभी अनुपात समान हैं,इसलिए रेखाएं $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
शर्त $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्त है,समांतर होने की नहीं। अतः,$(R)$ असत्य है।
इसलिए,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(B) $(0, -1, 0)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ है।
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ हैं।
रेखाखंड $AB$,$A(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ और $B(1, 1, 1)$ को जोड़ता है।
रेखा $AB$ के दिक्-अनुपात $(\lambda-1, \lambda-2, \lambda-1)$ हैं।
चूंकि इस रेखा के दिक्-अनुपात $2, 1, 2$ के समानुपाती दिए गए हैं,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda-1}{2} = \frac{\lambda-2}{1} = \frac{\lambda-1}{2}$.
$\frac{\lambda-1}{2} = \lambda-2$ से,$\lambda-1 = 2\lambda-4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 3$।
$A$ के निर्देशांकों में $\lambda = 3$ रखने पर,हमें $x = 3$,$y = 3-1 = 2$,और $z = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y+z = 3+2+3 = 8$।

(B) दिए गए समीकरण $a+b+c=0$ और $2ab+2ac-bc=0$ हैं।
दूसरे समीकरण में $a=-(b+c)$ रखने पर:
$-2(b+c)b - 2(b+c)c - bc = 0$
$-2b^2 - 2bc - 2bc - 2c^2 - bc = 0$
$-2b^2 - 5bc - 2c^2 = 0$
$2b^2 + 5bc + 2c^2 = 0$
$(2b+c)(b+2c) = 0$.
स्थिति $1$: $b = -2c$. तब $a = -(-2c+c) = c$. दिक्-अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $b = -c/2$. तब $a = -(-c/2+c) = -c/2$. दिक्-अनुपात $(-1/2, -1/2, 1)$ हैं,जो $(1, 1, -2)$ के समतुल्य हैं।
माना दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 1, -2)$ हैं।
सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{1+1+4}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि हमें अधिक कोण ज्ञात करना है,इसलिए $\cos \theta = -1/2$ लेने पर,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दो विषमतलीय रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| } = \frac{|\det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}|}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2 + (a_1b_2-a_2b_1)^2}}$
दी गई रेखाओं के लिए:
$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -5)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$
$(x_2, y_2, z_2) = (1, -2, 4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 3, 2)$
सदिश $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-3) - \hat{j}(2+1) + \hat{k}(3-2) = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{49+9+1} = \sqrt{59}$
सदिश $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (1-2, -2-3, 4-(-5)) = (-1, -5, 9)$
अदिश गुणन $= |(-1)(-7) + (-5)(-3) + (9)(1)| = |7 + 15 + 9| = 31$
न्यूनतम दूरी $d = \frac{31}{\sqrt{59}}$

(C) दो रेखाओं $r=a_1+t b_1$ और $r=a_2+s b_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $a_1 = 3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$,$a_2 = \hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k}$,$b_1 = -\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$b_2 = \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$.
$a_2-a_1 = -2 \hat{i}-11 \hat{j}$.
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
$|b_1 \times b_2| = \sqrt{35}$.
$d = \frac{|(-2 \hat{i}-11 \hat{j}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})|}{\sqrt{35}} = \frac{35}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.
$P$ का $Q$ पर प्रक्षेप $\frac{|P \cdot Q|}{|Q|} = \sqrt{35}$ है।
विकल्प $(C)$ की जाँच करने पर,$Q = \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ के लिए,यह दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

(D) बिंदुओं $(a, 2, -4)$ और $(5, 3, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z+4}{b+4}$ है।
इसे $\frac{x-a}{5-a} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+4}{b+4} = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि रेखा $ZX$-समतल को काटती है,इसलिए $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$y-2 = 1 \times k$ लेने पर,$0-2 = k$,अर्थात $k = -2$ प्राप्त होता है।
अब,$k = -2$ का उपयोग करके $x$ और $z$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = a + k(5-a) = a - 2(5-a) = a - 10 + 2a = 3a - 10$.
$z = -4 + k(b+4) = -4 - 2(b+4) = -4 - 2b - 8 = -2b - 12$.
हमें दिया गया है कि प्रतिच्छेदन बिंदु $(-a+2b, 0, a+b)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3a - 10 = -a + 2b \Rightarrow 4a - 2b = 10 \Rightarrow 2a - b = 5$ (समीकरण $1$)।
$-2b - 12 = a + b \Rightarrow a + 3b = -12$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$b = 2a - 5$। इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + 3(2a - 5) = -12 \Rightarrow a + 6a - 15 = -12 \Rightarrow 7a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{7}$।
अतः $b = 2(\frac{3}{7}) - 5 = \frac{6}{7} - \frac{35}{7} = -\frac{29}{7}$।
अंत में,$14a + 7b = 14(\frac{3}{7}) + 7(-\frac{29}{7}) = 6 - 29 = -23$।

(B) रेखाएँ $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
पहली रेखा के लिए: $r = (1+t)\hat{i} + (-6+2t)\hat{j} + (p \sec \alpha + t)\hat{k}$।
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ के साथ घटकों की तुलना करने पर:
$1+t = 8 \Rightarrow t = 7$।
$-6+2t = 8 \Rightarrow -6+14 = 8$ (संगत है)।
$p \sec \alpha + t = 9 \Rightarrow p \sec \alpha + 7 = 9 \Rightarrow p \sec \alpha = 2$ ... $(i)$।
दूसरी रेखा के लिए: $r = (2\lambda)\hat{i} + (4 + \lambda p \tan \alpha)\hat{j} + (1 + 2\lambda)\hat{k}$।
$8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ के साथ घटकों की तुलना करने पर:
$2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$।
$1 + 2\lambda = 9 \Rightarrow 1 + 8 = 9$ (संगत है)।
$4 + \lambda p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4 + 4p \tan \alpha = 8 \Rightarrow 4p \tan \alpha = 4 \Rightarrow p \tan \alpha = 1$ ... $(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$(p \sec \alpha)^2 - (p \tan \alpha)^2 = 2^2 - 1^2$।
$p^2(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha) = 4 - 1$।
चूँकि $\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = 1$,इसलिए $p^2 = 3$।
चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,$p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $p = \sqrt{3}$।